球状の円

球面幾何学において、球面円（しばしば円と略される）は、球面上の任意の点（極または球面中心）から一定の球面距離（球面半径）にある球面上の点の軌跡である。これは、球面に対する一定の測地曲率を持つ曲線であり、ユークリッド平面の線または円に類似している。直線に類似する曲線は大円と呼ばれ、平面円に類似する曲線は小円または小円と呼ばれる。球面が 3 次元ユークリッド空間に埋め込まれている場合、その円は球面と平面の交点であり、大円は球面の 中心を通る平面との交点である。

測地曲率がゼロの球面円は大円と呼ばれ、平面上の直線に類似した測地線です。大円は球面を 2 つの等しい半球に分割し、それぞれの半球の境界は大円になります。大円が球面上の点を通過する場合、大円は対心点(球面上の唯一の最も遠い他の点) も通過します。対心点ではない 2 つの異なる点については、両方を通過する唯一の大円があります。大円上の任意の 2 つの点は、平面上の線分に類似した2 つの円弧に大円を分割します。短い方は短円弧と呼ばれ、点間の最短経路であり、長い方は長円弧と呼ばれます。

測地曲率がゼロでない円は小円と呼ばれ、平面上の円に似ています。小円は球面を 2 つの球面ディスクまたは球面キャップに分割し、それぞれの境界は円になります。任意の 3 つの非対蹠点に対して、3 つの点すべてを通過する唯一の小円が存在します。小円上の任意の 2 つの点は、平面上の 円弧に類似して、小円を 2 つの円弧に分割します。

すべての円には、球体に固有の 2 つの反対の極 (または中心) があります。大円は両極から等距離にあり、小円は一方の極からもう一方の極よりも近くにあります。同心円は、互いに、特に同心円の大円から一定の距離にあるため、平行線と呼ばれることもあります。その意味では、平面上の 平行線に似ています。

球がユークリッド空間に等長的に 埋め込まれている場合、球と平面の交点は円であり、これは球の外部的にユークリッド円として解釈できます。ユークリッド円は、平面内の点(外部中心) から一定のユークリッド距離(外部半径) にある平面内の点の軌跡です。大円は球の中心を通る平面上にあるため、その外部半径は球自体の半径に等しく、その外部中心は球の中心です。小円は球の中心を通らない平面上にあるため、その外部半径は球の半径よりも小さく、その外部中心は球の内部の任意の点です。平行平面は球を平行な (同心の) 小円に切断します。球に接する一対の平行平面はこれらの円の極で接し、球の中心を通り平行平面に垂直なこれらの極を通る直径は平行円の 軸と呼ばれます。

球と 2 番目の球との交点も円であり、球と同心の直円柱または直円錐との交点は、一対の反対称円です。

地球上の地理座標系では、緯線は小さな円で、赤道だけが大円となります。対照的に、経線はすべて、他の半球にある反対の子午線と対になって大円を形成します。

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