等スペクトル

数学では、2 つの線形演算子が同じスペクトルを持つ場合、それらは等スペクトル演算子または共スペクトル演算子と呼ばれます。大まかに言えば、重複度で数えた場合、それらは同じ固有値のセットを持つはずです。

等スペクトル演算子の理論は、空間が有限次元か無限次元かによって大きく異なります。有限次元では、基本的に正方行列を扱います。

無限次元では、スペクトルは孤立した固有値のみで構成されている必要はありません。しかし、ヒルベルト空間（またはバナッハ空間）上のコンパクト演算子の場合は、固有値がせいぜい可算で、極限点がせいぜい 1 つλ  = 0 であるため、依然として扱いやすいものです。無限次元で最も研究されている等スペクトル問題は、R ²内の領域上のラプラス演算子の問題です。このような 2 つの領域は、それらのラプラシアンが等スペクトルである場合に等スペクトルと呼ばれます。ラプラシアンのスペクトルから領域の幾何学的特性を推測する問題は、しばしば太鼓の形を聞く問題として知られています。

有限次元ベクトル空間上の演算子の場合、複素正方行列について、 2 つの対角化可能な行列が等スペクトルであるという関係は、単なる相似性です。ただし、複雑な方法でパラメーター t に依存する形状A ( t ) = M ( t ) ⁻¹ AM ( t ) の等スペクトル行列族を持つことができるため、これは概念の興味を完全に減らすものではありません。これは、1 つの相似クラス内で発生する行列の進化です。

ソリトン理論における基本的な洞察は、その方程式の無限小類似物、すなわち

A ′ = [ A , M ] = AM − MA

ソリトンが消散しないようにする保存則の背後には、スペクトルの保存というメカニズムがありました。つまり、スペクトルの保存は保存メカニズムの解釈でした。ピーター・ラックスによる、類似の方程式を生み出すいわゆるラックス対(P,L) の特定は、線形機構が非線形の振る舞いを説明できることを示しました。

2 つの閉じたリーマン多様体は、それらのラプラス・ベルトラミ演算子(ラプラシアン)の固有値、つまり重複度が一致する場合、等スペクトル多様体であると言われます。スペクトル幾何学における基本的な問題の 1 つは、固有値が与えられた多様体の幾何学をどの程度決定するかを問うことです。

等長ではない等スペクトル多様体の例は数多くあります。最初の例は 1964 年にJohn Milnorによって示されました。彼は、 Ernst Wittによって初めて研究された算術格子を使用して、16 次元の平坦トーラスのペアを構築しました。この例の後、2 次元以上の等スペクトル ペアが数多く構築されました (たとえば、MF Vignéras、A. Ikeda、H. Urakawa、C. Gordon による)。特に、Vignéras (1980) は、PSL(2, R ) と PSL(2, C ) のSelberg トレース公式に基づいて、類体理論による有理数の二次拡大に関連付けられた四元数代数を使用して構築された、等スペクトルで非等長の閉じた双曲型 2 次元多様体と 3 次元多様体を、双曲型 2 次元空間と 3 次元空間の算術部分群による商として構築しました。^[1] この場合、Selberg のトレース公式は、ラプラシアンのスペクトルが、各自由ホモトピー類の閉じた測地線の長さの集合である長さスペクトル^[要出典]と、3 次元の場合の測地線に沿ったねじれを完全に決定することを示しました。^[2]

1985 年、砂田俊一は被覆空間技法に基づく一般的な構築方法を発見しました。これは、元のバージョンまたは特定の一般化されたバージョンのいずれかで、砂田法または砂田構築として知られるようになりました。以前の方法と同様に、セルバーグゼータ関数を介したトレース公式に基づいています。砂田は、同じデデキントゼータ関数を持つ数体を構築する方法がコンパクト多様体に適用できることに気付きました。彼の方法は、M がコンパクトリーマン多様体M ₀の有限被覆で Gがデッキ変換の有限群であり、H ₁、H _{2 が}Gの各共役類に同じ数の要素で一致するGの部分群である場合、多様体H ₁ \ MとH ₂ \ Mは等スペクトルですが必ずしも等長的ではないという事実に依存しています。これはミルナーとヴィニェラス^[要出典]の算術的な例を再現するものではないが、砂田の方法は等スペクトル多様体の多くの既知の例を生み出す。この方法は、1991 年に C. ゴードン、D. ウェッブ、S. ウォルパートがマーク・カックの問題「太鼓の形が聞こえるか? 」に対する反例を発見することにつながった。砂田の方法に基づく基本的な処理は、後に Buser ら (1994) で示された。

砂田の考えは、彼の手法では得られない等スペクトルの例を見つける試みも刺激した。多くの例の中でも最も印象的なのは、Schueth (1999) の単連結な例である。一方、アラン・リードは、における特定の等スペクトル算術双曲多様体が通約可能であることを証明した。^[3]

• 太鼓の形を聞く
• スペクトル幾何学

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