等面積図法

地図作成において、等価図法、正積図法、または等面積図法は、すべての地図領域間の相対的な面積測定値を維持する地図投影法です。等価図法は、人口、農地分布、森林地帯などのシナリオ分布を示す主題図に広く使用されています。これは、等面積地図では、マッピングされる現象の見かけの密度が変わらないためです。

ガウスの 定理エグレギウムによれば、等面積投影は正角投影にはなり得ません。これは、等面積投影では必然的に形状が歪むことを意味します。地図上の 1 点または複数の点、あるいは 1 本のパスまたは複数のパスに歪みがなくても、地図に描かれる領域の面積が大きくなればなるほど、形状の歪みは必然的に大きくなり、より顕著になります。

球面の地図投影が等面積になるためには、その生成式がコーシー・リーマンのような条件を満たしている必要がある: ^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=s\cdot \cos \varphi }$

はマップ全体で一定です。ここで、は緯度を表し、は経度を表し、およびは特定の座標ペアの投影された（平面）座標です。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (\varphi ,\lambda )}$

たとえば、正弦曲線図法は非常に単純な等面積図法です。その生成式は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\cdot \lambda \cos \varphi \\y&=R\cdot \varphi \end{aligned}}}$

ここで、は地球の半径です。偏微分を計算すると、 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=-R\cdot \lambda \cdot \sin \varphi ,\quad R\cdot {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=R\cdot \cos \varphi ,\quad {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}=R,\quad {\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=0}$

など

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=R\cdot R\cdot \cos \varphi -0\cdot (-R\cdot \lambda \cdot \sin \varphi )=R^{2}\cdot \cos \varphi =s\cdot \cos \varphi }$

定数の値を取ります。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle R^{2}}$

楕円体の等面積地図の場合、満たさなければならない対応する微分条件は次の通りである: ^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=s\cdot \cos \varphi \cdot {\frac {(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{2}}}}$

回転楕円体の 離心率はどこにありますか。${\displaystyle e}$

「統計グリッド」という用語は、データの視覚化、ジオコード、統計的空間分析に使用される、等面積表面表現の離散グリッド（グローバルまたはローカル）を指します。^{[2] [3] [4] [5] [6]}

面積を保存する投影法をいくつか示します。

• 方位角
  • ランベルト方位正積図
  • ヴィーヘル（擬似方位角）

• 円錐曲線
  • アルバース
  • ランベルト正積円錐図法

• 擬円錐形
  • ボンヌ
  • ボトムリー
  • ヴェルナー

• 円筒形（歪みのない範囲）
  • ランベルト等面積円筒図法（0°）
  • ベールマン（30°）
  • ホーボー・ダイアー（37°30′）
  • ガル・ピータース（45°）

• 擬円筒形
  • ボッグスユーモルフィック
  • コリニョン
  • エッカート II、IV、VI
  • 平等な地球
  • グッドのホモロシン
  • モルワイデ
  • 正弦波
  • トブラー超楕円形
• 他の
  • エッカート・グライフェンドルフ
  • マクブライド・トーマス平面極四次図法^[7]
  • ハンマー
  • ストレベ 1995
  • スナイダー正積図法。測地線グリッドに使用されます。

• オータリック緯度
• オータリック半径
• 等面積図（数学）
• 測度保存力学システム
• 測地多角形領域