一般的な透視投影

一般透視投影法は地図投影法です。宇宙から地球を撮影すると、カメラは透視投影法でその景色を記録します。カメラを地球の中心に向けると、結果として得られる投影法は垂直透視投影法と呼ばれます。他の方向に向けると、結果として得られる投影法は傾斜透視投影法と呼ばれます。

鉛直透視図法は、立体図法、心射図法、正射図法と関連があります。これらはすべて真の透視図法であり、ある視点から地球を眺めた結果です。また方位図法でもあり、投影面は球体に接する平面です。これにより、中心から他のすべての点への方向が正確になります。一般透視図法の透視点、つまり視点は有限の距離にあります。この図法では、地球を比較的近い距離、通常は数百から数万キロメートル上から見たように描きます。

一般透視図法（傾斜透視図法とも呼ばれる）は、傾いている場合、方位角が正確ではありません（下の2番目の図を参照）。つまり、中心点からの方向は正確ではなく、投影面は球体に接していません。^[1] 傾斜透視図法は、航空写真や低軌道写真では一般的であり、通常、垂直透視図法で一般的な数百または数千キロメートルではなく、キロメートルから数百キロメートルの高さから撮影されます。しかし、リチャード・エデス・ハリソンは、第二次世界大戦中に軍事戦域を示す戦略地図でこの投影法を使用する先駆者でした。いくつかの著名なインターネット マッピング ツールも、傾斜透視図法を使用しています。たとえば、Google EarthとNASA World Wind は、宇宙から見た地球を示しています。これらのアプリケーションでは、フライスルー シミュレーション、飛行機や宇宙船から手持ちカメラで撮影した写真や動画の模倣など、さまざまなインタラクティブなパンおよびズーム操作が可能です。

この投影法のいくつかの形式は、2,000 年前のギリシャ人やエジプト人には知られていました。18 世紀と 19 世紀には、フランスとイギリスの数人の科学者によって研究されました。しかし、当時はこの投影法に実用的な価値はほとんどなく、代わりに計算が簡単な非透視方位図法を使用できました。

宇宙探査により、透視投影法への関心が再び高まりました。今や関心は、歪みを最小限に抑えることではなく、宇宙からの絵画的な眺めに移りました。宇宙船の窓から手持ちカメラで撮影した写真は、垂直方向に傾いた透視投影法であるため、有人ジェミニ宇宙ミッションとアポロ宇宙ミッションにより、この投影法への関心が高まりました。

一般的な透視投影の式は三角法を使って導かれます。球面上の経度 ( λ ) と緯度 ( φ )で表されます。球面の半径R と投影の中心点 (および原点 ) ( λ 0 , φ 0 ) を定義します。 ( x , y )接平面への正_射影の式_は次のように簡略化されます: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\,k'\cos \varphi \sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\\y&=R\,k'{\big ( }\cos \varphi _{0}\sin \varphi -\sin \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right){\big )}\\\end{整列}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}k'&={\frac {dR}{dR\cos c}}\\\cos c&=\sin \varphi _{0}\sin \varphi +\cos \varphi _ {0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle c}$は角距離であり、遠近点から地球の中心までの距離を表します。投影の中心の方向（「宇宙からの眺め」の場合）では正、反対方向では負になります。ステレオ投影の場合は、 心距投影の場合は です。${\displaystyle d}$${\displaystyle d=-R}$${\displaystyle d=0}$

逆の式は次のように与えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\arcsin \left(\cos c\sin \varphi _{0}+{\frac {y\sin c\cos \varphi _{0}}{\rho }}\right)\\\lambda &=\lambda _{0}+\arctan \left({\frac {x\sin c}{\rho \cos c\cos \varphi _{0}-y\sin c\sin \varphi _{0}}}\right)\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\c&=\arcsin {\frac {P-{\sqrt {1-{\frac {\rho ^{2}(P+1)}{R^{2}(P-1)}}}}}{{\frac {R(P-1)}{\rho }}+{\frac {\rho }{R(P-1)}}}}\end{aligned}}}$

が負でより大きい場合、を 180° から減算して適切な象限に配置する必要があります。逆関数の計算には、逆正接関数の2 つの引数を持つatan2形式 ( atanではなく) の使用が推奨されます。これにより、正投影の符号がすべての象限で正しく表記されることが保証されます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle R(P-1)/P}$${\displaystyle c}$

一般透視図法と、同じ縮尺で北緯 90 度を中心とするいくつかの方位図法との比較。地球半径の投影高度順に並べられています。(詳細はクリックしてください)

• 地図投影法の一覧
• 地図投影