基本的な対称多項式

数学、特に可換代数において、初等対称多項式は対称多項式の基本的な構成要素の一種であり、任意の対称多項式は初等対称多項式の多項式として表現できるという意味で、あらゆる対称多項式は初等対称多項式の多項式として表現できる。つまり、任意の対称多項式 $P は$ 、定数と初等対称多項式の加算と乗算のみを含む式で与えられる。各正の整数 $d$ $\leq$ $nに対して、$ $n$ 個の変数を持つ $d$ 次初等対称多項式が 1 つ存在し、これは $d 個$ の異なる変数のすべての異なる積を加算することで形成される。

意味

$n$ 変数 $X 1, ..., X n$ の基本対称多項式は、 $k$ $= 1, ...,$ $n$ に対して $e k (X 1, ..., X n)$ と書かれ、次のように定義されます。

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n}X_{j} ,\\e_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k\leq n}X_{j}X_{k},\\e_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k<l \leq n}X_{j}X_{k}X_{l},\\\end{整列}}

そして最後に

e_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.

一般に $k \geq 0$ に対して定義される。

e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{1\leq j_{1}'',j_{2}'',j_{k},

したがって、 $k$ $>$ $n$ であれば $e k (X 1, ..., X n) = 0$ となります。( $1 =$ $e$ $0$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $)$ は基本対称多項式に含まれることもありますが、これを除外すると、結果と特性の定式化が一般的に簡単になります。)

したがって、 $n$ 以下の各正の整数 $kに対して、$ $n$ 変数の $k$ 次基本対称多項式が 1 つだけ存在します。k 次の基本対称多項式を作成するには $、$ $n$ 変数の $k$ 部分集合のすべての積を合計します。(対照的に、変数の多重集合を使用して同じ操作を実行すると、つまり、繰り返しのある変数を使用すると、完全な同次対称多項式に到達します。)

整数分割（つまり、正の整数の有限非増加列） $λ = (λ 1, ..., λ m)$ が与えられたとき、対称多項式 $e λ (X 1, ..., X n)$ （基本対称多項式とも呼ばれる）を次のように定義します。

e_{\lambda }(X_{1},\dots ,X_{n})=e_{\lambda _{1}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdot e_{\lambda _{2}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdots e_{\lambda _{m}}(X_{1},\dots ,X_{n})

。

$e$ $k$ の代わりに $σ k という$ 表記が使用されることもあります。

例

以下に、 $n$ の最初の 4 つの正の値に対する $n 個の$ 基本対称多項式を示します。

$n = 1 の$ 場合:

e_{1}(X_{1})=X_{1}.

$n = 2$ の場合:

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2},\\e_{2}(X_{1},X_{2})&=X_{1}X_{2}.\,\\\end{aligned}}

$n = 3の$ 場合:

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}X_{3}.\,\\\end{aligned}}

$n = 4$ の場合:

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{1}X_{4}+X_{2}X_{3}+X_{2}X_{4}+X_{3}X_{4}, \\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4},\\e_{4}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}.\,\\\end{aligned}}

プロパティ

基本的な対称多項式は、単項多項式の線形因数分解を展開すると現れる。

\prod _{j=1}^{n}(\lambda -X_{j})=\lambda ^{n}-e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-1}+e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-2}+\cdots +(-1)^{n}e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}).

つまり、変数 $X 1 、 X 2 、...、 X n$ に数値を代入すると、モニック一変数多項式（変数 $λ$ 付き）が得られ、その根は $X 1 、 X 2 、...、 X n$ に代入された値であり、係数は（符号までは）基本対称多項式です。多項式の根と係数の間のこれらの関係は、ヴィエタの公式と呼ばれます。

正方行列の特性多項式は、ヴィエタの公式の応用例です。この多項式の根は、行列の固有値です。これらの固有値を基本的な対称多項式に代入すると、その符号を除けば、特性多項式の係数が得られ、これが行列の不変量となります。特に、トレース（対角要素の合計）は $e$ $1$ の値であり、したがって固有値の合計です。同様に、行列式は、符号を除けば、特性多項式の定数項、つまり $e$ $n$ の値です。したがって、正方行列の行列式は、固有値の積です。

$n$ 変数の基本対称多項式の集合は、 $n$ 変数の対称多項式の環を生成します。より具体的には、整数係数の対称多項式の環は、整数多項式環 $[$ $e$ $1$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $), ...,$ $e$ $n$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $)]$ に等しくなります。(より一般的な記述と証明については下記を参照してください。) この事実は、不変理論の基礎の 1 つです。同じ性質を持つ別の対称多項式システムについては、完全同次対称多項式を参照してください。また、類似しているがやや弱い性質を持つシステムについては、べき乗和対称多項式を参照してください。 $\mathbb {Z}$

対称多項式の基本定理

任意の可換環 $A$ について、 $A$ に係数を持つ変数 $X 1 、...、 X n$ $の対称多項式の環をA$ $[$ $X$ $1$ $、...、$ $X$ $n$ $]$ $S$ $n$ で表します。これは、 $k$ $= 1、...、$ $n$ に対してn 個の基本対称多項式 $e$ $k$ $($ $X$ $1$ $、...、$ $X$ $n$ $)$ の多項式環です。

これは、すべての対称多項式 $P (X 1, ..., X n) \in A [X 1, ..., X n] S n が$ 一意の表現を持つことを意味する。

P(X_{1},\ldots ,X_{n})=Q{\big (}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}){\big )}

ある多項式 $Q \in A [Y 1, ..., Y n]$ に対して。同じことを別の方法で言うと、 $k$ $= 1, ...,$ $n$ に対して $Y$ $k$ $をe$ $k$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $)$ に写す環準同型は、 $A$ $[$ $Y$ $1$ $, ...,$ $Y$ $n$ $]$ と $A$ $[$ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $]$ $S$ $n$ の間の同型を定義します。

証明スケッチ

この定理は、対称同次多項式の場合、変数の数 $n$ に関する二重帰納法と、 $n$ が固定されている場合は同次多項式の次数に関する二重帰納法によって証明できます。一般的なケースは、任意の対称多項式をその同次成分（これも対称）に分割することで得られます。

$n = 1$ の場合、1 つの変数のすべての多項式は自動的に対称になるため、結果は自明です。

ここで、定理が $m < n$ 変数のすべての多項式と次数 $<$ $dの$ $n$ 変数のすべての対称多項式に対して証明されたと仮定する。A $[$ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $]$ $S$ $n$ のすべての同次対称多項式 $Pは$ $、$ 同次対称多項式の和として分解できる。

P(X_{1},\ldots ,X_{n})=P_{\text{lacunary}}(X_{1},\ldots ,X_{n})+X_{1}\cdots X_{n}\cdot Q(X_{1},\ldots ,X_{n}).

ここで、「欠損部分」 $P lacunary は、$ $n 個$ の変数 $X$ $1$ $、...、$ $X$ $n$ の適切なサブセットのみを含む、つまり少なくとも 1 つの変数 $X$ $j$ $が欠落しているP$ 内のすべての単項式の合計として定義されます。

$P$ は対称なので、欠落部分は変数 $X 1 、...、 X n - 1のみを含む項、つまり$ $X n を$ 含まない項によって決まります。より正確には、 $A$ と $Bが$ $X 1 、...、 X n$ の同じ次数を持つ2つの同次対称多項式であり、変数 $X$ $1$ $、...、$ $X$ $n$ $- 1のみを含む各単項式の前の$ $Aの係数が$ $B$ の対応する係数に等しい場合、 $A$ と $Bは等しい欠落部分を持ちます。(これは、欠落部分に現れる可能性のあるすべての単項式には少なくとも1つの変数が欠けている必要があり、したがって変数の順列によって変数$ $X$ $1$ $、...、$ $X$ $n$ $- 1$ のみを含む単項式に変換できるためです。)

しかし、変数 $X$ $1$ $、...、$ $X$ $n$ $- 1のみを含む$ $P$ の項は、 $X$ $n を$ 0 に設定する操作を生き残る項とまったく同じなので、その合計は $P$ $($ $X$ $1$ $、...、$ $X$ $n$ $- 1$ $、0)に等しくなり、これは変数$ $X$ $1$ $、...、$ $X$ $n$ $- 1$ の対称多項式であり、 $P̃$ $($ $X$ $1$ $、...、$ $X$ $n$ $- 1$ $)$ と表記します。帰納的仮定により、この多項式は次のように表すことができます。

{\tilde {P}}(X_{1},\ldots ,X_{n-1})={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})

$あるQ̃$ に対して。ここで、2重インデックス $σ j, n - 1 は、$ $n - 1$ 変数の基本対称多項式を表します。

ここで多項式を考えてみましょう

R(X_{1},\ldots ,X_{n}):={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n},\ldots ,\sigma _{n-1,n}).

このとき、 $R (X 1, ..., X n)は、$ $P$ $lacunary$ と同じ次数の $X 1, ..., X n$ の対称多項式であり、次式を満たす。

R(X_{1},\ldots ,X_{n-1},0)={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})=P(X_{1},\ldots ,X_{n-1},0)

（最初の等式は、 $σ$ $j$ $,$ $n$ $においてX n を$ 0 に設定すると、すべての $j$ $<$ $nに対して$ $σ$ $j$ $,$ $n$ $- 1$ となるため成り立ちます）。言い換えれば、変数 $X$ $1$ $、...、$ $X$ $n$ $- 1のみを含む各単項式の前の$ $Rの係数は、$ $P$ の対応する係数に等しくなります。ご存知のように、これは $R$ の欠落部分が元の多項式 $P$ の欠落部分と一致することを示しています。したがって、差 $P$ $-$ $R に$ は欠落部分がないため、すべての変数の積 $X$ $1$ $\cdot\cdot\cdot$ $X$ $n$ で割り切れ、これは基本対称多項式 $σ$ $n$ $,$ $n$ に等しくなります。次に、 $P$ $-$ $R$ $=$ $σ$ $n$ $,$ $n$ $Q$ と書くと、商 $Qは$ $d$ 未満の次数（実際には最大で $d$ $-$ $n$ の次数）の同次対称多項式であり、帰納的仮定により基本対称関数の多項式として表すことができます。 $P$ $-$ $R$ と $R$ の表現を組み合わせると、 $P$ の多項式表現が得られます。

表現の一意性は、同様の方法で帰納的に証明できます。(これは、 $n 個の$ 多項式 $e 1 、...、 e n が$ 環 $A$ 上で代数的に独立であるという事実と同等です。) 多項式表現が一意であるという事実は、 $A$ $[$ $X$ $1$ $、...、$ $X$ $n$ $]$ $S$ $n$ $がA$ $[$ $Y$ $1$ $、...、$ $Y$ $n$ $]$ と同型であることを意味します。

代替証明

$次の証明も帰納的ですが、 X 1 、...、 X n$ で対称な多項式以外の多項式は含まず、対称多項式を基本的な対称多項式の多項式として効果的に記述するかなり直接的な手順にもつながります。対称多項式は次数 $d$ の同次であると仮定します。異なる同次成分は別々に分解できます。変数 $X$ $i の$ 単項式を辞書式に並べます。個々の変数は $X$ $1$ $> ... >$ $X$ $n$ の順序になります。つまり、多項式の支配的な項は $X$ $1$ の最も高い出現べきを持つ項であり、その中でも $X$ $2の最も高い出現べきを持つ項、などとなります。さらに、次数$ $d$ の基本対称多項式(実際には同次です)のすべての積を $d$ の分割によって次のようにパラメーター化します。個々の基本対称多項式 $e$ $i$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $)を、大きいインデックス$ $i$ を持つものが最初に来るように積に並べ、各因子に対して $i$ 個のボックスの列を作成し、それらの列を左から右に並べて、合計 $d$ 個のボックスを含むヤング図を形成します。この図の形状は $d$ の分割であり、 $d$ の各分割 $λ は基本対称多項式の積の 1 つに対して生じ、これを$ $e$ $λ$ $t$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ )と表記します( $tが存在するのは、この積が伝統的に$ $λ$ の転置分割に関連付けられているためです)。証明の重要な要素は、変数 $X$ $i$ の単項式にマルチインデックス表記を使用する次の単純な特性です。

補題 $e λ t (X 1, ..., X n)$ の主要項は $X λ$ である。

証明。積の主項は各因子の主項の積であり（これは、ここで使用されている辞書式順序のような単項式順序を使用する場合に常に当てはまります）、因子

e i (X 1 、...、 X n)

の主項は明らかに

X 1 X 2 \cdot\cdot\cdot X i

です。結果として得られる単項式における個々の変数の出現回数を数えるには、ヤング図の該当する因子に対応する列に変数の番号

1、...、 i を

入力します。すると、最初の行のすべてのボックスには 1 が含まれ、2 番目の行のすべてのボックスには 2 が含まれ、以下同様に続きます。つまり、主項は

X λ

です。

ここで、辞書式順序の主単項式に関する帰納法により、 $d$ 次任意の非ゼロ同次対称多項式 $P は$ 、基本対称多項式の多項式として記述できることが証明されます。 $P$ は対称であるため、その主単項式は弱減少指数を持ち、したがって $λ が$ $d$ の分割である $X$ $λ$ です。この項の係数を $c$ とすると、 $P$ $-$ $ce$ $λ$ $t$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $)$ はゼロか、主単項式が厳密に小さい対称多項式のいずれかになります。この差を基本対称多項式の多項式として帰納的に記述し、それに $ce$ $λ$ $t$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $)を加算すると、$ $P$ の目的の多項式表現が得られます。

この式が一意であること、または同等に、基本的な対称多項式の積（単項式） $e λ t (X 1 、...、 X n ）$ がすべて線形独立であることも簡単に証明できます。補題は、これらすべての積が異なる主単項式を持つことを示しており、これで十分です。e $λ$ $t$ $($ $X$ $1$ $、...、$ $X$ $n$ $)の$ $非$ 自明な線形結合がゼロである場合、非ゼロの係数と（変数 $X i$ の多項式として）最大の主単項式との線形結合における寄与に注目します。この寄与の主項は、線形結合の他の寄与によってキャンセルすることができず、矛盾が生じます。

参照

参考文献

マクドナルド、IG (1995)。対称関数とホール多項式（第2版）。オックスフォード：クラレンドン・プレス。ISBN 0-19-850450-0。
スタンレー、リチャード P. (1999)。列挙的組合せ論、第 2 巻。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-56069-1。

外部リンク

Trifonov, Martin (2024 年 3 月 5 日). ガロア理論への序論: 対称多項式の探究 (ビデオ). YouTube . 2024 年 3 月 26 日閲覧。