Arf不変

数学において、標数 2の体上の非特異二次形式のArf 不変量は、トルコの数学者Cahit Arf (1941) が標数 2 の任意の体上の二次形式の体系的な研究を始めたときに定義されました。Arf 不変量は、標数 2 において、標数 2 でない二次形式の判別式 の代わりとなります。Arf は、標数 2 の二次形式を分類する取り組みの中で、この不変量を他の不変量とともに使用しました。

2 元体F ₂の特殊なケースでは、 Arf 不変量は、その形式の値の中で最も頻繁に出現するF _{2の元として記述できます。} F _{2上の 2 つの非特異二次形式は、同じ次元と同じ Arf 不変量を持つ場合にのみ同型です。 この事実は、}レナード ディクソン(1901)によって、標数 2 の任意の有限体に対しても本質的に知られており、Arf は任意の完全体 に対してこれを証明しました。

Arf 不変量は特に幾何学的位相幾何学で応用され、そこでは主に、フレーミングと呼ばれる特定の追加構造を持つ(4 k + 2)次元多様体 (単独の偶数次元多様体: 曲面 (2 次元多様体)、6 次元多様体、10 次元多様体など)の不変量を定義するために使用され、したがってArf–Kervaire 不変量と結び目の Arf 不変量になります。Arf 不変量は、4 k次元多様体 (二重の偶数次元)に対して定義される多様体のシグネチャに類似しています。この 4 倍周期性は、 L 理論の 4 倍周期性に対応します。Arf 不変量は、より一般的に特定の 2 k次元多様体 に対して定義することもできます。

Arf 不変量は、標数 2 の体K上の二次形式 qに対して定義され、 q は、関連付けられた双線型形式が非退化 であるという意味において、非特異です。Kは標数 2 を持つので、形式は交代的です。したがって、標数 2 の非特異二次形式は偶数次元を持つ必要があります。K 上の任意の 2 次元 (2 次元) 非特異二次形式は、K内の形式と同値です。Arf 不変量は、積 として定義されます。形式が と同値である場合、積と は、K内の形式の要素によって異なります。これらの要素は、 Kの加法部分群U を形成します。したがって、 Uを法とする の剰余類は の不変量であり、が同値な形式で置き換えられ ても変更されないことを意味します。${\displaystyle b(u,v)=q(u+v)-q(u)-q(v)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle q(x,y)=ax^{2}+xy+by^{2}}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle q'(x,y)=a'x^{2}+xy+b'y^{2}}$${\displaystyle q(x,y)}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle a'b'}$${\displaystyle u^{2}+u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

K上のすべての非特異二次形式は、非特異二項形式の直和に等しい。これは Arf によって示されたが、それ以前には Dickson によって標数 2 の有限体の場合に観察されていた。Arf 不変量 Arf( ) は、 の Arf 不変量の合計として定義される。定義により、これはU を法とするKの剰余類である。Arf ^{[1] は}、 が等価な二次形式に置き換えられても は変化しないことを示した。つまり、 は の不変量である。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle q=q_{1}+\cdots +q_{r}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle \operatorname {Arf} (q)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

Arf 不変量は加法的です。言い換えると、2 つの二次形式の直交和の Arf 不変量は、それらの Arf 不変量の合計です。

標数 2 の体Kについて、アルティン・シュライアー理論は、上の部分群UによるKの商群をガロアコホモロジー群H ¹ ( K , F ₂ )と同一視する。言い換えれば、K / Uの非ゼロ元は、 Kの可分な二次拡大体と 1 対 1 で対応している。そのため、 K上の非特異二次形式の Arf 不変量はゼロであるか、 Kの可分な二次拡大体を記述するかのどちらかである。これは、標数 2 でない体F上の非特異二次形式の判別式に類似している。その場合、判別式はF ^* /( F ^* ) ^{2に値を取り、これは}クンマー理論によってH ¹ ( F , F ₂ )と同一視できる。

体Kが完全である場合、K上のすべての非特異二次形式は、その次元と Arf 不変量によって一意に決定されます (同値性を除く)。特に、これは体F ₂上で当てはまります。この場合、上記の部分群U はゼロであるため、 Arf 不変量は基本体F ₂の要素であり、0 または 1 のいずれかになります。

標数 2 の体Kが完全でない場合 (つまり、K がその平方の部分体K ²と異なる場合)、クリフォード代数は二次形式の別の重要な不変量です。Arf の元の記述を修正したバージョンでは、次数[ K : K 2 ^]が最大で 2 の場合、K上のすべての二次形式は、その次元、Arf 不変量、およびクリフォード代数によって完全に特徴付けられます。^[2]このような体の例としては、完全な基底体上の 1 変数の 関数体(または冪級数体) があります。

F ₂上で、二次形式が二進形式 のコピーの直和に等しい場合、Arf 不変量は 0 になります。また、形式がのコピーの数と の直和である場合、Arf 不変量は 1 になります。 ${\displaystyle xy}$${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}$${\displaystyle xy}$

ウィリアム・ブラウダーは、Arf 不変量を民主的不変量と呼んでいます^[3]。これは、この不変量が二次形式によって最も頻繁に想定される値であるためです^[4] 。別の特徴付け: q がArf 不変量 0 を持つのは、基礎となる体F ₂上の2 k次元ベクトル空間に、 qが恒等的に 0 となるk次元部分空間、つまり次元の半分の完全等方性部分空間がある場合のみです。言い換えると、次元 2 kの非特異二次形式が Arf 不変量 0 を持つのは、その等方性指数がk (これは非特異形式の完全等方性部分空間の最大次元です) の場合のみです。

Mを、係数ホモロジーにおける誘導射が​​ ​​ ${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle H_{k}(M,\partial M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{k-1}(\partial M;\mathbb {Z} _{2}),\quad H_{k}(\partial M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})}$

は両方ともゼロである（例えば、が閉じている場合）。共通部分形式${\displaystyle M}$

${\displaystyle \lambda :H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\times H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\to \mathbb {Z} _{2}}$

は非特異である。（位相幾何学者は通常、F ₂を と書く。）の二次微分は、次を満たす 関数である。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu :H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\to \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle \mu (x+y)+\mu (x)+\mu (y)\equiv \lambda (x,y){\pmod {2}}\;\forall \,x,y\in H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})}$

をの任意の2 次元部分空間とし、とする。このとき、 のすべてが1 であるか、または のうちの 1 つだけが 1 で、他の 2 つが 0 であるかの 2 つの可能性がある。最初のケースを 、2 番目のケースを と呼ぶ。すべての形式はシンプレクティック形式と同値であるため、xとy が-dualである部分空間を常に見つけることができる。したがって、またはに同型な部分空間の直和に分割することができる。さらに、巧妙な基底の変更により、Arf 不変量を定義する。 ${\displaystyle \{x,y\}}$${\displaystyle H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle \lambda (x,y)=1}$${\displaystyle \mu (x+y),\mu (x),\mu (y)}$${\displaystyle H^{1,1}}$${\displaystyle H^{0,0}}$${\displaystyle \{x,y\}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle H^{0,0}}$${\displaystyle H^{1,1}}$${\displaystyle H^{0,0}\oplus H^{0,0}\cong H^{1,1}\oplus H^{1,1}.}$

${\displaystyle \operatorname {Arf} (H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2});\mu )=({\text{number of copies of }}H^{1,1}{\text{ in a decomposition mod 2}})\in \mathbb {Z} _{2}.}$

• を、境界が空か連結であるような種数の、連結でコンパクトな有向2次元多様体、すなわち表面 とします。をに埋め込みます。ただしです。Mのフレーミング、つまり通常の ( m  − 2)-平面ベクトル束の自明化を選択します。(これは に対しても可能なので、 に対しても確実に可能です)。 のシンプレクティック基底 を選択します。各基底要素は、埋め込まれた円 によって表されます。 の通常の ( m  − 1)-平面ベクトル束には2つの自明化があります。1つは標準埋め込みの標準フレーミングによって決定され、もう1つはMのフレーミングによって決定され、これらはマップ、つまりに対する の要素によって異なります。これは、1次元のフレーム付きコボルディズム群 におけるこのフレーミングを持つ のフレーム付きコボルディズム類と見ることもできます。この群は、リー群のフレーミングを持つ円によって生成されます。ここでの同型性はポントリャギン・トム構成による。をこの要素として定義する。フレーム付き曲面のArf不変量は次のように定義される。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle S^{m}}$${\displaystyle m\geq 4}$${\displaystyle m=3}$${\displaystyle m\geq 4}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2g-1},x_{2g}}$${\displaystyle H_{1}(M)=\mathbb {Z} ^{2g}}$${\displaystyle x_{i}:S^{1}\subset M}$${\displaystyle S^{1}\subset M\subset S^{m}}$${\displaystyle S^{1}\subset S^{m}}$${\displaystyle S^{1}\to SO(m-1)}$${\displaystyle \pi _{1}(SO(m-1))\cong \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle m\geq 4}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \Omega _{1}^{\text{framed}}\cong \pi _{m}(S^{m-1})\,(m\geq 4)\cong \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mu (x)\in \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle \Phi (M)=\operatorname {Arf} (H_{1}(M,\partial M;\mathbb {Z} _{2});\mu )\in \mathbb {Z} _{2}}$

したがって、 の要素を得るためには、 を少なくとも 4 として安定化する必要があったことに注意してください。フレーミングの剰余を 2 で割った値を取る限り、このケースも許容されます。${\displaystyle \pi _{1}(SO(2))\cong \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle m=3}$

• フレーム付き曲面のArf 不変量は、与えられたフレーミングを拡張する与えられた曲面を境界とする 3 次元多様体が存在するかどうかを検出します。これは、 が境界を持たないためです。は、両方の生成元で奇数回ねじれた自明化を持つトーラスを表します。重要な事実は、ホモトピーに至るまで、円上の自明な 3 平面バンドルの自明化には 2 つの選択肢があり、 の 2 つの要素に対応するということです。リー群のフレーミングとして知られる奇数のねじれはディスクを横切って拡張されませんが、偶数のねじれは拡張されます。(これは、表面にスピン構造を置くことに対応することに注意してください。) Pontrjagin は、フレーム付き曲面の Arf 不変量を使用して、リー群のフレーミングを持つトーラスによって生成される2 次元のフレーム付きコボルディズム群 を計算しました。ここでの同型性は、Pontrjagin-Thom 構成によるものです。${\displaystyle \Phi (M)}$${\displaystyle H^{1,1}}$${\displaystyle H^{1,1}}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle H_{1}(T^{2};\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle \pi _{1}(SO(3))}$${\displaystyle \Omega _{2}^{\text{framed}}\cong \pi _{m}(S^{m-2})\,(m\geq 4)\cong \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle T^{2}}$

• を結び目 のザイフェルト面とします。これは、バンドが付いた円盤として表すことができます。バンドは通常、ねじれや結び目があります。各バンドは、生成元 に対応します。は、バンドの 1 つを横切る円で表すことができます。を、2 を法とするバンドの完全なねじれの数と定義します。を境界とし、ザイフェルト面を に押し込んで、その境界が 内にあるとします。任意の生成元 の周囲には、自明な通常の 3 平面ベクトル束があります。必要なセクションのうち 2 つに対して、通常の束から埋め込みへの自明なフレーミングを使用して、これを自明化します。3つ目については、 に垂直でありながら常にに接するセクションを選択します。この自明化によっても の元が決定され、これを とします。これは の前の定義と一致することに注意してください。${\displaystyle (M^{2},\partial M)\subset S^{3}}$${\displaystyle \partial M=K:S^{1}\hookrightarrow S^{3}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle x\in H_{1}(M;\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu (x)}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle D^{4}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle D^{4}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle x\in H_{1}(M,\partial M)}$${\displaystyle M\hookrightarrow D^{4}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi _{1}(SO(3))}$${\displaystyle \mu (x)}$${\displaystyle \mu }$

• 結び目の Arf 不変量は、そのSeifert 面によって定義されます。これは Seifert 面の選択とは無関係であり (S 同値の基本操作の変更、チューブの追加/削除、直接加数の追加/削除)、結び目不変量です。これは連結和の下で加法性があり、スライス結び目では消えるため、結び目一致不変量です。${\displaystyle H^{0,0}}$

• フレームされた(4 k + 2 )次元多様体Mの( 2 k + 1)次元-係数ホモロジー上の交差形式には、フレーム化に依存する二次細分化 があります。埋め込みによって表されると の場合、 の正規バンドルが自明かどうかに応じて、値は0 または 1 になります。フレームされた(4 k + 2)次元多様体MのKervaire 不変量は、上の二次細分化の Arf 不変量です。Kervaire 不変量は、球面の(4 k + 2)次元安定ホモトピー群上の準同型です。Kervaire 不変量は、点を除いてフレーム化された(4 k + 2)次元多様体Mに対しても定義できます。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle k\neq 0,1,3}$${\displaystyle x\in H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle x\colon S^{2k+1}\subset M}$${\displaystyle \mu (x)\in \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle \pi _{4k+2}^{S}\to \mathbb {Z} _{2}}$

• 外科手術理論では、任意の次元正規マップに対して、係数ホモロジー核上の非特異な二次形式が定義される。${\displaystyle 4k+2}$${\displaystyle (f,b):M\to X}$${\displaystyle (K_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2}),\mu )}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle K_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})=ker(f_{*}:H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{2k+1}(X;\mathbb {Z} _{2}))}$

ホモロジー交差形式 を改良したものです。この形式の Arf 不変量は( f , b ) のKervaire 不変量です。特殊なケースでは、これはMのKervaire 不変量です。Kervaire 不変量は、 Michel KervaireとJohn Milnorによるエキゾチック球面の分類、より一般的には手術理論による多様体の分類で取り上げられています。William Browder は関数Steenrod 平方を使用して定義し、CTC Wall はフレーム浸漬を使用して定義しました。2 次関数の強化により、 よりも多くの重要な情報が提供されます。つまり、 の場合にのみ、手術でx を 殺すことが可能です。対応する Kervaire 不変量は、L 群におけるの手術妨害を検出します。${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle X=S^{4k+2}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu (x)}$${\displaystyle \lambda (x,x)}$${\displaystyle \mu (x)=0}$${\displaystyle (f,b)}$ ${\displaystyle L_{4k+2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} _{2}}$

• de Rham不変量、次元多様体のmod 2不変量${\displaystyle (4k+1)}$

• Arf不変量とジョーンズ多項式の関係についてはLickorish(1997)を参照してください。
• 4 次元空間における円板の自己交差に関する Arf 不変量の別の同等の定義については、Carter の本の第 3 章を参照してください。
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