10 進数

11進法（ 11進法、11進数、11進記数法とも呼ばれる）は、 11を底とする位取り記数法である。11ずつ数える社会は知られていないが、2つの社会がそうしていたと言われている。マオリ族（ニュージーランドの2つのポリネシア民族のうちの1つ）とパングワ族（タンザニアのバントゥー語を話す民族）である。11ずつ数えるという考え方は、ポリネシアで行われていた伝統的な数え方との関連で今でも興味深い。^{[1] [2]}フランス革命の間、11進法は改革された計量システムの可能性のある基礎として一時的に検討された。^{[3] 11進法の数字は、コンピューターサイエンス、 [4]}テクノロジー、^[5]および国際標準図書番号システムで応用されている。^[6]また、大衆小説の作品にも時折登場する。^[7] 10進法では、大文字（多くの場合、 16進法の10を表す記号であるA、英語の単語「ten」の最初の文字であるT 、またはローマ数字の10であるX）または数字の↊（「dek」と呼ばれる）が、 10を表すための10進記号として通常使用されます。

約1世紀の間、マオリ族が11ずつ数えるという考えは、アメリカの数学者レヴィ・レナード・コナントの著作で言及されたことでよく知られていました。彼はそれを、当時ワイアプの司祭であったウィリアム・ウィリアムズ牧師が出版した19世紀のニュージーランド語の辞書に由来する「間違い」であると特定しました。^{[8] ：p. 123}

「何年も前に、注目を集め、好奇心をかき立てる声明が発表されました。それは、ニュージーランドの先住民であるマオリ族が、数字の体系の基礎として 11 という数字を使用していたというものでした。そして、その体系は非常に広範囲に発展し、121 と 1331、つまり 11 の平方と立方を表す簡単な言葉が生まれました。」^{[8] : pp. 122–123}

ウィリアムズがこの辞書シリーズの最初の 2 版で発表した声明には、次のように書かれています。

「原住民の数え方は、11 ずつ数えていき、10 番目の 11 に達すると 100 となり、さらに 10 番目の 100 まで進み、1000 となる。* しかし、ヨーロッパ人と交流のある原住民は、この方法をほとんど捨て、ngahuru を除いたtekauまたはtahi tekauを 10、rua tekauを 20 などと数える。* これは、10 ごとに 1 を数えておくという原則に基づいているようだ。これと似たようなことが、パン屋の 13 個の場合のように、イギリス人の間でも行われている。」^{[9] : p. xv}

2020年、マオリ族が11で数えるという考えのより早い大陸起源が、19世紀の科学探検家であるルネ・プリムヴェール・レッスンとジュール・ド・ブロスヴィルの出版された著作にまでさかのぼる。^[1]彼らは1824年に、 1822年から1825年にかけて行われたフランスのコルベット艦コキール号^[10]による世界一周航海の一環としてニュージーランドを訪れていた。この船はルイ・イジドール・デュペレーが指揮し、ジュール・デュモン・デュルヴィルが副船長を務めていた。1825年にフランスに戻ったレッスンは、ドイツの植物学者アデルベルト・フォン・シャミッソが書いた記事のフランス語訳を出版した。^{[11]ニュージーランドの数体系は20（} 20進法）に基づいているというフォン・シャミッソの主張に対して、レッスンは誤りを示す脚注を挿入した。

レッスンが翻訳したフォン・シャミッソのテキスト: 「...de l'E. de la mer du Sud ... c'est là qu'on trouve Premierement le système arithmétique Fondé sur un échelle de vingt, comme dans la Nouvelle-」ゼランド (2)...」^{[11] : p. 27} […南海の東…ニュージーランドのように、20 の目盛りに基づく算術体系が最初に見つかる場所です (2)…]

von Chamisso のテキストに関するレッスンの脚注: 「(2) Erreur. Le système arithmétique des Zélandais est undécimal, et les Anglais Sont les premiers qui ont propagé cette fausse idée. (L.)」^{[11] : p. 27} [(2) エラー。ジーランダーの算術体系は非十進法であり、この誤った考えを最初に広めたのはイギリス人です。 (L)。]

フォン・シャミッソは1821年に自らこの誤りについて言及しており、混乱の原因とその解明はニュージーランドの英国人宣教師トーマス・ケンドールにまで遡り、ケンドールは英国の言語学者サミュエル・リーが1820年に出版した文法書の基礎となったマオリ語に関する資料を提供した。^{[12] [13]}同じ1821年の出版物で、フォン・シャミッソはマオリの記数法が10進法であることも明らかにし、混乱の原因はポリネシア人が物をペアで数える習慣にあり、各ペアが1つの単位として数えられ、10単位が数値的には20に等しいことを指摘した。^{[12] [13]}

「私たちの前には、教会宣教協会が発行したニュージーランド語の文法と語彙集があります。ロンドン、1820年。8vo。この文法の著者は、ニコラスの航海で語彙を伝えてくれたケンドール氏と同じです。^[14]言語が今や私たちに明らかになり、私たちの意見を訂正します。」^{[12] ：p. 13}

そして、

「ある民族の算術体系を知ることは決して容易ではありません。ニュージーランドでもトンガでも、10進法です。ニコラスの航海でケンダル氏が最初に試みた、そして我々が従った最初の試みでおそらく彼を騙したかもしれないのは、ニュージーランド人が物を2つずつ数える習慣です。トンガの原住民はバナナや魚も同様に2つずつ、そして20ずつ（テコウ、イギリスのスコア）ずつ数えます。」^{[12] ：pp. 441–442}

レッスンが1825年に「undécimal」という用語を使用したのは、おそらく印刷ミスで「un décimal」という語句が結合されたもので、ニュージーランドの記数が10進法であると正しく特定していたはずである。^[1]レッスンは、ポリネシアの数が10進法であり、地域全体で非常に類似していることを知っていた。なぜなら、彼はコキール号での2年半の間に太平洋の数体系について多くを学び、数値語彙を収集し、最終的に12を超えるそれらの語彙を出版またはコメントしていたからである。^[1]彼はまた、フォン・シャミッソの著作の翻訳を通じて、トーマス・ケンドールとサミュエル・リーの著作にも精通していた。 [11]これらの状況から、レッスンがニュージーランドの数え方が11ずつ進むと誤解した可能性は低いことがわかる。 [ ^{1 ]}

レッスンと船員仲間で友人のブロスヴィル^{[15] は}、ニュージーランドで 11 進法を発見したとする報告を同時代の人々に送った。これらの通信員のうち少なくとも 2 人がこれらの報告を公表した。イタリアの地理学者アドリアーノ・バルビは 1826 年にレッスンから受け取った手紙の詳細を記し^[16]、ハンガリーの天文学者フランツ・クサーヴァー・フォン・ザッハは第三者を通じて受け取ったブロスヴィルからの手紙の中でこの発見について簡単に触れた。^[17]ブロスヴィルはスコットランドの作家ジョージ・リリー・クレイクにもこのことを伝え、クレイクはこの手紙を 1830 年の著書『ニュージーランド人』で報告している。^[18]レッスンは、1839 年にプロイセンの言語学者ヴィルヘルム・フォン・フンボルトの書類の中に見つかり、一緒に出版された、フランス人によって書かれたがそれ以外は匿名の日付不明のエッセイの著者でもあったと思われる。 ^{[19] [20]}

この物語は語り直されて拡大した。^[1]バルビが1826年に発表した手紙には、11の2乗（カラオウ）と11の3乗（カマノ）を表す数値語彙とされるものが追加され、数を表す言葉と数え方の手順が地元の情報提供者からどのように引き出されたかについての説明も含まれていた。^[16]興味深い展開として、修正が必要な誤った分類も20進法から10進法に変更された。^{[11] [16]}フォン・フンボルトの論文とともに発表された1839年のエッセイには、マオリの数に対するペアカウントの影響についての混乱によりフォン・シャミッソが20進法と誤認したイギリス人宣教師トーマス・ケンドールの名前が挙げられている。^{[11] [12] [19]}また、地元の情報提供者の出身地とされる場所も記載されている。^[19]

マオリ族が11ずつ数えたという考えは、か​​つてポリネシア全土で実践されていた独創的で実用的な数え方を浮き彫りにしている。^{[1] [21] [22]}この数え方では、10番目ごとに10のアイテムを数えた目印として取っておいた。取っておいたアイテムはその後同じように数えられ、今では10番目ごとに100（第2ラウンド）、1000（第3ラウンド）、1万（第4ラウンド）というように数えられている。^[1]この数え方は、基本単位が単一のアイテム、ペア、または4つのグループのいずれであっても同じように機能し、この地域全体で使用されている基本数え単位であるマンガレバで見つかったユニークな2進数の数え方の基礎となった。マンガレバでは、8つのグループごとに数えることもできた。^{[1] [23]}

この数え方は、もう一つの謎も解いてくれる。ハワイ語で20を意味するイワカルアがなぜ「9と2」を意味するのか、ということだ。ペアで数える場合、9組（18）が数えられ、最後の1組（2）は次のラウンドのために取っておかれた。^{[1] [2]}

タンザニアのパングワ族が 11 ずつ数えていたという考えについては、あまり知られていない。1920 年にイギリスの人類学者ノースコート W. トーマスが次のように述べている。

「もう一つの異常な記数法は、ニャッサ湖の北東に住むパングワ族のもので、彼らは11を基数としている。」^{[24] ：59ページ}

そして、

「パングワ語でキ・ジゴがもともと10ではなく11の意味を持っていたと確信できるなら、ワレッガ・レンドゥ語で12を意味するジまたはチを同じ単語と関連づけ、たとえ最も薄弱で遠い関係であっても、異常なシステムが使用されている3つの領域すべてを結び付けたくなるだろう。」^{[24] ：p. 59}

この主張は、イギリスの探検家で植民地行政官のハリー・H・ジョンストンが1922年に発表したバントゥ語とセミバントゥ語の研究第2巻でも繰り返されている。彼もまた、パングワ語の11を表す用語と関連言語の10を表す用語の間に示唆的な類似点があることを指摘している。^[25]

「時々、『11』には特別な用語があります。私が知る限り、それは次の通りです。

Ki-dzigꞷ 36（この言語、北東ニヤサランドのパングワでは、実際には11ずつ数えます。Ki -dzigꞷ-kavili =「22」、Ki-dzigꞷ-kadatu =「33」）。しかし、語源の-dzigꞷは明らかに、38番の「10」を表す-tsigꞷと同じです。また、148の-digi（「10」）、アバブア語とコンゴ語の-tukuまたは-dugu 、 130の-dikꞷ 、175の-liku（「8」）、および249のTiagとも関連している可能性があります。」^{[25] ：p. 477}

ジョンストンのバントゥ語とセミバントゥ語の分類では、^[25]

• 36 はパングワ、バントゥー グループ J、N. ルブマ、NE ニャサランド
• 38はキニガ、バンツーグループK、ウキニガ
• 130 は、中央コングランドのバントゥ グループ DD、バニクトゥ (バニクプフトゥ) です。
• 148はリフク、バントゥー族のHH、上イトゥリ
• 175 はイフムまたはイフル (E. テケ)、バンツー グループ LL、クワ・カサイ・アッパー Ꞷgꞷwe (テケ)
• 249はアフドゥ、セミバントゥー族D、南ベヌエ

現在、パングワ語には10進数が使われており、6以上の数字はスワヒリ語から借用されたと理解されている。^[26]

1789年6月、バスティーユ襲撃でフランス革命が始まるわずか数週間前に、科学アカデミーは度量衡のシステムを標準化するための委員会（la Commission des Poids et Mesures ）を設立した。これは人気のある改革であり、国際的なメートル法の創設に向けた初期のステップであった。^{[27] [28]} 1790年10月27日、委員会は、10進法（基数10）に比べて割り切れるという理由から、重さ、長さ/距離、お金の基準として12進法（基数12）の使用を検討したと報告した。^[29]しかし、最終的にはこの提案を却下し、話し言葉に基づく共通の尺度であれば計算や変換が簡単になり、新しいシステムの実装が容易になると判断した。^[29]委員会のメンバーであった数学者ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは、委員会が10進法を選択するよう影響を与えたとされている。^[3]どちらを採用するかについての議論は、論争的というほどではないにしても、活発なものだったようで、ある時点でラグランジュは、割り切れないことが実際に有利であるという理由で11を基数として採用することを提案した。11は素数であるため、それを分母とする分数は約分できないからである。^{[3] [30]}

ドゥランブル氏は次のように書いている。「私は、基地のシステム・デュ・プチ・ノンブル・デ・ディヴィジュール・システムを批判している。私は、第一人者としての責任を負っているのは、11日であり、絶対に必要ではない」名前の由来分数については、12 日までに 12 日までに問題が発生する可能性があります。プラスイントレピデス・オーライエント・ヴル10 番のセルイの置換、基礎の数値計算の一部です。」^{[3] : p. lxvi}

翻訳すると次のようになります。「彼 [ラグランジュ] は、 [基数が] 11 などの素数でなかったことをほとんど後悔していました。素数であれば、すべての分数が必ず同じ分母になります。この考えは、議論の真っ最中に最高の頭脳が思いつかない誇張の 1 つと見なされるでしょう。しかし、彼は 11 という数字を、あらゆる場所での数値の基礎となっている 10 の代わりに 12 という数字を使おうとしたより勇敢な革新者たちを排除するために使用しただけです。」

1795年、エコール・ノルマルでの公開講義で、ラグランジュは、分母が異なる分数（例：1 ⁄ 2、1 ⁄ 3、1 ⁄ 4、1 ⁄ 5、1 ⁄ 7）は、それ自体は単純であるものの、分母が異なると比較が難しくなるため不便であると指摘しました。^[31]つまり、分子が1であれば分数の比較は難しくありません（例：1 ⁄ 2は1 ⁄ 3よりも大きく、1 ⁄ 3 は1 ⁄ 4よりも大きい）。しかし、分子と分母が混在すると比較が難しくなります。3 ⁄ 4 は5 ⁄ 7より大きく、5 ⁄ 7 は 2 ⁄ 3 より大きくなりますが、これは分子が 1 の場合のように分母を単純に調べるだけでは判断できません。彼は、すべての分数の分母が同じであればこの困難は解決されると指摘しました。

ラグランジュは次のように書いています。「システムの基本を理解するのは難しいが、システムの基準は 10 番目であり、ディヴィジュールは非である; peut-être même y aurait-il,ア・ケルケス・エガルドl'avantage à ce que ce nombre n'eût point de diviseurs、comme le nombre 11、ce qui aurait lieu dans le système undécimal、parce qu'on en serait moins porté à雇用主の分数1 ⁄ 2、1 ⁄ 3など。」^{[31] : p. 23}

翻訳すると次のようになります。「また、この[割り切れるかどうかの議論]から、10進法の10のようなシステムの基数となる数が約数を持つかどうかは問題ではないことがわかります。おそらく、この数が11のように約数を持たない方が、1 / 2、1 / 3などの分数を使用する傾向が低くなるため、ある意味では利点があるかもしれません。」

この話を語るラルフ・H・ビアード（1947年、当時はアメリカ十​​二進法協会の会長）は、11進数の欠点として、11より大きい素数については「実際にテストしてみなければ、素数かどうかだけでなく、意外にも奇数か偶数かも分からない」と指摘している。^{[32] : p. 9}

^{10進数（この文脈ではしばしば10進数と呼ばれる）は、補数（負の加算による減算） [4]}を理解したり、10進チャネルで数字チェックを実行したりするためにコンピュータサイエンスとテクノロジーで役立ちます。^[5]

10より大きい基数を持つ数値システムでは、1つ以上の新しい数字が必要です。「11進法（基数11）では、10を表す文字が必要です。」^{[33] ：p. 345}タイプライターで入力できるように、⟨ A ⟩ （ 16進数のように）、⟨ T ⟩（「ten」の頭文字）、または⟨ X ⟩（ローマ数字の10）などの文字が、基数11の数字10に使用されます。また、1947年にアイザック・ピットマンが基数12（12進数）を表すために必要な2つのトランスデシマル記号の1つとして提案した、いわゆるピットマン数字の10を表す数字↊（「dek」 ）を使用することもできます。^[34]

国際標準図書番号（ISBN）の10桁の数字では、チェックディジットとして10進数が使われています。^[6]チェックディジットはISBNの最後の桁で、他のすべての桁と数学的に関連しており、それらの正確性を検証するために使用されます。^[35]これは数学的計算の答えを表し、この場合、ISBNの10桁に10（左端の桁）から2（右端から2番目の桁、最後の桁がチェックディジット自体）までの整数を掛けて合計します。^[36]計算の結果は11の倍数になり、最後の桁は0から9の数字、または10の場合はXで表され、ISBNの10番目の桁に等しくなります。^[36] 2007年1月1日現在^{[アップデート]}、13桁のISBNが標準となっています。^[6]国際ISBN機関は、10桁のISBNを13桁に変換するオンライン計算機を提供しています。^[37]

カール・セーガンの小説『コンタクト』では、未知の高度な知性が残したメッセージが円周率の中に隠されており、円周率を10進数で計算するとメッセージが最もよく明らかになる。^{[38] [39] : p. 317}テレビシリーズ『バビロン5』では、ミンバリと呼ばれる高度な種族が10本の指と頭を数えることで実現する10進数を使用していると、シリーズの制作者J・マイケル・ストラジンスキーは述べている。^{[40] [41]}

• 10 桁の ISBN の 10 進数チェック ディジット