自然対数

自然対数
自然対数関数の一部を示すグラフ。関数はx が増加するにつれてゆっくりと正の無限大に大きくなり、x が0 に近づくにつれてゆっくりと負の無限大に近づきます (「ゆっくり」というのは、 xのどのべき乗法則と比べても遅いという意味です)。
一般情報
一般的な定義	ln ⁡ x = log e ⁡ x {\displaystyle \ln x=\log _{e}x}
発明の動機	双曲線求積法
応用分野	純粋数学と応用数学
ドメイン、コドメイン、イメージ
ドメイン	${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$
コドメイン	${\displaystyle \mathbb {R} }$
画像	${\displaystyle \mathbb {R} }$
特定の値
+∞での値	+∞
eでの値	1
1での値	0
0の値	-∞
具体的な特徴
漸近線	${\displaystyle x=0}$
根	1
逆	${\displaystyle \expx}$
派生語	${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}\ln x={\dfrac {1}{x}},x>0}$
反微分	${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\left(\ln x-1\right)+C}$

自然対数は、数学定数eを底とする対数であり、eは無理数かつ超越数で、およそ次の数に等しい。 2.718 281 828 459。 ^[1] xの自然対数は一般にln x、 log _e xと表記されるが、底e が暗黙的に指定されている場合は単にlog xと表記されることもある。 ^{[2] [3]わかりやすくするために} 括弧が付けられることもあり、 ln( x ) 、 log _e ( x )、 log( x )などとなる。これは特に対数の引数が単一の記号でない場合、曖昧さを防ぐために行われる。

xの自然対数は、e をxと等しくするために必要な累乗です。たとえば、ln 7.5は2.0149...です。これは、 e ^2.0149... = 7.5だからです。 e自体の自然対数ln eは1です。これは、 e ¹ = eだからです。一方、 1の自然対数は0です。これは、 e ⁰ = 1だからです。

自然対数は、任意の正の実数 aについて、 1 からaまでの曲線 y = 1/ x の下の面積として定義できます^{[4] (} 0 < a < 1のとき、面積は負になります)。この定義の単純さは、自然対数を含む他の多くの式にも当てはまり、「自然」という用語の由来となっています。自然対数の定義は、負の数とすべての非ゼロ複素数に対して対数値を与えるように拡張できますが、これは多値関数につながります。詳細については、複素対数を参照してください。

自然対数関数は、正の実数変数の実数値関数として考えれば、指数関数の逆関数となり、次の恒等式が成立します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} _{+}\\\ln e^{x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$$

すべての対数と同様に、自然対数は正の数の乗算を加算に変換します。^[5] $${\displaystyle \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y~.}$$

対数は、 eだけでなく、1 以外の任意の正の底に対して定義できます。ただし、他の底の対数は、自然対数と定数倍だけ異なるため、自然対数 で定義できます。 ${\displaystyle \log _{b}x=\ln x/\ln b=\ln x\cdot \log _{b}e}$

対数は、未知数が他の量の指数として現れる方程式を解くのに役立ちます。たとえば、対数は半減期、減衰定数、または指数関数的減衰問題における未知の時間を求めるために使用されます。対数は数学や科学分野の多くの分野で重要であり、複利を含む問題を解くために使用されます。

自然対数の概念は、1649年以前にグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンとアルフォンス・アントニオ・ド・サラサによって解明されました。 ^[6]彼らの研究は、双曲セクターの面積を決定することによって、方程式xy = 1の双曲線の求積法を含んでいました。彼らの解決策は、現在自然対数に関連付けられている特性を持つ 必要な「双曲対数」関数を生成しました。

自然対数に関する初期の言及は、1668年に出版されたニコラウス・メルカトルの著書『対数技術』であるが^[7]、数学教師ジョン・スペイデルは、1619年にすでに事実上自然対数の表を作成していた。 ^{[8]スペイデルの対数は}e を底とする対数であると言われてきたが、値が整数として表現される複雑さのため、これは完全には真実ではない。^{[8] : 152}

ln xとlog _e x の表記はどちらもxの自然対数を明確に表し、明示的な底のないlog x も自然対数を表すことがあります。この用法は数学では一般的ですが、一部の科学的コンテキストや多くのプログラミング言語でも使用されています。^{[注 1]ただし、}化学などの他のコンテキストでは、log x は常用対数 (底 10) を表すために使用されることがあります。また、コンピューターサイエンスのコンテキスト、特に時間計算量のコンテキストでは、2 進対数 (底 2)を指すこともあります。

自然対数はいくつかの同等の方法で定義できます。

最も一般的な定義は の逆関数 として定義されるので、 となります。は任意の実数入力 に対して正かつ逆関数であるため、 のこの定義は任意の正のxに対して明確に定義されます。 ${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle e^{\ln(x)}=x}$${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \ln(x)}$

正の実数aの自然対数は、方程式y = 1/ xを持つ双曲線のグラフの下のx = 1とx = a の間の面積として定義されます。これは積分です^[4] a が内にある 場合、領域の面積は負であり、対数は負です。 $${\displaystyle \ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$$${\displaystyle (0,1)}$

この関数は対数の基本的な乗法性を満たすので対数である: ^[5] $${\displaystyle \ln(ab)=\ln a+\ln b.}$$

これは、 ln ab を定義する積分を2 つの部分に分割し、2 番目の部分で 変数置換 x = at (つまりdx = a dt ) を行うことで次のように示されます。$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln ab=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}a\,dt\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,dt\\[5pt]&=\ln a+\ln b.\end{aligned}}}$$

簡単に言えば、これは単に水平方向に1/ a 、垂直方向にaだけ拡大縮小するだけです。この変換では面積は変化しませんが、 aとabの間の領域は再構成されます。関数a /( ax ) は関数1/ xに等しいため、結果として得られる面積は正確にln b になります。

すると、数e は、 ln a = 1となる唯一の実数aとして定義できます。

正の実数の自然対数は、関数の導関数として定義することもできます( は、自然対数を使用せずに以前に定義されていると仮定します)。 導関数の定義を極限として使用すると、この定義は次のように記述できます 。 この極限は、整数変数 を導入して上記の極限に設定すること により、無限連続極限として書き直すことができます。 したがって、 この極限式は、式を逆転させることによっても得られます。 任意の正の整数 に対して、関数および は互いに逆関数であることが簡単にわかり、これは極限 においても当てはまります。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle y=a^{x}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle a^{x}}$$${\displaystyle \ln(a)=\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}.}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle x=1/n}$$${\displaystyle \ln(a)=\lim _{n\to \infty }n(a^{1/n}-1).}$$${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }(1+x/n)^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f(x)=n(x^{1/n}-1)}$${\displaystyle g(x)=(1+x/n)^{n}}$${\displaystyle n\to \infty }$

の上記の極限定義は、積分 の極限を取ることによって、(前のセクションで説明した)の積分定義から簡単に導くことができます。原始微分に対するべき乗則により、この積分はすべての に対してと評価されます。したがって、この式の極限を取ると、 に対する上記の極限式が得られます。 ${\displaystyle \ln(a)}$${\displaystyle \ln(a)}$${\displaystyle x\to -1}$${\displaystyle \int _{1}^{a}t^{x}dt}$${\displaystyle {\frac {a^{x+1}-1}{x+1}}}$${\displaystyle x\neq -1}$${\displaystyle x\to -1}$${\displaystyle \ln(a)}$

自然対数には次のような数学的性質があります。

• ${\displaystyle \ln 1=0}$
• ${\displaystyle \ln e=1}$
• ${\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x/y)=\ln x-\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x^{y})=y\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}$
• ${\displaystyle \ln({\sqrt[{y}]{x}})=(\ln x)/y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y\neq 0}$
• ${\displaystyle \ln x<\ln y\quad {\text{for }}\;0<x<y}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}$
• ${\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{for}}\quad x>0}$
• ${\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{for}}\quad x\geq 0\;{\text{and }}\;\alpha \geq 1}$

実数値関数としての自然対数の微分は^[4]で与えられる。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$$

自然対数のこの導関数をどのように確立するかは、それが直接どのように定義されているかによって異なります。自然対数が積分として定義されている場合 、導関数は微積分の基本定理 の最初の部分から直ちに導かれます。 $${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt,}$$

一方、自然対数が（自然）指数関数の逆関数として定義されている場合、対数の特性と指数関数の定義を使用して 導関数（ x > 0の場合）を求めることができます。

数の定義から指数関数は次のように定義できる 。${\displaystyle e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},}$$${\displaystyle e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h},}$$${\displaystyle u=hx,h={\frac {u}{x}}.}$

すると、導関数は第一原理から求めることができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\ln x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{all above for logarithmic properties}}\\&=\ln \left[\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{for continuity of the logarithm}}\\&=\ln e^{1/x}\quad &&{\text{for the definition of }}e^{x}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}\\&={\frac {1}{x}}\quad &&{\text{for the definition of the ln as inverse function.}}\end{aligned}}}$$

また、次のものもございます: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln ax={\frac {d}{dx}}(\ln a+\ln x)={\frac {d}{dx}}\ln a+{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$$

したがって、逆関数とは異なり、関数内の定数は微分を変えません。 ${\displaystyle e^{ax}}$

自然対数は0で定義されていないため、他の多くの基本関数とは異なり、マクローリン級数を持たない。代わりに、他の点の周りのテイラー展開を探す。例えば、次の場合、 ^[9]${\displaystyle \ln(x)}$${\displaystyle \vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}$$

これは1付近のテイラー級数である。変数を変更するとメルカトル級数が得られる。 これはおよび に有効である。${\displaystyle \ln x}$$${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,}$$${\displaystyle |x|\leq 1}$${\displaystyle x\neq -1.}$

レオンハルト・オイラー^[10]は、を無視しながらも、この級数を に適用して調和級数が の自然対数、つまり無限大の対数に等しいことを示しました。今日では、より正式には、 Nで切断された調和級数がNが大きいときにNの対数に近く、その差がオイラー・マスケローニ定数に収束することを証明できます。 ${\displaystyle x\neq -1}$${\displaystyle x=-1}$${\displaystyle {\frac {1}{1-1}}}$

この図は、ln(1 + x )と0 付近のテイラー多項式のグラフです。これらの近似は、領域-1 < x ≤ 1でのみ関数に収束します。この領域外では、高次テイラー多項式は関数の より悪い近似になります。

正の整数nの場合の便利な特殊なケースは次のようになります。 ${\displaystyle x={\tfrac {1}{n}}}$$${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots }$$

もしそうなら ${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 1/2,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&=-\ln \left({\frac {1}{x}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}({\frac {1}{x}}-1)^{k}}{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x-1)^{k}}{kx^{k}}}\\&={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

ここで、 正の整数n をとると、次のようになります。 ${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$$${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(n+1)^{k}}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{2(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{3(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{4(n+1)^{4}}}+\cdots }$$

すると と なるので 、 を 再び正の整数nに 代入する と、次のよう になります。 ${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,}$$${\displaystyle \ln(x)=\ln \left({\frac {2x}{2}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\frac {x-1}{x+1}}}{1-{\frac {x-1}{x+1}}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {x-1}{x+1}}\right)-\ln \left(1-{\frac {x-1}{x+1}}\right).}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+y)-\ln(1-y)&=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\left((-1)^{i-1}y^{i}-(-1)^{i-1}(-y)^{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right)\\&=y\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i-1}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right){\overset {i-1\to 2k}{=}}\;2y\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{2k}}{2k+1}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{k}\\&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}{\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{2}+\cdots \right).\end{aligned}}}$$${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)&={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)((2n+1)^{2})^{k}}}\\&=2\left({\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{5}}}+\cdots \right).\end{aligned}}}$$

これは、ここで説明したシリーズの中で、これまでのところ最も速い収束です。

自然対数は無限積として表現することもできる: ^[11] $${\displaystyle \ln(x)=(x-1)\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{2^{k}}]{x}}}}\right)}$$

2つの例を挙げると次のようになります。 $${\displaystyle \ln(2)=\left({\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{2}}}}\right)...}$$ $${\displaystyle \pi =(2i+2)\left({\frac {2}{1+{\sqrt {i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{i}}}}\right)...}$$

このアイデンティティから、次のことが簡単にわかります。 $${\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {x}{x-1}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{-k}x^{2^{-k}}}{1+x^{2^{-k}}}}}$$

例えば： $${\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}=2-{\frac {\sqrt {2}}{2+2{\sqrt {2}}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{4+4{\sqrt[{4}]{2}}}}-{\frac {\sqrt[{8}]{2}}{8+8{\sqrt[{8}]{2}}}}\cdots }$$

自然対数により、 という形式の関数の簡単な積分が可能になります。g ( x )の原始微分はで与えられます。これは連鎖律と次の事実 によるものです。${\displaystyle g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}}$${\displaystyle \ln(|f(x)|)}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}},\ \ x\neq 0}$$

言い換えれば、を含まない実数直線の区間にわたって積分すると、 Cは積分定数で ある。^[12]${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C}$$

同様に、積分が の区間にわたる場合、 ${\displaystyle f(x)\neq 0}$

$${\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}$$

たとえば、が無限大である点を含まない区間での の積分を考えます。 ${\displaystyle \tan(x)}$${\displaystyle \tan(x)}$$${\displaystyle \int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=-\int {\frac {{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C=\ln \left|\sec x\right|+C.}$$

自然対数は部分積分を使って積分することができます。 $${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.}$$

すると : $${\displaystyle u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}}$$ $${\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}}$$

x > 1の場合、xの値が 1 に近いほど、1 を中心とするテイラー級数の収束速度が速くなります。対数に関連付けられた恒等式を利用してこれを利用できます。 ${\displaystyle \ln(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 123.456&=\ln(1.23456\cdot 10^{2})\\&=\ln 1.23456+\ln(10^{2})\\&=\ln 1.23456+2\ln 10\\&\approx \ln 1.23456+2\cdot 2.3025851.\end{aligned}}}$$

このような技術は、計算機が登場する前から、数値表を参照したり、上記のような操作を行ったりして使用されていました。

10の自然対数はおよそ2.302 585 09 ^[13]は、例えば科学的記数法で表された数値の自然対数の計算において、仮数部に10の累乗を掛けたものとして機能します。 $${\displaystyle \ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.}$$

これは、 [1, 10)の範囲内の比較的小さな小数の対数を使用して、非常に大きい数または非常に小さい数の対数を効果的に計算できることを意味します。

精度の高い自然対数を計算する場合、テイラー級数法は収束が遅いため効率的ではありません。特にxが 1 に近い場合、指数関数の級数の方が収束が速いため、ハレー法またはニュートン法を使用して指数関数を逆転させるのがよい代替策です。ハレー法を使用して y の値を求める場合、または同等にニュートン法を使用して y の値を求める場合、反復は に簡略化され、 これは3次収束します。 ${\displaystyle \exp(y)-x=0}$${\displaystyle \exp(y/2)-x\exp(-y/2)=0}$$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}}$$${\displaystyle \ln(x)}$

極めて高精度な計算のための別の代替法は、式^{[14] [15]} です。 ここで、M は1 と4/ sの算術幾何平均を表し、 pビットの精度が得られるようにm が選択されます。(ほとんどの場合、 mの値は 8 で十分です。) 実際、この方法を使用する場合、自然対数のニュートン逆変換を逆に使用して指数関数を効率的に計算できます。(定数とπ は、いくつかの既知の急速に収束する級数のいずれかを使用して、必要な精度に事前に計算できます。) または、次の式を使用できます。 $${\displaystyle \ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2,}$$$${\displaystyle s=x2^{m}>2^{p/2},}$$${\displaystyle \ln 2}$$${\displaystyle \ln x={\frac {\pi }{M\left(\theta _{2}^{2}(1/x),\theta _{3}^{2}(1/x)\right)}},\quad x\in (1,\infty )}$$

ここで ヤコビシータ関数は^[16] である。$${\displaystyle \theta _{2}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{(n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{n^{2}}}$$

ウィリアム・カーハンの提案に基づき、 1979 年にヒューレット・パッカード HP-41C電卓で初めて実装されました(画面上では "LN1" とのみ表示されます)。一部の電卓、オペレーティング システム(たとえばBerkeley UNIX 4.3BSD ^[17] )、数式処理システム、プログラミング言語 (たとえばC99 ^[18] ) では、特別な自然対数プラス 1関数 (別名LNP1 [ ^{19] [20]}またはlog1p ^{[18] )}が提供されています。この関数は、 0 に近い対数に対してより正確な結果を得るために、1 に近い値yを ln( y ) を返す関数に渡す代わりに、0 に近い引数 x を log1p( x ) という関数に渡して値ln ( 1+ x )を返すようにしています。^{[18] [19] [20]}関数log1pは、浮動小数点演算において、自然対数のテイラー展開の2番目の項と絶対項1がほぼ相殺されることを回避します。これにより、引数、結果、中間ステップがすべてゼロに近くなり、浮動小数点数として最も正確に表現できるようになります。^{[19] [20]}

IEEE 754-2008標準では、 e を底とするほか、2 進対数と10 進対数に対して1 付近の同様の対数関数log ₂ (1 + x )とlog ₁₀ (1 + x )を定義しています。

同様の逆関数として「expm1 」 ^[18]、「expm」^{[19] 、 [20] 、「exp1m」などがあり、いずれも}expm1( x ) = exp( x ) − 1の意味を持つ。^[注2]

逆双曲正接に関する恒等式は、 log1p( x )を実装していないシステム上で、x の小さな値に対して高精度の値を与えます。 $${\displaystyle \mathrm {log1p} (x)=\log(1+x)=2~\mathrm {artanh} \left({\frac {x}{2+x}}\right)\,,}$$

算術幾何平均（上記両方の方法）を使用して自然対数を計算する計算量はです。ここで、n は自然対数を評価する精度の桁数であり、M ( n )は 2 つのn桁の数を乗算する計算量です。 ${\displaystyle {\text{O}}{\bigl (}M(n)\ln n{\bigr )}}$

単純な連分数は利用できませんが、次のような一般化された連分数がいくつか存在します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$$

これらの連分数、特に最後の連分数は、1 に近い値に対して急速に収束します。ただし、はるかに大きな数の自然対数は、小さな数の自然対数を繰り返し加算することで簡単に計算でき、同様に急速に収束します。

たとえば、2 = 1.25 ³ × 1.024 なので、2 の自然対数は次のように計算できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[8pt]&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$$

さらに、10 = 1.25 ¹⁰ × 1.024 ³なので、10の自然対数も同様に計算できます。 自然対数の逆数は次のようにも表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[10pt]&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {2x}{x^{2}-1}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}}}\ldots }$$

例えば： $${\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}={\frac {4}{3}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}}}\ldots }$$

指数関数は、任意の複素数zに対してe ^{z という}複素数を与える関数に拡張できます。 x =z 複素数の無限級数を使用するだけです。この指数関数を反転すると、通常の対数の特性のほとんどを示す複素対数を作成できます。これには 2 つの困難があります。 e ^x = 0となるx は存在しないこと、およびe ^{2 iπ} = 1 = e ⁰であることがわかります。複素指数関数では乗法特性が依然として機能するため、すべての複素数zおよび整数 kに対して、 e ^z = e ^{z +2 kiπ}となります。

したがって、対数は複素平面全体に対して定義することはできませんが、定義できたとしても多値です。つまり、任意の複素対数は、 2 iπの任意の整数倍を任意に追加することで、「同等の」対数に変更できます。複素対数は、切断面上でのみ単一の値になります。たとえば、ln i = ⁠で/2⁠または⁠5インチ/2⁠または- ⁠3インチ/2⁠など。また、 i ⁴ = 1 ですが、4 ln i は2 iπ、 10 iπ、または−6 iπなど と定義することもできます

• 複素平面上の自然対数関数のプロット（主枝）
• 
  z = Re(ln( x + yi ))
• 
  z = | (Im(ln( x + yi ))) |
• 
  z = | (ln( x + yi )) |
• 
  前の3つのグラフを重ね合わせたもの

• 反復対数
• ネイピア対数
• 対数正規分布の一覧
• 行列の対数
• リー群の要素の対数座標。
• 対数微分
• 対数積分関数
• ニコラウス・メルカトル– 自然対数という用語を初めて使用した人物
• 多重対数
• フォン・マンゴルト関数