ヤコビ楕円体

ヤコビ楕円体は、均一な密度の自己重力流体が一定の角速度で回転するときに生じる、静水圧平衡状態にある三軸（すなわち不等辺）楕円体である。ドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビにちなんで名付けられた。^{[ 1 ]}

ヤコビ以前は、 1742 年に定式化されたマクローリン回転楕円体が、平衡状態になり得る唯一のタイプの楕円体であると考えられていた。 ^{[ 2 ] [ 3 ]} 1811 年にラグランジュは^{[ 4 ]}三軸楕円体が平衡状態になる可能性を検討したが、楕円体の 2 つの赤道軸が等しくなければならないと結論付け、マクローリン回転楕円体の解に戻った。しかしヤコビは、ラグランジュの証明は十分条件であって必要条件ではないことに気づいた。彼は次のように述べている。 ^{[ 5 ]}

「回転楕円体だけが、たとえ二次曲面という制約的な仮定の下でも、平衡体として許容される唯一の形状であると考えるのは、重大な誤りである。」（…）「実際、簡単な考察から、3つの軸の長さが異なる楕円体も平衡体になり得ることがわかる。また、赤道断面に任意の形状の楕円を仮定し、3番目の軸（3つの軸の中で最も短い軸でもある）と回転角速度を決定することで、その楕円体が平衡体となるようにすることができる。」

赤道半主軸を持つ楕円体の場合${\displaystyle a,\ b}$極半主軸 ${\displaystyle c}$角速度${\displaystyle \Omega }$について${\displaystyle c}$は

${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}=2abc\int _{0}^{\infty }{\frac {u\,du}{(a^{2}+u)(b^{2}+u)\Delta }}\ ,\quad \Delta ^{2}=(a^{2}+u)(b^{2}+u)(c^{2}+u),}$

どこ${\displaystyle \rho }$密度と${\displaystyle G}$は重力定数であり、以下の条件を満たす。

${\displaystyle a^{2}b^{2}\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{(a^{2}+u)(b^{2}+u)\Delta }}=c^{2}\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{(c^{2}+u)\Delta }}。$

固定値の場合${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$上記の条件には解があります${\displaystyle c}$そのため

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}>{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.}$

積分は不完全楕円積分で表すことができる。^{[ 6 ]}カールソン対称形式楕円積分で表すと次のようになる。${\displaystyle R_{J}}$角速度の式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {4abc}{3(a^{2}-b^{2})}}[a^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2})-b^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2})]}$

そして半主軸の相対的な大きさに関する条件${\displaystyle a,\ b,\ c}$は

${\displaystyle {\frac {a^{2}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}[R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2})-R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2})]=c^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},c^{2}).}$

角運動量${\displaystyle L}$ヤコビ楕円体の

${\displaystyle {\frac {L}{\sqrt {GM^{3}r}}}={\frac {\sqrt {3}}{10}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{r^{2}}}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,\quad r={\sqrt[{3}]{abc}},}$

どこ${\displaystyle M}$は楕円体の質量であり、${\displaystyle r}$は平均半径であり、楕円体と同じ体積を持つ球の半径です。

ヤコビ楕円体とデデキント楕円体は、いずれも回転する均質な自己重力流体の平衡形状です。しかし、ヤコビ楕円体は回転座標系内で流体の内部流動を伴わずに物体自体が回転するのに対し、デデキント楕円体は構成流体が内部を循環しながら一定の向きを維持します。これはデデキントの定理の直接的な結果です。

任意のヤコビ楕円体に対して、同じ半主軸を持つデデキント楕円体が存在する。${\displaystyle a,\ b,\ c}$質量は同じで、流速場は^{[ 7 ]}

${\displaystyle \mathbf {u} =\zeta {\frac {-a^{2}y\mathbf {\hat {x}} +b^{2}x\mathbf {\hat {y}} }{a^{2}+b^{2}}},}$

どこ${\displaystyle x,\ y,\ z}$は軸上のデカルト座標です${\displaystyle {\hat {x}},\ {\hat {y}},\ {\hat {z}}}$それぞれに整列${\displaystyle a,\ b,\ c}$楕円体の軸。${\displaystyle \zeta }$は渦度であり、球体全体で均一である（${\displaystyle \nabla \times \mathbf {u} =\zeta \mathbf {\hat {z}} }$角速度${\displaystyle \Omega }$ヤコビ楕円体の渦度と対応するデデキント楕円体の渦度は^{[ 7 ]によって関連付けられる。}

${\displaystyle \zeta =\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)\Omega .}$

つまり、デデキント楕円体の流体の各粒子は、ヤコビ回転楕円体が1回転するのと同じ周期で、同様の楕円軌道を描く。

特別な場合${\displaystyle a=b}$この場合、ヤコビ楕円体とデデキント楕円体（およびマクローリン回転楕円体）は同一となり、物体の回転と円運動は同じものとなる。${\displaystyle \zeta =2\Omega }$これは、剛体回転体の場合に常に当てはまることである。

一般的には、ヤコビ楕円体とデデキント楕円体は同じエネルギーを持ちますが、^{[ 8 ]ヤコビ回転楕円体の角運動量は[ 8 ]}倍大きくなります。

${\displaystyle {\frac {L_{\mathrm {Jac} }}{L_{\mathrm {Ded} }}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right).}$

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