縮尺（地図）

地図の縮尺は、地図上の距離と地上の対応する距離の比率です。この単純な概念は、地球の表面の曲率によって複雑になり、縮尺は地図全体で変化します。この変化により、縮尺の概念は 2 つの異なる意味で意味を持ちます。

最初の方法は、地球の大きさに対する地球の大きさの比率です。地球は、地球を縮小し、地図を投影する概念モデルです。地球の大きさと地球の大きさの比率は、公称縮尺(主縮尺または代表分数とも呼ばれます) と呼ばれます。多くの地図には公称縮尺が記載されており、それを表すバー スケール(単に「スケール」と呼ばれることもあります)が表示されることもあります。

スケールの 2 つ目の明確な概念は、マップ全体のスケールの変化に適用されます。これは、マップされたポイントのスケールと公称スケールの比率です。この場合、「スケール」はスケール係数(ポイント スケールまたは特定のスケールとも呼ばれます) を意味します。

都市計画のように、地図の領域が地球の曲率を無視できるほど小さい場合は、測定誤差を生じさせることなく、単一の値を縮尺として使用できます。より広い領域や地球全体をカバーする地図では、地図の縮尺は距離の測定にあまり役に立たないか、まったく役に立たない場合があります。地図投影は、地図全体で縮尺がどのように変化するかを理解するのに重要になります。^{[1] [2]}縮尺が著しく変化する場合は、縮尺係数として説明できます。ティソの指示楕円体は、地図上の点の縮尺の変化を示すためによく使用されます。

定量的な地図の縮尺の基礎は古代中国にまで遡り、地図の縮尺という考え方は紀元前2世紀までに理解されていたことを示す文献の証拠がある。古代中国の測量士や地図製作者は、地図を作成するために、計数棒、大工の定規、鉛直線、円を描くためのコンパス、傾斜を測定するための照準管など、十分な技術的資源を持っていた。場所を特定するための初期の座標系を仮定する基準フレームは、空をさまざまなセクターまたは月のロッジに分割した古代中国の天文学者によって示唆された。^[3]

三国時代の中国の地図製作者で地理学者の裴秀は、縮尺通りに描かれた一連の大面積の地図を作成しました。彼は、地図を作成する際の地形の一貫した縮尺、方向測定、土地測定の調整の重要性を強調した一連の原則を生み出しました。^[3]

地図の縮尺は、言葉（語彙スケール）、比率、または分数で表現できます。例:

「1センチメートルから100メートル」または1:10,000または1/10,000

「1インチは1マイル」または1:63,360または1/63,360

「1センチメートル対10000キロメートル」または1:100,000,000または1/100,000,000。（この比率は通常1:100Mと省略されます）

上記に加えて、多くの地図には 1 つ以上の(グラフィカルな) 棒目盛りが付いています。たとえば、現代の英国の地図には、キロメートル、マイル、海里のそれぞれに 1 つずつ、合計 3 つの棒目盛りが付いています。

ユーザーが知っている言語の語彙スケールは、比率よりも視覚化しやすい場合があります。スケールが 1インチ対 2マイルで、地図ユーザーが地図上で約 2 インチ離れた 2 つの村を見ることができる場合、地上ではその村が約 4 マイル離れていることが簡単にわかります。

語彙の縮尺は、ユーザーが理解できない言語で表現されていたり、古い単位や定義があいまいな単位で表現されていたりすると、問題を引き起こす可能性があります。たとえば、1 インチを 1ハロン(1:7920) とする縮尺は、学校で帝国単位を教えていた国の高齢者の多くに理解されます。しかし、1プースを1リーグとする縮尺は、リーグのさまざまな定義の中から地図製作者が選んだものに応じて、約 1:144,000 になる可能性があり、現代のユーザーのうち、使用されている単位に精通しているのは少数派です。

空間スケールとの対比。

小縮尺の地図は、世界地図、大陸、大きな国などの広い地域をカバーします。言い換えれば、小さなスペースに広い土地を表示します。代表部分が比較的小さいため、小縮尺と呼ばれます。

大縮尺の地図は、郡の地図や市街地計画のように、より小さな地域をより詳細に示します。このような地図は、代表部分が比較的大きいため大縮尺と呼ばれます。たとえば、大縮尺の地図である市街地計画は 1:10,000 の縮尺になることがあります。一方、小縮尺の地図である世界地図は 1:100,000,000 の縮尺になることがあります。

次の表は、これらのスケールの一般的な範囲を示していますが、標準がないため、権威あるものと見なすべきではありません。

これらの用語は、表の絶対的な意味で使用されることもありますが、相対的な意味で使用されることもあります。たとえば、仕事で大縮尺の地図 (上記の表を参照) のみを参照する地図読者は、1:500,000 の地図を小縮尺と呼ぶことがあります。

英語では、「大規模」という言葉は「広範囲」という意味でよく使われます。しかし、上で説明したように、地図製作者は「大規模」という用語を、より範囲の狭い地図、つまりより狭い範囲を示す地図を指すために使用します。広い範囲を示す地図は「小規模」地図です。これが混乱の原因となることがあります。

広い範囲を地図にすると、地球の曲面が著しく平坦化されるため、目立った歪みが生じます。歪みがどのように分布するかは、地図投影によって異なります。縮尺は地図全体で異なり、記載されている地図縮尺は近似値にすぎません。これについては、以下で詳しく説明します。

地球が平面であるとみなせる領域は、測量の精度に依存する。最も近いメートル単位でのみ測定した場合、地球の曲率は、子午線距離約 100 キロメートル (62 マイル) および東西線約 80 キロメートル (緯度45度) にわたって検出されない。最も近い 1 ミリメートル (0.039 インチ) 単位で測量した場合、曲率は子午線距離約 10 キロメートルおよび東西線約 8 キロメートルにわたって検出されない。^{[4]したがって、1 メートル単位の精度の}ニューヨーク市の計画や 1 ミリメートル単位の精度の建築敷地計画は、どちらも曲率を無視するための上記の条件を満たす。これらは平面測量で処理でき、図面上の同じ距離にある任意の 2 点は地上でも同じ距離にある縮尺図で地図化できる。実際の地上距離は、地図上の距離を測定し、スケール分数の逆数を掛け合わせるか、または単純に仕切りを使用して地図上のポイント間の距離を地図上の バースケールに転送することによって計算されます。

ガウスの「エグレギウム定理」で証明されているように、球体（または楕円体）を平面に投影すると歪みが生じます。これは、オレンジの皮を裂いたり変形させたりせずに平らな面に押し付けるのは不可能であることによってよく例えられます。一定のスケールで球体を正しく表現できるのは、地球儀などの別の球体だけです。

地球儀の実際のサイズは限られているため、詳細なマッピングには地図を使用する必要があります。地図には投影が必要です。投影には歪みが伴います。つまり、地図上の一定の間隔は、地上の一定の間隔とは対応しません。地図にはグラフィカルなバー スケールが表示される場合がありますが、そのスケールは、地図の一部の行でのみ正確であることを理解した上で使用する必要があります (これについては、次のセクションの例でさらに説明します)。

P を球面（または楕円体）上の緯度と経度の点とします。Q を隣接点とし、要素 PQ と P における子午線の間の角度をとします。この角度が要素 PQ の方位角です。P' と Q' を投影上の対応する点とします。方向 P'Q' と子午線の投影間の角度が方位 です。一般に です。コメント: 方位角（地球表面上）と方位（地図上）のこの厳密な区別は普遍的ではなく、多くの筆者がこれらの用語をほとんど同じ意味で使用しています。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

定義: Pにおける 点スケールは、 QがPに近づく極限における2つの距離P'Q'とPQの比です。これは次のように表されます。

${\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}},}$

ここで、表記は、ポイントスケールが P の位置と要素 PQ の方向の関数であることを示しています。

定義: P と Q が同じ子午線上にある場合、子午線スケールは で表されます。 ${\displaystyle (\alpha =0)}$${\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}$

定義: P と Q が同じ平行線上にある場合、平行スケールは で表されます。 ${\displaystyle (\alpha =\pi /2)}$${\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi )}$

定義:ポイントスケールが方向ではなく位置のみに依存する場合、それは等方性であるとされ、慣例的に任意の方向のその値は平行スケール係数で表されます。 ${\displaystyle k(\lambda ,\varphi )}$

定義:点 P で交差するすべての線分のペアについて、点 P で交差する線分のペア間の角度が、投影点 P' での投影線分の角度と同じである場合、地図投影は正角であると言われます。正角地図には等方性のスケール係数があります。逆に、地図全体にわたって等方性のスケール係数がある場合は、正角投影であることを意味します。

スケールの等方性とは、小さな要素がすべての方向に均等に引き伸ばされ、小さな要素の形状が保持されることを意味します。これは、正射影写像(ギリシャ語で「正しい形」を意味する) の特性です。「小さい」という修飾語は、特定の測定精度では、要素のスケール係数に変化が検出されないことを意味します。正角投影はスケール係数が等方性であるため、正射影写像とも呼ばれています。たとえば、メルカトル図法は角度を保持するように構築されており、スケール係数は等方性で、緯度のみの関数であるため、正角です。メルカトル図法は小さな領域の形状を保持し ます。

定義:等方性スケールの正角投影では、同じスケール値を持つ点が結合されて等尺線が形成されることがあります。これらはエンドユーザー向けの地図にはプロットされませんが、多くの標準テキストに登場します。(Snyder ^[1] 203〜206ページを参照)

投影図の方程式を記述する際には2つの慣例が用いられる。例えば、正距円筒図法は次のように記述される。

地図製作者:        ${\displaystyle x=a\lambda }$      ${\displaystyle y=a\varphi }$

数学者:       ${\displaystyle x=\lambda }$      ${\displaystyle y=\varphi }$

ここでは、最初の規則を採用します (Snyder の調査での使用法に従います)。明らかに、上記の投影方程式は、地球に巻き付けられ、その後広げられた巨大な円筒上の位置を定義します。これらの座標は、実際の印刷された(または表示された) 地図とは論理的に区別する必要がある投影マップを定義すると言えます。前のセクションのポイント スケールの定義が投影マップに関するものである場合、スケール係数は 1 に近くなることが予想されます。通常の接線円筒投影の場合、赤道に沿ったスケールは k=1 であり、一般に、赤道から離れるにつれてスケールは変化します。投影マップ上のスケールの分析は、k が真の値である 1 からどのように変化するかを調べることです。

実際の印刷地図は、投影地図から一定の縮尺で作成されます。この縮尺は、1:100M (世界地図全体) または 1:10000 (都市計画など) などの比率で示されます。「縮尺」という言葉の使用による混乱を避けるため、この一定の縮尺率は印刷地図の代表率(RF) と呼ばれ、地図に印刷された比率と同一視されます。等角円筒図法の実際の印刷地図座標は、次のとおりです。

印刷された地図:        ${\displaystyle x=(RF)a\lambda }$      ${\displaystyle y=(RF)a\varphi }$

この規則により、固有の投影スケーリングと縮小スケーリングを明確に区別できます。

この時点では、RF を無視し、投影マップを操作します。

地球の表面上の、緯度と経度の点 P を中心とする小さな円を考えてみましょう。点のスケールは位置と方向によって変化するため、投影図上の円の投影は歪んでしまいます。ティソは、歪みが大きすぎない限り、円は投影図上で楕円になることを証明しました。一般に、楕円の寸法、形状、方向は投影図上で変化します。これらの歪み楕円を地図投影図に重ね合わせると、点のスケールが地図上でどのように変化しているかが伝わります。歪み楕円はティソの指示楕円として知られています。ここに示す例は、ナショナル ジオグラフィック協会が作成した世界地図の標準投影法であるヴィンケル三角図法です。歪みが最小になるのは、緯度 30 度 (北緯と南緯) の中心子午線上です (他の例^{[5] [6]} )。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$

スケールを定量的に理解する鍵は、球面上の微小要素を考えることです。図は、球面上の緯度と経度にある点 P を示しています。点 Q は、緯度と経度にあります。線 PK と線 MQ は、長さ の子午線弧で、 は球面の半径で、 はラジアン単位です。線 PM と線 KQ は、長さがラジアン単位の平行円弧です。Pでの投影の点特性を導出するには、表面の微小要素 PMQK を取れば十分です。Q が P に近づく極限では、このような要素は微小な平面長方形に近づきます。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varphi +\delta \varphi }$${\displaystyle \lambda +\delta \lambda }$${\displaystyle a\,\delta \varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (a\cos \varphi )\delta \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

球面の通常の円筒投影 では、 は緯度のみの関数に等しくなります。したがって、球面上の微小要素 PMQK は、底辺と高さ を 持つ正確な長方形である微小要素 P'M'Q'K' に投影されます。球面と投影上の要素を比較することで、緯線と経線上のスケール係数の式をすぐに推測できます。(一般的な方向のスケールの扱いについては、以下を参照してください。) ${\displaystyle x=a\lambda }$${\displaystyle y}$${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$${\displaystyle \delta y}$

平行スケール係数   ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

子午線スケール係数  ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}$

平行スケール係数は の定義とは独立しており、すべての通常の円筒投影で同じであることに注意してください。次の点に注意してください。 ${\displaystyle k=\sec \varphi }$${\displaystyle y(\varphi )}$

緯度30度では、緯度スケールは${\displaystyle k=\sec 30^{\circ }=2/{\sqrt {3}}=1.15}$

緯度45度では、緯度スケールは${\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}$

緯度60度では、緯度スケールは${\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}$

緯度80度では、緯度スケールは${\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}$

緯度85度では、緯度スケールは${\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}$

次の例は、3 つの通常の円筒投影を示しており、それぞれの場合において、位置と方向によるスケールの変化が、ティソの指示楕円体を使用して示されています。

正距円筒図法[ ^1] [ ^{2] [4]は、} Plate Carrée（フランス語で「平らな正方形」）または（やや誤解を招くが）等距離図法 としても知られ、次のように定義される。

${\displaystyle x=a\lambda ,}$   ${\displaystyle y=a\varphi ,}$

ここで、は球面の半径、は投影の中心子午線（ここでは のグリニッジ子午線とする）からの経度、 は緯度です。および はラジアン単位（度数に/180 を乗じて得られる）であることに注意してください。 経度は の範囲内、緯度はの範囲内です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$

前のセクション では${\displaystyle y'(\varphi )=1}$

平行スケール、  ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

子午線スケール ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,1}$

任意の方向のポイントスケールの計算については、付録を参照してください。

この図は、この投影のティソ示角楕円を示しています。赤道上では h=k=1 であり、投影時に円形要素は歪みません。高緯度では、円は平行方向にのみ引き伸ばされて楕円に歪みます。子午線方向には歪みはありません。長軸と短軸の比は です。明らかに、楕円の面積は同じ係数で増加します。 ${\displaystyle \sec \varphi }$

この投影法の印刷版に表示されるバー スケールの使用について検討すると参考になります。スケールは赤道上で正確 (k=1) であるため、印刷された地図上のバー スケールの長さに RF (または主スケール) の逆数を掛けると、地球の実際の円周が得られます。地図上のバー スケールも正確なスケールで描かれているため、赤道上の 2 点間の距離をバー スケールに転送すると、それらの点間の正確な距離が得られます。子午線でも同じことが言えます。赤道以外の緯線ではスケールが正確なため、緯線からバー スケールに距離を転送する場合、バー スケールの距離をこの係数で割って、緯線に沿って測定した場合の点間の距離を取得する必要があります (これは大円に沿った正確な距離ではありません)。たとえば方位が 45 度 ( ) の線では、スケールは緯度とともに連続的に変化し、線に沿った距離をバー スケールに転送しても、実際の距離に関連する距離は簡単には得られません (ただし、付録を参照してください)。たとえこの一定平面角の線に沿った距離を計算できたとしても、投影上のそのような線は球面上の複雑な曲線に対応するため、その関連性は疑わしい。これらの理由から、小縮尺の地図上のバースケールは細心の注意を払って使用する必要がある。 ${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \beta =45^{\circ }}$

メルカトル図法は、球面を（ -方向に無限に広がる）長方形に写像し、次の式で表す^{[1] [2] [4]。}${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=a\lambda \,}$

${\displaystyle y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]}$

ここで、a、および は前の例と同じです。スケール係数は次のようになります。 ${\displaystyle \lambda \,}$${\displaystyle \varphi \,}$${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$

平行スケール     ${\displaystyle k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi .}$

子午線スケール   ${\displaystyle h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\sec \varphi .}$

数学的な補遺では、任意の方向の点スケールも に等しいことが示されています。したがって、スケールは等方性 (すべての方向で同じ) であり、その大きさは緯度とともに として増加します。ティソ図では、各微小円形要素はその形状を保持しますが、緯度が増加するにつれてますます拡大します。 ${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \sec \varphi }$

ランバートの等面積投影は、球面を有限の長方形に写像する。^{[1] [2] [4]}

${\displaystyle x=a\lambda \qquad \qquad y=a\sin \varphi }$

ここで、a、およびa は前の例と同じです。スケール係数は ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle y'(\varphi )=\cos \varphi }$

平行スケール      ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

子午線スケール    ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\cos \varphi }$

任意の方向におけるポイントスケールの計算を以下に示します。

垂直スケールと水平スケールは相互に補正され (hk=1)、ティソ図では、各微小円形要素が、赤道上の歪みのない円と 同じ面積の楕円に歪んでいます。

グラフは、上記の 3 つの例のスケール係数の変化を示しています。上のプロットは等方性メルカトル スケール関数を示しています。緯線上のスケールは、子午線上のスケールと同じです。他のプロットは、正距円筒図法 (h=1) とランベルト正積図法の子午線スケール係数を示しています。これら最後の 2 つの投影は、メルカトル図法と同じ緯線スケールを持っています。ランベルトの場合、緯線スケール (メルカトル A と同様) は緯度とともに増加し、子午線スケール (C) は hk=1 となるように緯度とともに減少し、面積が確実に保たれることに注意してください。

メルカトル図法のポイント スケールは、赤道上で 1 です。これは、図法の作成に使用される補助円筒が赤道で地球に接しているためです。このため、通常の投影は接線投影と呼ばれる必要があります。スケールは緯度によって のように変化します。は極に近づくにつれて無限大に近づくため、メルカトル図法の地図は高緯度で大きく歪みます。このため、この投影は世界地図にはまったく適していません (ナビゲーションと等角線について議論する場合を除く)。ただし、緯度約 25 度では の値は 約 1.1 なので、メルカトル図法は、赤道を中心とした幅 50 度の帯状領域で 10% 以内の精度です。帯は狭いほど良く、幅 16 度の帯状領域 (赤道を中心とした領域) の精度は 1% 以内、つまり 100 分の 1 以内です。 ${\displaystyle k=\sec \varphi }$${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \sec \varphi }$

優れた大縮尺地図の標準的な基準は、精度が 10,000 分の 4、つまり 0.04% 以内であることで、これは に相当します。 は 度 でこの値に達するので(下の図の赤い線を参照)、接線メルカトル図法は、赤道を中心とした幅 3.24 度の帯状領域内で高精度です。これは、南北距離約 360 km (220 マイル) に相当します。この帯状領域内では、メルカトル図法は非常に優れており、高精度で、正角 (角度が維持される) であるため形状が維持されます。これらの観察から、横メルカトル図法が開発されました。横メルカトル図法では、子午線が投影図の「赤道のように」扱われるため、その子午線の狭い距離内では正確な地図が得られます。このような地図は、ほぼ南北に一直線に並ぶ国 (イギリスなど) に適しており、60 枚のこのような地図のセットがユニバーサル横メルカトル (UTM)に使用されます。これらの両方の投影法 (さまざまな楕円体に基づく) では、x と y の変換方程式とスケール係数の式が、緯度と経度の両方の複雑な関数であることに注意してください。 ${\displaystyle k=1.0004}$${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \varphi =1.62}$

セカント投影の基本的な考え方は、球体が円筒に投影され、円筒が球体と 2 つの緯線、たとえば北と南で交差するというものです。明らかに、これらの緯度ではスケールは正確ですが、これらの緯度より下の緯線は投影によって縮小され、それらの (緯線の) スケール係数は 1 未満でなければなりません。その結果、スケールの 1 からの偏差は、より広い範囲の緯度にわたって減少します。 ${\displaystyle \varphi _{1}}$

例えば、セカントメルカトル図法の1つは次のように定義されます。

${\displaystyle x=0.9996a\lambda \qquad \qquad y=0.9996a\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right).}$

数値乗数は投影の形状を変更しませんが、スケール係数が変更されることを意味します。

セカントメルカトルスケール、   ${\displaystyle \quad k\;=0.9996\sec \varphi .}$

したがって

• 赤道上のスケールは0.9996です。
• スケールは、度となるように、  緯​​度で k = 1である。${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}$${\displaystyle \varphi _{1}=1.62}$
• k=1.0004 は、どの度に対して で与えられる緯度で成り立ちます。したがって、この投影法は、つまり 0.04% の精度を持ち、範囲は 4.58 度です (接線形式の場合は 3.24 度)。${\displaystyle \varphi _{2}}$${\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}$${\displaystyle \varphi _{2}=2.29}$${\displaystyle 1<k<1.0004}$

これは、前のセクションの図の下側（緑色）の曲線で示されています。

このような高精度の狭いゾーンは、UTM 投影法と英国の OSGB 投影法で使用されています。どちらも楕円体上の正割横メルカトル図法で、中心子午線上のスケールは で一定です。 の等尺線は、中心子午線の東西約 180 km にあるわずかに湾曲した線です。スケール係数の最大値は、UTM の場合は 1.001、OSGB の場合は 1.0007 です。 ${\displaystyle k_{0}=0.9996}$${\displaystyle k=1}$

円筒投影面が球面と交差する緯度（北と南）の単位尺度の線は、セカント投影の 標準緯線です。${\displaystyle \varphi _{1}}$

狭い帯状の緯線は大縮尺の高精度地図作成には重要ですが、世界地図では縮尺の変化を制御するために、より広い間隔の標準緯線が使用されます。例は次のとおりです。 ${\displaystyle |k-1|<0.0004}$

• 標準緯線が北緯 30 度、南緯 30 度にあるベールマン。
• ガルは、北緯 45 度、南緯 45 度を基準として面積が等しくなります。

後者のスケール プロットは、ランベルト等面積スケール係数と比較して、以下に表示されます。後者では、赤道は単一の標準緯線であり、緯線スケールは k=1 から増加して、子午線スケールの減少を補正します。ゴールの場合、緯線スケールは赤道で減少し (k=0.707 に)、子午線スケールは増加します (k=1.414 に)。これにより、ゴール ピータース図法では形状が大きく歪むことになります (地球儀上では、アフリカは縦横の長さがほぼ同じです)。子午線スケールと緯線スケールは標準緯線上では両方とも 1 であることに注意してください。

通常の円筒投影の場合、微小要素の幾何学は次のように表される。

${\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}$

${\displaystyle {\text{(b)}}\quad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda }{\delta y}}.}$

角度との関係は ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\text{(c)}}\quad \tan \beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha .\,}$

メルカトル図法では となります。角度は保持されます。(これはメルカトル図法を導くために使用された関係なので、驚くことではありません)。等距離図法とランベルト図法ではそれぞれ と となるため、との関係は緯度 に依存します 。無限小要素 PQ が子午線と の角度を成すときの P における点スケールを表します。 これは距離の比で与えられます。 ${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle y'(\varphi )=a}$${\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \alpha \,}$${\displaystyle \mu _{\alpha }.}$

${\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}}=\lim _{Q\to P}{\frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}}.}$

式(a)と式(b)からそれぞれと を設定すると、${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$${\displaystyle \delta \varphi }$${\displaystyle \delta y}$

${\displaystyle \mu _{\alpha }(\varphi )=\sec \varphi \left[{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}\right].}$

メルカトル図法以外の投影法では、を求める前に、まず式(c)を使ってとを計算しなければなりません。例えば、正距円筒図法ではとなるので、 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mu _{\alpha }}$${\displaystyle y'=a}$

${\displaystyle \tan \beta =\sec \varphi \tan \alpha .\,}$

投影上に一定の傾斜の線を考えると、 の対応する値と線に沿ったスケール係数は両方とも の複雑な関数です。一般的な有限分離をバースケールに転送して意味のある結果を得る簡単な方法はありません。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \varphi }$

コロンは比率を表すのによく使われますが、 Unicode では比率特有の記号を少し上げた形で表すことができます: U+ 2236 ∶ RATIO ( ∶ )。

• 地理的距離
• スケール（分析ツール）
• スケール（比率）
• スケーリング（ジオメトリ）
• 空間スケール
• 科学における正確さについて