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地図作成において、地図投影法とは、地球の湾曲した二次元表面を平面上に表現するために用いられる、幅広い変換法の総称である。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]地図投影法では、地球表面上の位置の座標（多くの場合、緯度と経度で表される）が平面上の座標に変換される。 [ 4 ] [ 5 ] 投影は二次元地図を作成する上で必要なステップであり、地図作成の重要な要素の一つである。
球面を平面に投影すると、必ず何らかの形で表面が歪みます。[ 6 ]地図の目的によって、許容できる歪みと許容できない歪みがあります。そのため、球面状の物体の特性を一部維持しつつ、他の特性を犠牲にするために、さまざまな地図投影法が存在します。地図投影法の研究は、主にその歪みの特性を明らかにすることです。可能な地図投影法の数に制限はありません。[ 7 ] : 1より一般的には、投影法は微分幾何学、射影幾何学、多様体 など、純粋数学のいくつかの分野で検討されています。ただし、地図投影という用語は、特に地図投影法を指します。
その名前の文字通りの意味とは裏腹に、投影は、スクリーンに影を落とすような透視投影や、ピンホールカメラで平らなフィルムプレートに映し出される直線的な画像などに限定されるものではありません。むしろ、曲面上の座標を平面上に明確かつ滑らかに変換するあらゆる数学関数が投影です。実際に使用される投影で透視投影はほとんどありません。
この記事の大部分は、マッピング対象の表面が球体であることを前提としています。地球やその他の大きな天体は一般的に扁平回転楕円体としてモデル化するのに適していますが、小惑星などの小さな天体は不規則な形状をしていることがよくあります。惑星の表面は、球体や楕円体でうまくモデル化できないほど不規則な場合でもマッピングできます。[ 8 ]
最もよく知られている地図投影法はメルカトル図法です。[ 7 ]： 45この地図投影法は正角性という性質を持っています。しかし、20世紀を通じて、赤道から遠い地域を拡大してしまうという批判を受けてきました。[ 7 ]： 156-157対照的に、正弦曲線図法やガル・ピーターズ図法のような等積図法は、国同士の相対的な大きさを正しく示しますが、角度を歪めます。ナショナルジオグラフィック協会やほとんどの地図帳は、ロビンソン図法やウィンケル三重図法のように、面積と角度の歪みのバランスが取れた地図投影法を好んでいます。[ 7 ] [ 9 ]
地球の表面では、地理的条件とは無関係に、多くの特性を測定することができる。
地図投影法は、これらの特性の一部を維持する一方で、他の特性を犠牲にするように構築できます。地球の曲面は平面に対して等角投影ではないため、形状を維持するには必然的に可変縮尺が必要となり、結果として面積の表示は比例しません。同様に、面積を維持する投影法は正角投影にはなり得ないため、地図のほとんどの場所で形状と方位が歪んでしまいます。各投影法は、基本的な計量特性をさまざまな方法で維持、妥協、または近似します。地図の目的によって、どの投影法を地図の基盤とするかが決まります。地図にはさまざまな目的があるため、それらの目的に合わせて多様な投影法が作成されてきました。
投影法の構成におけるもう一つの考慮事項は、地図上で使用するデータセットとの互換性です。データセットは地理情報であり、その収集方法は選択された地球の測地系（モデル）に依存します。異なる測地系では、同じ場所にわずかに異なる座標が割り当てられるため、国家地図システムなどの大規模な地図では、測地系と投影法を一致させることが重要です。異なる測地系間の座標割り当てのわずかな違いは、世界地図や広大な地域を描いた地図では問題になりません。そのような地図では、そのような違いはほとんど認識できないほど小さくなるからです。
カール・フリードリヒ・ガウスの「驚異の定理」 は、球の表面を平面上に歪みなく表現することはできないことを証明した。これは、地球のモデルとして使用される他の基準面、例えば扁平回転楕円体、楕円体、ジオイドにも当てはまる。あらゆる地図投影はこれらの表面のいずれかを平面上に表現したものであるため、すべての地図投影は歪みを生じる。[ 5 ]
投影法に内在する歪みを示す古典的な方法は、ティソの指示楕円を使用することです。ニコラ・ティソは、与えられた点について、子午線に沿った縮尺係数h 、緯線に沿った縮尺係数k 、およびそれらの間の角度θ ′ を使用して、歪みの成分の量と方向を示す楕円を構成する方法を説明しました。[ 7 ] : 147–149 [ 10 ] : 24子午線と緯線に沿って楕円を規則的に配置することにより、指示楕円のネットワークは、地図全体で歪みがどのように変化するかを示します。
投影図の歪みを示す方法は他にも数多く報告されている。[ 11 ] [ 12 ]ティソの指示曲線と同様に、ゴールドバーグ・ゴットの指示曲線も無限小に基づいており、屈曲と歪み（曲がりと偏り）を描写する。[ 13 ]
ティソの指示円のように元の（拡大された）無限小の円ではなく、いくつかの視覚的手法では、地図の一部に広がる有限の形状を投影します。たとえば、固定半径の小さな円（たとえば、角度半径15度）などです。[ 14 ]球面三角形が使用されることもあります。20 世紀前半には、人間の頭部をさまざまな投影法に投影して、ある投影法と別の投影法で歪みがどのように異なるかを示すのが一般的でした。[ 15 ] 動的なメディアでは、おなじみの海岸線や境界線の形状をインタラクティブな地図上でドラッグして、地図上の位置に応じて投影法がサイズや形状をどのように歪ませるかを示すことができます。[ 16 ]
局所的な歪みを視覚化するもう 1 つの方法は、グレースケールまたは色のグラデーションを使用することです。その濃淡は、角度変形または面積膨張の大きさを表します。場合によっては、2 つの色をブレンドして二変量マップを作成することで、両方を同時に表示します。[ 17 ]
歪みを単一の点ではなく領域全体にわたってグローバルに測定するには、妥協点に達するために優先順位を選択する必要がある。一部のスキームでは、距離歪みを角度変形と面積膨張の組み合わせの代理として使用し、単一の結果を得るために、測定する経路とそれらに重みを付ける方法を任意に選択する。多くの方法が説明されている。[ 13 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]
地図投影法の作成には、次の2つのステップが含まれます。
最も単純な地図投影法の一つは、地球儀上の特定の位置に光源を配置し、その特徴を特定の平面上に投影することによって得られる、文字通りの投影法です。ほとんどの投影法はこのように定義されていませんが、光源と地球儀のモデルをイメージすることは、地図投影法の基本的な概念を理解する上で役立ちます。
伸ばしたり、裂けたり、縮んだりすることなく、平面またはシート状に展開できる表面を、展開可能な表面と呼びます。円柱、円錐、平面はすべて展開可能な表面です。球と楕円体は展開可能な表面を持たないため、それらを平面に投影すると必ず画像が歪みます。（例えるなら、オレンジの皮を裂けたり歪んだりせずに平らにすることはできません。）
投影を説明する一つの方法は、まず地球の表面から円筒や円錐などの展開可能な面に投影し、次にその面を平面に展開することです。最初の段階で地球の特性の一部が歪むことは避けられませんが、展開可能な面はそれ以上の歪みなく展開できます。
円筒、円錐、平面のいずれかに投影することを選択したら、形状のアスペクトを指定する必要があります。アスペクトとは、展開可能な曲面が地球に対してどのように配置されるかを表すもので、法線方向（曲面の対称軸が地球の自転軸と一致する）、横断方向（地球の自転軸に直角）、または斜交方向（その間の任意の角度）のいずれかになります。
展開可能な曲面は、球面または楕円体に対して接線または割線のいずれかになります。接線とは、曲面が球面に接しているが球面を切断していない状態を意味し、割線とは、曲面が球面を切断している状態を意味します。展開可能な曲面を球面から遠ざけても、計量特性が維持または最適化されることはないため、この可能性についてはここではこれ以上議論しません。
接線と割線（標準線）は歪みなく表現されます。これらの線が円錐投影のように緯線である場合、それは標準緯線と呼ばれます。中心子午線は、投影前に地球儀を回転させる子午線です。中心子午線（通常はλ 0と表記）と原点緯線（通常はφ 0と表記）は、地図投影の原点を定義するためによく使用されます。[ 22 ] [ 23 ]
地球全体をあらゆる方向において一定の縮尺で表現できるのは、地球儀だけです。地図では、どんなに小さな領域であっても、その特性を実現することはできません。ただし、特定の線に沿って一定の縮尺を実現することは可能です。
考えられる特性としては、以下のようなものがあります。
投影図の作成は、地球や惑星の形状をどのように近似するかによっても影響を受けます。次の投影図の分類に関するセクションでは、議論を簡略化するために地球を球体として扱います。しかし、地球の実際の形状は扁平楕円体に近いものです。球形であれ楕円形であれ、ここで説明する原理は一般性を損なうことなく適用できます。
地球の形状を表すモデルを選択する際には、球体と楕円体の長所と短所を比較検討する必要があります。球体モデルは、世界地図帳や地球儀などの小縮尺地図に適しています。なぜなら、その縮尺では誤差が目立たず、より複雑な楕円体を使用するほど重要ではないからです。一方、楕円体モデルは、地形図や、地表面を正確に描写する必要のある大縮尺・中縮尺地図の作成によく用いられます。楕円体を投影する際には、補助緯度がよく利用されます。
3つ目のモデルはジオイドで、風、潮汐、陸地がない場合の平均海面と一致する、地球の形状をより複雑かつ正確に表現したものです。最適な楕円体と比較すると、ジオイドモデルは距離、等角性、等価性などの重要な特性の特性を変えます。したがって、そのような特性を保持するジオイド投影では、マッピングされたグリッドはマッピングされた楕円体のグリッドからずれます。通常、ジオイドは投影のための地球モデルとしては使用されません。地球の形状は非常に規則的で、ジオイドの起伏は地球の半径630万m のうち楕円体モデルから100m未満だからです。しかし、小惑星などの不規則な惑星体の場合、ジオイドに類似したモデルを使用して地図を投影することがあります。[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]
他の正多面体は、より小さな天体のジオイド形状の一般化として用いられることがあります。例えば、イオは三軸楕円体または偏心率の小さい扁球でモデル化するのが最適です。ハウメアの形状はヤコビ楕円体で、長軸は短軸の2倍、中央軸は短軸の1.5倍です。詳細については、三軸楕円体の地図投影図を参照してください。
地図投影法を分類する一つの方法は、地球が投影される面の種類に基づくものです。この方法では、投影プロセスは、目的とする研究領域と同じ大きさの仮想的な投影面を地球の一部に接触させ、地球表面の特徴を投影面に転写し、投影面を展開して縮尺を調整して平面地図を作成するという手順で行われます。最も一般的な投影面は、円筒投影（例：メルカトル図法）、円錐投影（例：アルベルス図法）、平面投影（例：ステレオ投影）です。しかし、多くの数学的投影法は、これら3つの投影法のいずれにもきれいに当てはまりません。そのため、擬似円錐投影、擬似円筒投影、擬似方位投影、逆方位投影、多円錐投影など、他の類似の分類が文献で説明されています。
投影を分類するもう一つの方法は、それが保持するモデルの特性に基づいて分類することです。より一般的な分類には、次のようなものがあります。
球は展開可能な曲面ではないため、等面積かつ等角投影となるような地図投影法を構築することは不可能である。
3 つの展開可能な曲面 (平面、円筒、円錐) は、地図投影法の理解、記述、開発に役立つモデルを提供します。しかし、これらのモデルには 2 つの根本的な制約があります。 1 つは、現在使用されている世界の投影法のほとんどが、これらのカテゴリのいずれにも該当しないことです。 2 つは、これらのカテゴリに該当する投影法のほとんどが、物理的な投影によって自然に実現できるものではないことです。LP Lee が指摘するように、
上記の定義では、円筒、円錐、平面については一切言及されていません。投影図は、円筒または円錐上に展開されていると見なせるため、円筒投影または円錐投影と呼ばれますが、円筒や円錐を図示することは多くの誤解を生むため、省略した方が良いでしょう。特に、2つの標準平行線を持つ円錐投影に関しては、円錐上に展開されていると見なせるものの、球面と単純な関係を持たない円錐です。実際には、円筒や円錐は便利な説明用語を提供するだけで、それ以上の意味はありません。[ 29 ]
リーの異議は、地図投影の分野において円筒図法、円錐図法、平面図法（方位図法）といった用語が抽象化されている方法を指している。もし地図が、地球儀を通して展開可能な平面に光が当たるように投影されるとすれば、緯線の間隔は非常に限られた範囲に収まることになる。例えば、このような円筒図法は次のようになる。
（投影前に地球儀を回転させると、緯線と経線は必ずしも直線ではなくなります。分類の目的においては、通常、回転は無視されます。）
最後の制約で述べた線に沿って光源がどこから発せられるかによって、さまざまな「自然な」円筒投影法の違いが生じます。しかし、地図投影の分野で使われる「円筒」という用語は、最後の制約を完全に緩和します。代わりに、緯線は、設計者が地図のニーズに合うと判断した任意のアルゴリズムに従って配置できます。有名なメルカトル図法では、緯線の配置は投影によって生じるのではなく、一定方位の航路が常に直線として描かれるという性質を満たすように緯線が配置されます。
標準円筒図法とは、経線を等間隔の垂直線に、緯線（緯線）を水平線にマッピングする投影法のことである。
経線を垂直線にマッピングする様子は、地球の自転軸と一致する軸を持つ円筒を想像することで視覚化できます。この円筒を地球に巻き付け、投影し、そして広げます。
円筒投影図は、その構造の幾何学的性質により、東西方向に距離を伸ばします。どの緯度を選んでも、円筒投影図における伸びの量は一定であり、緯度の割線を赤道の縮尺の倍数として表されます。様々な円筒投影図は、南北方向の伸び（緯度はφで表される）によってのみ区別されます。
最初のケース（メルカトル図法）では、東西の目盛りは常に南北の目盛りと等しくなります。2番目のケース（中央円筒図法）では、赤道から離れた場所では、南北の目盛りが東西の目盛りを上回ります。残りの各ケースには、東西の目盛りと南北の目盛りが一致する、符号が反対の同一の緯度（または赤道）のペアである割線が存在します。
通常の円筒投影法では、地球全体が有限の長方形として描かれるが、最初の2つのケースでは、長方形は一定の幅を保ちながら無限に高さまで伸びる。
横円筒投影とは、接線の場合に子午線に沿った大円を円筒の接触線として使用する円筒投影法のことである。
参照：横メルカトル図法。
斜円筒投影は、大円とは一致するが、赤道や子午線とは一致しない。
擬円筒図法では、中心子午線は直線として表されます。他の子午線は中心子午線よりも長く、中心子午線から外側に向かって湾曲しています。擬円筒図法では、緯線は直線として表されます。緯線に沿って、地表上の各点は、中心子午線からの経度の差に比例した距離にマッピングされます。したがって、特定の緯線に沿って子午線は等間隔に配置されます。擬円筒図法では、赤道から他の点よりも遠い点は、他の点よりも緯度が高くなり、南北の関係が維持されます。この特性は、気候など、緯度に依存する現象を説明する際に役立ちます。擬円筒図法の例としては、次のものがあります。
HEALPix投影法は、赤道地域では等積円筒図法を、極地域ではコリニョン図法を組み合わせたものである。
円錐投影という用語は、経線が頂点から放射状に伸びる等間隔の線にマッピングされ、緯線（平行線）が頂点を中心とする円弧にマッピングされる投影法を指すのに使用されます。 [ 31 ]
円錐図を作成する際、地図製作者は任意に2つの標準緯線を選択します。これらの標準緯線は、円錐が地球と交わる点の割線として、あるいは地図製作者が同じ緯線を2回選択した場合は、円錐が地球に接する点の接線として視覚化できます。結果として得られる円錐図は、これらの標準緯線付近では縮尺、形状、面積の歪みが少なくなります。両方の標準緯線の北側または南側の緯線に沿った距離は引き伸ばされ、標準緯線間の緯線に沿った距離は圧縮されます。標準緯線が1つだけ使用される場合は、他のすべての緯線に沿った距離は引き伸ばされます。
一般的に使用される円錐投影法は以下のとおりです。
方位図法は、中心点からの方向が保持されるという性質を持ち、そのため中心点を通る大円は地図上で直線で表されます。また、これらの図法は縮尺、ひいては歪みにおいて放射状対称性を持ちます。中心点からの地図上の距離は、角度に依存しない真の距離dの関数r ( d ) によって計算されます。同様に、中心点を中心とする円は、地図上で中心点を中心とする円にマッピングされます。
放射状の線をマッピングする方法は、地球に接する平面を想像し、その中心点を接点とすることで視覚化できる。
半径スケールはr′ ( d ) であり、横方向スケールはr ( d )/( R sin d / R ) で、Rは地球の半径です。
方位投影の中には、真の透視投影であるものがあります。つまり、透視点（接点と接点の対蹠点を通る無限直線に沿って）から平面上に線を延長することによって地球の表面を投影することで、機械的に構築できるものです。
その他の方位投影法は、真の透視投影法ではありません。
多面体地図投影法は、多面体を用いて地球を複数の面に分割し、それぞれの面を地球上に投影する手法です。最もよく知られている多面体地図投影法は、バックミンスター・フラーのダイマクション地図です。
正角投影、または直交投影は、局所的に角度を保持するため、地球上の任意の場所にある一定サイズの微小円を、地図上では様々なサイズの微小円に写像します。対照的に、正角でない写像では、そのような微小円のほとんどが歪んだ楕円に変形します。正角性の重要な帰結は、地図上の各点における相対角度が正しく、任意の1点の周囲のあらゆる方向における局所的な縮尺（地図全体で変化するものの）が一定であることです。以下は、いくつかの正角投影の例です。
等積図法は面積の測定値を保持するために、一般的に形状を歪ませます。等積図法は等積図法または自積図法とも呼ばれます。以下は面積を保持する投影法の例です。
平面上に投影された2点を結ぶ線分の長さが、地球上の投影されていない2点間の測地距離に比例する場合、その2点間の距離は保存されていると言えます。等距離投影は、 1つまたは2つの特別な点から他のすべての点までの距離を保存します。特別な点は、投影時に線分または曲線に引き伸ばされることがあります。その場合、距離を測定するには、測定対象の点に最も近い線分または曲線上の点を使用する必要があります。
大円は直線として表示されます。
固定地点Bへの方向（最短経路の出発地点Aにおける方位）は、地図上のAからBへの方向に対応します。
妥協投影法は、計量特性を完全に維持するという考え方を放棄し、歪みのバランスを取ったり、単に見た目を良くしたりすることを目指します。これらの投影法のほとんどは、赤道よりも極地で形状の歪みが大きくなります。以下に、いくつかの妥協投影法を示します。
投影法の数学では、あらゆる用途に最適な特定の地図投影法は存在しません。[ 39 ]必ず何らかの歪みが生じます。そのため、地図の多様な用途と幅広い縮尺に対応するために、多くの投影法が存在します。
現代の国家地図作成システムでは、通常、大縮尺地図には、等角性と狭い範囲での縮尺の変動の少なさを維持するために、横メルカトル図法またはその近似図法が採用されています。大陸や全世界を網羅するような小縮尺地図には、目的に応じて、ウィンケル・トリペル図法、ロビンソン図法、モルワイデ図法など、多くの投影法が一般的に使用されています。[ 40 ] 世界の参照地図は、多くの場合、妥協的な投影法で表示されています。世界の地図には必ず歪みが生じるため、投影法の選択は主に美観の問題となります。
主題図は通常、単位面積あたりの現象が正しい比率で表示されるように等面積投影を必要とする。 [ 41 ] しかし、面積比を正しく表現すると、等面積でない多くの地図よりも形状が歪むことになる。
航海目的で開発されたメルカトル図法は、他の図法の方が適切であった世界地図でしばしば使用されてきた。[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]この問題は、専門家以外の人々の間でも長らく認識されてきた。例えば、1943年のニューヨーク・タイムズの社説には次のように書かれている。
大陸や方位をより正確に表現する地図に置き換える時が来た…メルカトル図法の使用は減少しているものの、壁掛け地図としては依然として非常に人気が高い。これは、長方形の地図であるため、長方形の壁面をより広く埋めることができること、そして明らかにその馴染み深さが人気を高めていることが一因であると考えられる。[ 7 ]： 166
1980年代にピーターズ地図をめぐる論争が起こり、アメリカ地図協会（現在の地図地理情報学会）は、地図投影法と地図の歪みについて一般の人々を啓蒙することを目的とした一連の小冊子（「どの地図が最適か」[ 46 ]を含む）を作成した。1989年と1990年には、内部での議論を経て、北米の7つの地理組織が、世界の参照地図に長方形投影法（メルカトル図法やガル・ピーターズ図法を含む）を使用しないことを推奨する決議を採択した。[ 47 ] [ 48 ]