e（数学定数）

ヤコブ・ベルヌーイは、複利に関する問題を研究している際に、1683年にこの定数を発見しました。^{[ 4 ]}

口座の残高は1ドルで、年利100%の利息がつきます。利息が年末に一度だけ付与される場合、年末の口座残高は2ドルになります。では、利息が年間を通してより頻繁に計算され、付与される場合はどうなるでしょうか？

利息が1年に2回付与される場合、6か月ごとの利率は50%となるため、最初の$1は1.5倍され、年末には$1.00 × 1.5 ² = $2.25となります。四半期ごとに複利計算すると、 $1.00 × 1.25 ⁴ = $2.44140625となり、月ごとに複利計算すると、$1.00 × (1 + 1/12) ¹² = $2.613035...となります。複利計算の間隔がn回ある場合、各間隔の利率は100%/ nとなり、年末の値は$1.00  × (1 + 1/ n ) ⁿとなります。^{[ 21 ] [ 22 ]} 

ベルヌーイは、この数列がnが大きくなるにつれて極限 (利子の力)に近づき、したがって複利計算の間隔が小さくなることに気づきました。^{[ 4 ] [ 13 ]}週複利 ( n = 52 ) では $2.692596... になりますが、日複利 ( n = 365 ) では $2.714567... (約 2 セント多い) になります。nが大きくなるにつれて極限となる数は、 eとして知られるようになりました。つまり、連続複利では、口座の価値は $2.718281828... に達します。より一般的には、$1 から始まり、年利率Rを提供する口座は、t年後に連続複利でe ^Rtドルになります。ここで、Rはパーセントで表される利率の小数値なので、5% の利率の場合、R = 5/100 = 0.05 です。^{[ 21 ] [ 22 ]}

数e自体も、指数関数的成長とは直接関係のない形で確率論に応用されています。ギャンブラーが、 n回に 1 の確率で払い出しがあるスロットマシンをn回プレイするとします。n が増加するにつれて、ギャンブラーがn 回すべての賭けに負ける確率は1/ eに近づき、これは約 36.79% です。n = 20 の場合、これはすでに 1/2.789509... (約 35.85%) になります。

これはベルヌーイ試行プロセスの例です。ギャンブラーがスロットをプレイするたびに、n分の 1 の確率で勝つことができます。n 回プレイすることは、二項分布によってモデル化され、これは二項定理とパスカルの三角形に密接に関連しています。n回の試行のうちk回勝つ確率は次のとおりです。^{[ 23 ]}

${\displaystyle \Pr[k~\mathrm {wins~of} ~n]={\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{nk}.}$

特に、0回勝つ確率（k = 0）は

${\displaystyle \Pr[0~\mathrm {wins~of} ~n]=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

上記の式の極限は、nが無限大に近づくとき、正確に1/ eになります。

指数関数的成長とは、時間の経過とともに量がますます増加するプロセスです。これは、時間の経過に伴う量の瞬間的な変化率（つまり、導関数）が、量自体に比例する場合に発生します。 ^{[ 22 ]}関数として記述すると、指数関数的成長を遂げている量は時間の指数関数であり、つまり、時間を表す変数が指数になります（二次成長などの他のタイプの成長とは対照的です）。比例定数が負の場合、量は時間の経過とともに減少し、代わりに指数関数的減衰を起こしていると言われます。指数関数的成長の法則は、異なる底を使用することで、異なるが数学的に等価な形式で記述できます。底として、eは一般的で便利な選択肢です。

$${\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }.}$$ ここ、${\displaystyle x_{0}}$は量xの初期値を表し、kは成長定数であり、$\displaystyle \tau }$は、量がe倍になるのにかかる時間です。

平均値がゼロで標準偏差が1の正規分布は、標準正規分布として知られており、^{[ 24 ]}確率密度関数によって与えられます。$${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

標準偏差が1（したがって分散も1）であるという制約により指数に1/2 が現れ、曲線下の総面積が1であるという制約が生じる。${\displaystyle \phi (x)}$結果として、${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$この関数は x = 0 を中心として対称であり、 x = 0で最大値をとります。${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$、x = ±1に変曲点があります。

eのもう 1 つの応用例も、ヤコブ・ベルヌーイとピエール・レモン・ド・モンモールによって部分的に発見されたもので、帽子チェック問題としても知られる順列の問題です。^{[ 25 ]} n人の客がパーティーに招待され、入り口で客は全員、帽子を執事に預けます。執事は、帽子をn個の箱に入れ、それぞれの箱には 1 人の客の名前がラベル付けされています。しかし、執事は客の身元を尋ねていないため、帽子はランダムに選ばれた箱に入れられます。ド・モンモールの問題は、どの帽子も正しい箱に入れられない確率を求めることです。この確率は、${\displaystyle p_{n}\!}$、 は：

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

nが無限大に近づくと、p _{n は}1/ eに近づきます。さらに、どの帽子も正しい箱に入らないように帽子を箱に入れる方法は、すべての正のnに対して、最も近い整数に丸めるとn !/ e になります。^{[ 26 ]} 

最大値${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$発生する${\displaystyle x=e}$同等に、底b > 1の任意の値に対して、${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$発生する${\displaystyle x=e}$（シュタイナーの問題については後述します。）

これは、長さLの棒をn個の等しい部分に分割する問題に役立ちます。長さの積を最大にするnの値は、次のようになります^{[ 27 ]}

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor }$または${\displaystyle \left\lceil {\frac {L}{e}}\right\rceil .}$

数量${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$確率で発生する事象から得られるエントロピーへの寄与は${\displaystyle 1/x}$（約${\displaystyle 36.8\%}$いつ${\displaystyle x=e}$）、そのため、秘書問題のような最適計画問題では、本質的に同じ最適分割が現れる。

数e は漸近解析に関する多くの問題と自然に関連して現れます。例としては、階乗関数の漸近解析に関するスターリングの公式があり、そこには数eとπ の両方が現れます。^{[ 28 ]}$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$

その結果、^{[ 28 ]}$${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}$$

特に微積分において数eを導入する主な動機は、指数関数と対数を用いた微分積分計算を行うことである。^{[ 29 ]}一般的な指数関数y = a ^xの導関数は、極限によって与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}$

右辺の括弧で囲まれた極限は変数xに依存しません。その値はaの底eの対数になります。したがって、 aの値をeに設定すると、この極限は1に等しくなり、次の単純な恒等式が得られます。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

したがって、底がeである指数関数は、微積分を行うのに特に適しています。指数関数の底として（他の数値ではなく） eを選択することで、導関数を含む計算がはるかに簡単になります。

もう一つの動機は、底がa の対数 (つまりlog _a x )の導関数 ( x > 0の場合) を考慮することから生じる。^{[ 29 ]} 

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}$

ここで置換u = h / xが行われた。 a がeに等しい場合、eの底a の対数は 1 である。したがって、記号的には、

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.}$

この特別な底を持つ対数は自然対数と呼ばれ、通常はlnと表記されます。計算を実行する際に不確定な極限がないため、微分に対して良好な挙動を示します。

したがって、このような特別な数a を選択する方法は 2 つあります。 1 つの方法は、指数関数a ^xの導関数をa ^xに等しいとおいてaについて解くことです。 もう 1 つの方法は、底aの対数の導関数を1/ xに等しいとおいてaについて解くことです。 どちらの場合も、微積分を行うのに都合の良い底の選択が得られます。 aのこれら 2 つの解は実際には同じ数、つまりeであることがわかります。

指数関数のテイラー級数は、指数関数が自身の導関数であり、0 で評価すると 1 になるという事実から導き出すことができる。^{[ 30 ]}$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$ 設定${\displaystyle x=1}$eを無限級数の和として定義する。

自然対数関数は、1からまでの積分として定義できます。${\displaystyle x}$の${\displaystyle 1/t}$そして、指数関数は自然対数の逆関数として定義できます。数値eは、指数関数を で評価した値です。${\displaystyle x=1}$または同等に、自然対数が 1 である数。したがって、 e は、$${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.}$$

e ^{x は}、定数Kを掛けることを除いて、自身の導関数と等しい唯一の関数であるため、

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}Ke^{x}=Ke^{x},}$$

したがって、それはそれ自身の反微分でもある。^{[ 31 ]}

$${\displaystyle \int Ke^{x}\,dx=Ke^{x}+C.}$$

同様に、関数のファミリー

$${\displaystyle y(x)=Ke^{x}}$$

ここで、Kは任意の実数または複素数であり、は微分方程式の完全解である。

$${\displaystyle y'=y.}$$

数eは、 $${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}$$すべての正のx に対して。^{[ 32 ]}

また、不平等もあります

$${\displaystyle e^{x}\geq x+1}$$ すべての実数xに対して、等号が成り立つのはx = 0の場合のみです。さらに、e は、すべてのxに対して不等式a ^x ≥ x + 1が成り立つ指数関数の唯一の底です。^{[ 33 ]}これはベルヌーイの不等式 の極限の場合です。

シュタイナーの問題は、関数のグローバル最大値を求めることである。

$${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}$$

この最大値は、まさにx = eのときに発生します。（ ln f ( x )の導関数がゼロになるのは、このxの値の場合のみであることを確認できます。） 

同様に、x = 1/ eは関数の最小値が発生する場所です。

$${\displaystyle f(x)=x^{x}.}$$

無限の四分割

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$または${\displaystyle {^{\infty }}x}$

収束するのは、 x ∈ [(1/ e ) ^e , e ^{1/ e} ] ≈ [0.06599, 1.4447]の場合のみである。^{[ 34 ] [ 35 ]}レオンハルト・オイラーの定理により示されている。^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}

実数eは無理数である。オイラーは、その単純な連分数展開が有限にならないことを示すことでこれを証明した。 ^{[ 39 ]}（eが無理数であることのフーリエの証明も参照のこと。）

さらに、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理により、eは超越数であり、有理係数を持つ非零多項式方程式の解ではないことを意味します。これは、この目的のために特別に構築されたものではないにもかかわらず、超越数が証明された最初の数でした（リウヴィル数と比較してください）。証明は1873年にシャルル・エルミートによって与えられました。 ^{[ 40 ]}数eは、正確な無理数指数が知られている数少ない超越数の1つです（次式で与えられます）。${\displaystyle \mu (e)=2}$) ^{[ 41 ]}

これまで未解決の問題は、数eとπ が代数的に独立であるかどうかという問題である。これは、リンデマン-ワイエルシュトラスの定理の未証明の一般化であるシャヌエルの予想によって解決されるだろう。^{[ 42 ] [ 43 ]}

eは正規であると推測されている。つまり、eを任意の基数で表すと、その基数における可能な数字は均等に分布する（与えられた長さの任意の数列で等しい確率で出現する）ということである。^{[ 44 ]}

代数幾何学において、周期とは、代数領域上の代数関数の積分として表すことができる数のことである。定数πは周期であるが、eは周期ではないと推測されている。^{[ 45 ]}

指数関数e ^{x は}テイラー級数として表すことができる^{[ 46 ] [ 30 ]}

$${\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

この級数はxのすべての複素数値に対して収束するため、 e ^xの定義を複素数に拡張するためによく使用されます。^{[ 47 ]}これにより、sin xとcos xのテイラー級数を用いて、オイラーの公式を導出できます。

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

これはすべての複素数xに対して成り立つ。^{[ 47 ]} x = πの特殊なケースはオイラーの恒等式である。

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$$これは、数学における最も基本的な数の間に深いつながりがあることを示しているため、数学的美しさ の典型例と考えられています。さらに、これはπが超越数であることの証明に直接使用され、円積の不可能性を意味します。^{[ 48 ] [ 49 ]}また、この恒等式は、対数の主枝において、 ^{[ 47 ]を意味します。}

$${\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}$$

さらに、指数法則を用いると、

$${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos nx+i\sin nx}$$

任意の整数nに対して、これはド・モアブルの公式である。^{[ 50 ]}

表現${\displaystyle \sin(x)}$そして${\displaystyle \cos(x)}$指数関数の観点からは、テイラー級数から次のように推論できます。^{[ 47 ]}$${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}$$

その表現

${\textstyle \cos x+i\sin x}$ は時々次のように略されます${\displaystyle \mathrm {cis} (x)}$[ ^{50 ]​}

定数${\displaystyle e}$確率論およびエルゴード理論におけるエントロピー理論において際立った役割を果たしている。^{[ 51 ]}基本的な考え方は、確率空間を有限個の可測集合に分割することである。${\displaystyle \xi =(A_{1},\cdots ,A_{k})}$のエントロピーは、ランダムサンプル（または「実験」）を実行することによって確率分布に関して得られる期待情報です。分割のエントロピーは $${\displaystyle H(\xi )=-\sum _{i=1}^{k}p(A_{i})\ln p(A_{i}).}$$ 機能${\displaystyle f(x)=-x\ln x}$したがって、これは根本的に重要であり、パーティションの特定の要素によってもたらされるエントロピーの量を表します。${\displaystyle x=p(A_{i})}$この関数は、次の場合に最大化されます。${\displaystyle x=1/e}$これは具体的には、特定のイベントのエントロピー寄与が${\displaystyle A_{i}}$最大化されるのは${\displaystyle p(A_{i})=1/e}$起こりうる可能性が高すぎる結果や、起こりえない可能性が高すぎる結果は、全体のエントロピーへの寄与が少なくなる。

自然対数を用いると、エントロピーの単位はナット（nats）で表されます（例えば、底が2の対数を用いると、エントロピーはビット（bits ）で表されます）。

eの表現に関する厳密な解析的表現に加えて、 e を推定するための確率的手法も存在する。そのような手法の一つは、 [0, 1] 上の一様分布から抽出された独立な確率変数X ₁、X ₂ ... の無限列から始まる。最初のn 個の観測値の合計が1 を超える最小の数nをVとする。

${\displaystyle V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.}$

すると、Vの期待値はeになります。E ( V ) = e。^{[ 54 ] [ 55 ]}

コンピュータの導入以来、コンピュータの性能向上とアルゴリズムの改善の両方により、eの既知の桁数は大幅に増加しました。 ^{[ 56 ] [ 57 ]}

2010年頃から、現代​​の高速デスクトップコンピュータの普及により、アマチュアでも許容できる時間内にeの数兆桁を計算することが可能になった。2023年12月24日、ジョーダン・ラノウスはeを35,000,000,000,000桁まで計算し、記録を樹立した。^{[ 65 ]}

§ 歴史で説明したように、定数を文字で表記する方法（主にe）に加えて、19 世紀には螺旋が使われることもありました。^{[ 66 ] [ 67 ] [ 68 ]}これは、ベンジャミン・パースが円周と直径の比( π ) を浅い螺旋の一種 (「文字c (円周) の変形」) として、また「ネペリアン底 ( e ) 」を別の螺旋 (「文字b (底) の変形」) として表現するという提案の一部でした。^{[ 67 ] [ 68 ]} πの螺旋は反時計回りに広がり、 eの螺旋は時計回りに広がります。歴史的には、イプシロンも時折使われます。^{[ 66 ]}