オイラー数

数学において、オイラー数はテイラー級数展開 によって定義される整数の列 E _n（OEISの列A122045 ）である。

${\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}}$、

ここで、は双曲余弦関数です。オイラー数は、オイラー多項式の特別な値と関連しています。 ${\displaystyle \cosh(t)}$

${\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).}$

オイラー数は、セカント関数と双曲セカント関数のテイラー級数展開に現れます。後者は定義の関数です。また、オイラー数は組み合わせ論、特に偶数個の要素を持つ集合の 交互順列の数を数えるときにも現れます。

奇数インデックスのオイラー数はすべてゼロです。偶数インデックスのオイラー数 ( OEISのシーケンスA028296 ) は符号が交互に変わります。値の例:

著者によっては、値がゼロの奇数オイラー数を省略したり、すべての符号を正に変更したりするために、シーケンスを再インデックスする人もいます ( OEISのシーケンスA000364 )。この記事では、上記の規則に従います。

次の2つの式はオイラー数を第二種スターリング数で表したものである^{[1] [2]}

${\displaystyle E_{n}=2^{2n-1}\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {(-1)^{\ell }S(n,\ell )}{\ell +1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{(\ell )}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{(\ell )}\right),}$

${\displaystyle E_{2n}=-4^{2n}\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }\cdot {\frac {S(2n,\ell )}{\ell +1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{(\ell )},}$

ここで、 は第2種スターリング数、 は上昇階乗を表します。 ${\displaystyle S(n,\ell )}$${\displaystyle x^{(\ell )}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell -1)}$

次の2つの式はオイラー数を二重和として表す^[3]

${\displaystyle E_{2n}=(2n+1)\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2n}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2n},}$

${\displaystyle E_{2n}=\sum _{k=1}^{2n}(-1)^{k}{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{2k}(-1)^{\ell }{\binom {2k}{\ell }}(k-\ell )^{2n}.}$

オイラー数の明示的な式は次の通りである: ^[4]

${\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{\ell =0}^{k}{\binom {k}{\ell }}{\frac {(-1)^{\ell }(k-2\ell )^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},}$

ここでiは虚数単位を表し、i ² = −1である。

オイラー数E _{2 n は}2 nの偶数分割の和として表すことができる。^[5]

${\displaystyle E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},}$

2 n − 1の奇数分割の和も同様である。^[6]

${\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},}$

ここで、どちらの場合もK = k ₁ + ··· + k _nであり、

${\displaystyle {\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}}$

は多項式係数です。上記の式のクロネッカーデルタは、 k の和をそれぞれ2 k ₁ + 4 k ₂ + ··· + 2 nk _n = 2 nとk ₁ + 3 k ₂ + ··· + (2 n − 1) k _n = 2 n − 1に制限します。

例えば、

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}}$

E _{2 nは}行列式によって与えられる

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

E _{2 n は}次の積分によっても与えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int _{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\tan x)\,dx=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int _{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$

W. Zhang ^[7]は 、オイラー数に関する以下の組み合わせ恒等式を得た。任意の素数に対して、 ${\displaystyle p}$

${\displaystyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}E_{p-1}\equiv \textstyle {\begin{cases}0\mod p&{\text{if }}p\equiv 1{\bmod {4}};\\-2\mod p&{\text{if }}p\equiv 3{\bmod {4}}.\end{cases}}}$

W. ZhangとZ. Xu ^[8]は、任意の素数と整数に対して、 ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$${\displaystyle \alpha \geq 1}$

${\displaystyle E_{\phi (p^{\alpha })/2}\not \equiv 0{\pmod {p^{\alpha }}}}$

ここで、 はオイラーのトーティエント関数です。 ${\displaystyle \phi (n)}$

オイラー数は大きな指数に対して急速に増大し、その下限は次のようになる。

${\displaystyle |E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}$

テイラー級数は​ ${\displaystyle \sec x+\tan x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n},}$

ここでA _{n は}オイラージグザグ数であり、

1、1、1、2、5、16、61、272、1385、7936、50521、353792、2702765、22368256、199360981、1903757312、19391512145、209865342976、2404879675441、29088885112832、...（OEISのシーケンスA000111）

すべての偶数nに対して、

${\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n},}$

ここでE _{n は}オイラー数であり、n が奇数の場合、

${\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}},}$

ここで、B _{n は}ベルヌーイ数です。

すべてのnに対して、

${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{(n-1)!}}\sin {\left({\frac {n\pi }{2}}\right)}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {A_{m}}{m!(n-m-1)!}}\sin {\left({\frac {m\pi }{2}}\right)}={\frac {1}{(n-1)!}}.}$^[要出典]

• ベル番号
• ベルヌーイ数
• ディリクレベータ関数
• オイラー・マスケローニ定数

• 「オイラー数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein, Eric W.「オイラー数」。MathWorld。