グノモニック投影

中心投影または直線投影としても知られる心射影は、球の中心を投影の中心とする球を、中心を通らない任意の平面（最も一般的には接平面）に投影する透視投影です。心射影では、球上のすべての大円は平面内の直線に投影されます（大円は球上の測地線、つまり任意の2点間の最短経路であり、平面上の直線に類似しています）。^{[1]より一般的には、} n次元の任意の超球から超平面への心射影をとることができます。

この投影は、円から直線に写像する三角関数の接線のn次元一般化であり、接線と同様に、球面上のすべての対心点は平面内の1つの点に投影され、球の中心を通り像平面に平行な平面上の点は無限遠点に投影されます。投影は、半球面上の点と平面上の点の間の1対1の対応として考えられ、その場合、像平面の任意の有限部分は半球の一部を表します。^[2]

心射図法は方位角投影法（放射状対称）です。投影された画像の中心では形状の歪みは発生しませんが、中心から離れるにつれて歪みが急激に大きくなります。

心距図法は、天文学において日時計を作ったり天球図を描いたりするために考案されました。地理地図の投影法としてよく使用され、大圏のコースが直線としてプロットされるため航海に便利です。直線写真レンズは、世界を画像平面に透視投影します。これは、画像球面 (ピンホールとしてモデル化されたカメラを通過する各光線の方向を示す抽象的な球面) の心距図法と考えることができます。心距図法は、結晶学において結晶構造の線と面の方向を分析するために使用されます。構造地質学では断層面の方向を分析するために使用されます。コンピュータグラフィックスおよび球面データのコンピュータ表現において、立方体マッピングは、画像球面を立方体の 6 つの面上に投影したものです。

数学では、 3 次元空間における無向直線の向きの空間は実射影平面と呼ばれ、通常は「射影球面」またはその心射影によって表されます。直線間の角度が距離の尺度として課される場合、この空間は楕円平面と呼ばれます。点が 3 次元回転を表す単位四元数の 3 次元球面の心射影は、ロドリゲス ベクトルになります。双曲面のモデルとして扱われる2 枚の双曲面の心射影は、ベルトラミ - クライン モデルと呼ばれます。

グノモニック投影法は最も古い地図投影法と言われており、紀元前6世紀にタレスが星図に使用したのではないかと推測されています。 ^[2]ノダスベースの日時計の影の先端または光点の軌跡は、グノモニック地図上の緯線によって形成されるのと 同じ双曲線を描きます。

心距図法は、球の中心から球に接する平面への投影です (下の図 1)。球と平面は接点で接します。心距図法によって、大円は直線に変換されます。子午線(経線) と赤道は大円であるため、心距図法の地図では常に直線として表示されます。投影は球の中心から行われるため、心距図法の地図は球の面積の半分以下を表すことができます。地図の縮尺の歪みは、中心 (接点) から周辺に向かって大きくなります。^[2]

• 接点がいずれかの極である場合、子午線は放射状になり、等間隔になります (下の図 2)。赤道はすべての方向で無限にあるため、表示できません。その他の緯線(緯線) は同心円として表されます。

• 接点が赤道上にある場合、子午線は平行ですが、等間隔ではありません (下の図 3)。赤道は子午線に垂直な直線です。その他の緯線は双曲線として表されます。

• 接点が極または赤道上にない場合、子午線は極から放射状に外向きに伸びる直線になりますが、等間隔ではありません (下の図 4)。赤道は 1 つの子午線にのみ垂直な直線であり、投影が正角ではないことを示しています。他の緯線は円錐曲線として表されます。

すべての方位図法 と同様に、接点からの角度は保存されます。その点からの地図距離は、真の距離dの関数r（d）で、次のように表されます。

${\displaystyle r(d)=R\,\tan {\frac {d}{R}}}$

ここでRは地球の半径です。半径のスケールは

${\displaystyle r'(d)={\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {d}{R}}}}}$

そして横方向のスケール

${\displaystyle {\frac {1}{\cos {\frac {d}{R}}}}}$

したがって、横方向のスケールは外側に向かって大きくなり、放射状のスケールはさらに大きくなります。

地震波は大円に沿って移動する傾向があるため、地震調査では心距図法が使用されます。また、無線信号は大円に沿って移動するため、海軍では方向探知方位のプロットに心距図法が使用されます。流星も大円に沿って移動します。心距図法アトラス ブルノ 2000.0 は、流星の視覚観測用にIMOが推奨する星図です。航空機や船舶の航行士は、この投影法を使用して出発地と目的地の間の最短ルートを見つけます。軌道は最初に心距図法に描かれ、次に航行用にメルカトル図法に転送されます。

心距図法は写真撮影で広く使用されており、画面が平面であるピンホールカメラモデルから自然に生じるため、直線投影と呼ばれています。 ^[3]これらは同等であるため、写真パノラマに使用されるのと同じビューアを使用して心距図法マップをレンダリングできます（360°インタラクティブパノラマとして表示）。

心射投影法は、接点が対象物の中心に位置する天文学で使用されます。この場合、投影される球は天球 ( R  = 1) であり、地球の表面ではありません。

天文学では、天球のグノーム投影星図は、観測者が流星の軌跡の直線経路を正確に描くために使用できます。^[4]

地球半径の投影高度順に並べた、同じスケールで北緯 90 度を中心とするいくつかの方位図法とグノモニック図法の比較。(詳細はクリックしてください)

• ローカル接線平面
• 地図投影法の一覧
• ベルトラミ・クラインモデル、双曲面の類似写像

• アモロス、ホセ・ルイス。バージャー、マーティン・J.カヌート・デ・アモロス、マリサ（1975年）。 「3. グノモニック投影」。ラウエメソッド。学術出版局。 55–81ページ。土井：10.1016/B978-0-12-057450-6.50006-5。
• Calabretta, Mark R.; Greisen, Eric W. (2002). 「FITS での天体座標の表現 (論文 II)」.天文学と天体物理学. 395 : 1077–1122. arXiv : astro-ph/0207413 . doi :10.1051/0004-6361:20021327.
• ブーケ、ヘンドリック・エンノ(1913)。 Die gnomonische Projektion in ihrer Anwendung auf kristallographische Aufgaben [結晶学的タスクへの応用におけるグノモニッシュ投影] (ドイツ語)。ゲブリューダー・ボーントレガー。
• Bradley, AD (1940)。「球面のグノモニック投影」。アメリカ数学月刊誌。47 ( 10): 694–699。doi :10.2307 / 2302492。JSTOR  2302492。
• ド・モルガン、オーガスタス(1836)。球面のグノモニック投影の説明。ボールドウィン＆クラドック。
• ギュンター、S. (1883)。 "Die gnomonische Kartenprojektion" [グノモニック地図投影法]。Zeitschrift der Gesellschaft für Erdkunde zu Berlin (ドイツ語)。18 : 137–149。
• ハーバート・スミス、GF (1903)。「グノモニック投影の利点と結晶の描画におけるその使用について」( PDF)。鉱物学雑誌。13 (62): 309–322。doi :10.1180/minmag.1903.013.62.02。
• ヒルトン、ハロルド (1904)。「グノモニックネット」(PDF)。鉱物雑誌。14 (63): 18–20。doi : 10.1180/minmag.1904.014.63.05。
• パラッシュ、チャールズ (1920)。「グノモニック投影法」(PDF)。アメリカ鉱物学者。5 ( 4): 67–80。
• パイ、ノーマン (1950)。「斜方位図法」。エンパイア・サーベイ・レビュー。10 (75): 227–232。doi : 10.1179 /sre.1950.10.75.227。
• ロジャース、オースティン F. (1907)。「グラフィカルな観点からのグノモニック投影」。鉱山学雑誌29 ( 1): 24–33。

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