モジュライ空間

数学、特に代数幾何学において、モジュライ空間 とは、点が何らかの固定された種類の代数幾何学的オブジェクト、またはそのようなオブジェクトの同型類を表す幾何学的空間（通常はスキームまたは代数スタック）である。このような空間は、分類問題の解決策として頻繁に生じる。興味深いオブジェクトのコレクション（たとえば、固定された種数の滑らかな代数曲線）に幾何学的空間の構造を与えることができることを示すことができれば、結果として得られる空間に座標を導入することで、そのようなオブジェクトをパラメータ化できる。この文脈では、「モジュラス」という用語は「パラメータ」と同義語として使用される。モジュライ空間は、最初はオブジェクトの空間ではなく、パラメータの空間として理解されていた。モジュライ空間の変形は、形式モジュライである。ベルンハルト・リーマンは、1857年に「モジュライ」という用語を初めて使用した。^[1]

モジュライ空間は、幾何学的分類問題の解の空間です。つまり、モジュライ空間の点は、幾何学的問題の解に対応します。ここで、異なる解は、それらが同型 (つまり、幾何学的に同じ) である場合に識別されます。モジュライ空間は、問題のパラメータの普遍的な空間を与えるものと考えることができます。たとえば、合同を除いたユークリッド平面上のすべての円を見つける問題を考えてみましょう。どの円も、3 つの点を与えることで一意に記述できますが、3 つの点のさまざまなセットが同じ円になります。つまり、対応は多対 1 です。ただし、円は、中心と半径を与えることで一意にパラメータ化されます。これは、2 つの実数パラメータと 1 つの正の実数パラメータです。「合同を除いた」円にのみ関心があるため、中心は異なるが同じ半径を持つ円を識別します。したがって、半径だけで関心のあるセットをパラメータ化するのに十分です。したがって、モジュライ空間は正の実数です。

モジュライ空間は、自然な幾何学的構造や位相的構造も持つことがよくあります。たとえば、円の例では、モジュライ空間は単なる抽象的な集合ではなく、半径の差の絶対値によって、 2 つの円が「近い」かどうかを判断する基準が定義されます。モジュライ空間の幾何学的構造は、幾何学的分類問題の 2 つの解が「近い」かどうかを局所的に示しますが、一般に、モジュライ空間には複雑なグローバル構造もあります。

たとえば、原点と交差するR ^{2の直線の集合をどのように記述するかを考えてみましょう。このファミリの各直線}Lに、それを一意に識別できる量、つまり係数を割り当てます。このような量の例としては、0 ≤ θ < π ラジアンの正の角度 θ( L ) があります。このようにパラメータ化された直線の集合LはP ¹ ( R )として知られ、実射影直線と呼ばれます。

位相的構成によって、R ²内で原点と交わる直線の集合を記述することもできます。つまり、単位円S ¹ ⊂ R ²を考え、すべての点s ∈ S ^{1 が}集合内の直線L ( s ) を与えることに注目してください (これは原点とsを結びます)。ただし、この写像は 2 対 1 なので、 s ~ − s を同一視してP ¹ ( R ) ≅ S ¹ /~を得ます。ここで、この空間上の位相は、商写像S ¹ → P ¹ ( R )によって誘導される商位相です。

したがって、 P ¹ ( R )をR ²で原点と交差する直線のモジュライ空間として考えると、0 ≤ θ < πを連続的に変化させることによって、ファミリーのメンバー（この場合は直線）が変調する方法を捉えることができます。

実射影空間 P n^は、原点を通るR ^{n +1}内の直線の空間をパラメータ化するモジュライ空間です。同様に、複素射影空間は、原点を通る C ^{n +1}内のすべての複素直線の空間です。

より一般的には、体F上のベクトル空間Vのグラスマン多様体 G ( k , V ) は、Vのすべてのk次元線形部分空間のモジュライ空間です。

普遍射影空間への スキームの埋め込みが存在するときはいつでも、^{[2] [3]}埋め込みは線束と、同時には消えない切断によって与えられる。これは、点${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$

${\displaystyle x:{\text{Spec}}(R)\to X}$

関連するポイントがある

${\displaystyle {\hat {x}}:{\text{Spec}}(R)\to \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$

作曲によって与えられた

${\displaystyle [s_{0}:\cdots :s_{n}]\circ x=[s_{0}(x):\cdots :s_{n}(x)]\in \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(R)}$

すると、2つの断面を持つ線束は同値となる。

${\displaystyle ({\mathcal {L}},(s_{0},\ldots ,s_{n}))\sim ({\mathcal {L}}',(s_{0}',\ldots ,s_{n}'))}$

となる同型が存在する場合のみ。これは、関連するモジュライ関数${\displaystyle \phi :{\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}'}$${\displaystyle \phi (s_{i})=s_{i}'}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}:{\text{Sch}}\to {\text{Sets}}}$

セットにスキームを送信する${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(X)=\left\{({\mathcal {L}},s_{0},\ldots ,s_{n}):{\begin{matrix}{\mathcal {L}}\to X{\text{ is a line bundle}}\\s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})\\{\text{ form a basis of global sections}}\end{matrix}}\right\}/\sim }$

これが真であることを示すには、一連のトートロジーを実行する必要があります。任意の射影埋め込みは、セクションを持つグローバルに生成された層を与えます。逆に、セクションによってグローバルに生成された豊富な直線束が与えられると、上記のような埋め込みが得られます。 ${\displaystyle i:X\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}(1)}$${\displaystyle i^{*}x_{0},\ldots ,i^{*}x_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}$${\displaystyle n+1}$

チャウ多様体 Chow (d, P ^{3 ) は、 P 3の次数}d の曲線をパラメータ化する射影代数多様体です。これは次のように構築されます。C をP ³の次数dの曲線とし、曲線Cと交差するP ³のすべての直線を考えます。これは、P ³の直線のグラスマン多様体G (2, 4)の次数dの因子D _Cです。C が変化するとき、 C をD _Cに関連付けることで、グラスマン多様体の次数dの因子の空間のサブセットとして、次数 d の曲線のパラメータ空間が得られます: Chow (d, P ³ )。

ヒルベルトスキーム Hilb ( X )はモジュライスキームである。Hilb ( X )のすべての閉点は固定スキームXの閉部分スキームに対応し、すべての閉部分スキームはそのような点によって表される。ヒルベルトスキームの簡単な例として、射影空間の次数超曲面をパラメータ化するヒルベルトスキームがある。これは射影バンドルによって与えられる。${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {Hilb}}_{d}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))}$

ユニバーサルファミリーが与える

${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(V(f),f):f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))\}}$

ここで、 は次数同次多項式に関連する射影スキームです。 ${\displaystyle V(f)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle f}$

モジュライ空間と呼べるものには、関連する概念がいくつかあります。これらの定義はそれぞれ、空間Mの点が幾何学的オブジェクトを表すことの意味についての異なる概念を形式化します。

これは標準的な概念です。経験的に、各点m ∊ M が代数幾何学的オブジェクトU _mに対応する空間M がある場合、これらのオブジェクトをM上のトートロジー族Uに組み立てることができます。(たとえば、グラスマン多様体G ( k , V ) は、任意の点 [ L ] ∊ G ( k , V ) でのファイバーが単に線型部分空間L ⊂ Vであるランクkバンドルを持ちます。) M は族Uの基底空間と呼ばれます。任意の基底空間B上の代数幾何学的オブジェクトの任意の族Tが、一意のマップB → Mに沿ったUの引き戻しである場合、そのような族は普遍的であるといいます。詳細モジュライ空間は、普遍族の基底である 空間Mです。

より正確には、スキームから集合への関手Fがあり、これがスキームBに基底Bを持つオブジェクトの適切な族すべての集合を割り当てるとします。空間Mが関手Fの微細モジュライ空間となるのは、 M がF を表す場合、すなわち、自然同型 τ : F → Hom (−, M ) が存在する場合です。ここでHom (−, M ) は点の関手です。これは、 Mが普遍族を持っていることを意味します。この族は、恒等写像1 _M ∊ Hom ( M , M ) に対応するM上の族です。

細かいモジュライ空間が望ましいが、それらは常に存在するとは限らず、構築するのが難しいことも多いため、数学者はより弱い概念である粗いモジュライ空間という考え方を使用することがある。空間Mが関手Fの粗いモジュライ空間であるとは、自然変換 τ : F → Hom (−, M ) が存在し、 τがそのような自然変換の間で普遍的である場合である。より具体的には、基底B上の任意の族Tが写像 φ _T  : B → Mを生じ、任意の 2 つのオブジェクトVおよびW (点上の族とみなされる) が M の同じ点に対応する必要十分条件は、 VとWが同型である場合である、というとき、M はFの粗いモジュライ空間である。したがって、M は族に現れる可能性のあるすべてのオブジェクトに対して点を持ち、その幾何学はオブジェクトが族内で変化する方法を反映する空間である。ただし、粗いモジュライ空間は必ずしも適切なオブジェクトの族 (ましてや普遍的なオブジェクト) を持つとは限らないことに注意する。

言い換えれば、細かいモジュライ空間には基本空間Mと普遍族U → M の両方が含まれますが、粗いモジュライ空間には基本空間Mのみが含まれます。

興味深い幾何学的対象には、多くの自然な自己同型が備わっていることがよくある。これは特に、細かいモジュライ空間の存在を不可能にする（直感的には、Lが何らかの幾何学的対象である場合、自明な族L × [0,1] は、非自明な自己同型を介してL × {0}をL × {1} と同一視することにより、円S ¹上のねじれた族にすることができるという考え方である。ここで、細かいモジュライ空間X が存在する場合、写像S ¹ → X は定数ではないが、自明性により任意の適切な開集合上で定数でなければならない）、それでも粗いモジュライ空間を得ることができる場合がある。しかし、このアプローチは理想的ではない。なぜなら、そのような空間が存在することは保証されておらず、存在する場合でも特異であることが多く、それらが分類するオブジェクトのいくつかの非自明な族に関する詳細が欠落しているからである。

より洗練されたアプローチは、同型性を覚えておくことで分類を豊かにすることです。より正確には、任意の基底B上で、同型性のみを射としてとった族間のB上の族のカテゴリを考えることができます。次に、任意の空間BにB上の族の群状体を割り当てるファイバーカテゴリを考えます。群状体にファイバー化されたこれらのカテゴリを使用してモジュライ問題を記述する方法は、 Grothendieck (1960/61) に遡ります。一般に、これらはスキームや代数空間によってさえ表現できませんが、多くの場合、代数スタックの自然な構造を持ちます。

代数スタックとそれを用いたモジュライ問題の解析は、与えられた種数の曲線の (粗い) モジュライ空間の既約性を証明するツールとして Deligne-Mumford (1969) に登場しました。代数スタックの言語は、本質的には、モジュライ問題を構成するファイバー カテゴリを「空間」として見る体系的な方法を提供し、多くのモジュライ問題のモジュライ スタックは、対応する粗いモジュライ空間よりも動作が優れています (滑らかなど)。

モジュライ スタックは、種数gの滑らかな射影曲線の族を、それらの同型とともに分類します。g > 1 の場合、このスタックは、安定したノード曲線 (およびその同型) に対応する新しい「境界」点を追加することによってコンパクト化できます。曲線が安定しているのは、自己同型の有限群のみを持つ場合です。結果として得られるスタックは で示されます。両方のモジュライ スタックは、曲線の普遍族を保持します。滑らかな曲線または安定した曲線の同型類を表す粗いモジュライ空間を定義することもできます。これらの粗いモジュライ空間は、実際にはモジュライ スタックの概念が発明される前に研究されていました。実際、モジュライ スタックのアイデアは、粗いモジュライ空間の射影性を証明しようとして、Deligne と Mumford によって発明されました。近年、曲線のスタックが実際にはより基本的なオブジェクトであることが明らかになっています。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$

上記のスタックは両方とも次元が 3 g −3 であるため、g > 1のとき、 3 g −3 パラメータの値を選択することで、安定なノード曲線を完全に指定できます。種数が小さい場合、自己同型の滑らかな族の存在を考慮する必要があります。その数を減算する必要があります。種数 0 の複素曲線は 1 つだけあり、リーマン球面であり、その同型群は PGL(2) です。したがって、の次元は ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$

dim(種数0の曲線の空間) − dim(自己同型群) = 0 − dim(PGL(2)) = −3。

同様に、種数 1 では、曲線の 1 次元空間がありますが、そのような曲線はすべて、自己同型の 1 次元群を持ちます。したがって、スタックの次元は 0 です。種数 g > 1 の曲線は自己同型として有限群のみを持つため、つまり dim(自己同型の群) = 0 であるため、 g > 1 のときのスタックと同様に、粗モジュライ空間の次元は 3 g −3 です。最終的に、種数 0 では、粗モジュライ空間の次元は 0 になり、種数 1 では、粗モジュライ空間の次元は 1 になります。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$

また、 n 個のマークされた点を持つ種数g のノード曲線のモジュライスタックを考慮することで、問題を充実させることもできます。このようなマークされた曲線は、マークされた点を固定する曲線の自己同型群が有限である場合に安定であると言われます。結果として得られるn個のマークされた点を持つ滑らかな (または安定した) 種数gの曲線のモジュライスタックは(または)で表され、次元は 3 g  − 3 +  nです。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

特に興味深いケースは、1 つのマークされた点を持つ種数 1 の曲線のモジュライ スタックです。これは楕円曲線のスタックであり、このスタック上のバ​​ンドルの有理型切断である、よく研究されるモジュラー形式の自然な本拠地です。 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}$

高次元では、代数多様体のモジュライは構築および研究がより困難になります。たとえば、上で説明した楕円曲線のモジュライ空間の高次元類似物は、シーゲルモジュラー多様体などのアーベル多様体のモジュライ空間です。これがシーゲルモジュラー形式理論の基礎となる問題です。志村多様体も参照してください。

極小モデル計画から生まれた技術を用いて、一般型多様体のモジュライ空間がヤーノシュ・コラーとニコラス・シェパード・バロンによって構築され、現在KSBモジュライ空間として知られている。^[4]

微分幾何学と双有理幾何学から生じる技術を同時に使用して、K安定多様体の特別なクラスに制限することにより、ファノ多様体のモジュライ空間の構築が達成されました。この設定では、コーシェ・ビルカーによって証明されたファノ多様体の有界性に関する重要な結果が使用され、これにより彼は2018年のフィールズ賞を受賞しました。

カラビ・ヤウ多様体のモジュライ空間の構成は重要な未解決問題であり、K3曲面やアーベル多様体のモジュライ空間などの特殊なケースのみが理解されている。^[5]

もう一つの重要なモジュライ問題は、固定された代数多様体X上の階数n のベクトルバンドルのモジュライスタック Vect _n ( X ) （のさまざまなサブスタック）の幾何学を理解することです。^{[6]このスタックは、} Xが 1 次元の場合、特に n が 1 の場合に最も研究されてきました。この場合、粗いモジュライ空間はピカールスキームであり、曲線のモジュライ空間と同様に、スタックが発明される前に研究されていました。バンドルが階数 1 で次数 0 の場合、粗いモジュライ空間の研究はヤコビ多様体の研究です。

物理学への応用では、ベクトル束のモジュライの数と、それに密接に関連する主G束のモジュライの数の問題がゲージ理論において重要であることが分かっている。^[要出典]

境界付きリーマン面のモジュライ空間の単純測地線と Weil-Petersson 体積。

モジュライ問題の現代的な定式化と、モジュライ関数（またはより一般的には群体の繊維化されたカテゴリ）とそれらを（ほぼ）表す空間によるモジュライ空間の定義は、Grothendieck（1960/61）にまで遡ります。Grothendieck は、複素解析幾何学におけるTeichmüller 空間を例に、一般的な枠組み、アプローチ、主な問題を説明しました。特に、講演では、検討中のモジュライ問題を最初に固定化することで、モジュライ空間を構築する一般的な方法について説明します。

より正確には、分類されるオブジェクトの非自明な自己同型が存在するため、細かいモジュライ空間を持つことは不可能である。しかし、元のオブジェクトを追加データと共に分類する修正モジュライ問題を考えることはしばしば可能である。追加データは、追加データに関しても恒等式が唯一の自己同型となるように選択される。適切な固定化データの選択により、修正モジュライ問題は（細かい）モジュライ空間Tを持つことになる。これは、適切なヒルベルトスキームまたはクォートスキームのサブスキームとして記述されることが多い。さらに、固定化データは、代数構造群Gを持つ主バンドルに対応するように選択される。したがって、 Gの作用によって商を取ることによって、固定化された問題から元の問題に戻ることができ、モジュライ空間を構築する問題は、（適切に強い意味で） Gの作用によるTの商T / Gであるスキーム（またはより一般的な空間）を見つける問題になる 。最後の問題は、一般に、解を許容しない。しかし、1965 年にデイビッド・マンフォードが開発した画期的な幾何不変理論(GIT)によってこの問題は解決され 、適切な条件下では商が実際に存在することが示されました。

これがどのように機能するかを見るために、種数g > 2 の滑らかな曲線をパラメータ化する問題を考えてみましょう。滑らかな曲線と次数d > 2 gの完全な線型システムは、射影空間P ^d−gの閉じた 1 次元部分スキームに相当します。したがって、滑らかな曲線と線型システム (特定の基準を満たす) のモジュライ空間は、十分に高次元の射影空間のヒルベルト スキームに埋め込むことができます。ヒルベルト スキームのこの軌跡Hには、線型システムの要素を混合する PGL( n )の作用があります。したがって、滑らかな曲線のモジュライ空間は、射影一般線型群によるHの商として復元されます。

もう 1 つの一般的なアプローチは、主にMichael Artinと関連しています。ここでの考え方は、分類する種類のオブジェクトから始めて、その変形理論を研究することです。これは、まず無限小変形を構築し、次にプロ表現可能性定理を利用して、これらを形式的な基底上のオブジェクトにまとめることを意味します。次に、Grothendieck の 形式的存在定理を利用して、完全な局所環である基底上の目的の種類のオブジェクトを提供します。このオブジェクトは、Artin の近似定理を介して、有限生成環上に定義されたオブジェクトによって近似できます。この後者の環のスペクトルは、目的のモジュライ空間上の一種の座標チャートを与えるものとして見ることができます。これらのチャートを十分に接着することで、空間をカバーできますが、スペクトルの結合からモジュライ空間へのマップは、一般に多対 1 になります。したがって、前者に対して同値関係を定義します。基本的に、2 つの点は、それぞれの上のオブジェクトが同型である場合に同値です。これにより、スキームと同値関係が得られ、必ずしもスキームではないとしても、代数空間(実際には、注意深く見れば 代数スタック)を定義するのに十分です。

モジュライ空間という用語は、物理学において、スカラー場の集合の真空期待値のモジュライ空間、または可能な弦背景のモジュライ空間を指すために使用されることがあります。

モジュライ空間は物理学の位相場理論にも登場し、そこではファインマン経路積分を使用してさまざまな代数的モジュライ空間の交差数を計算できます。

• ヒルベルトスキーム
• 引用スキーム
• 変形理論
• GIT 指数
• アルティンの基準、モジュライ関数から代数スタックとしてモジュライ空間を構築するための一般的な基準

• 代数曲線の係数
• 楕円曲線のモジュライスタック
• K安定ファノ多様体のモジュライ空間
• モジュラー曲線
• ピカール関数
• 曲線上の半安定層の係数
• コンツェビッチモジュライ空間
• 半安定層の係数

• モジュライ理論
• P進モジュラー形式におけるモジュライスタックとラングランズ計画

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