双曲面

幾何学において、回転双曲面（回転双曲面とも呼ばれる）は、双曲面をその主軸の 1 つを中心に回転させることによって生成される面である。双曲面は、方向スケーリング、またはより一般的にはアフィン変換によって回転双曲面を変形することによって得られる面である。

双曲面は二次曲面、つまり3変数の2次多項式の零点集合として定義される曲面です。二次曲面の中でも、双曲面は円錐でも円筒でもなく、対称中心を持ち、多くの平面と交差して双曲面になるという特徴があります。双曲面には、互いに直交する3つの対​​称軸と、互いに直交する3つの対​​称面があります。

双曲面が与えられた場合、双曲面が次のいずれかの方程式で定義されるような 直交座標系を選択できます。 または 座標軸は双曲面の対称軸であり、原点は双曲面の対称中心です。いずれの場合も、双曲面は方程式の円錐に 漸近します。$${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1,}$$$${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1.}$$$${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0.}$$

回転双曲面が存在するのは、次の場合のみです。それ以外の場合、軸は一意に定義されます ( x軸とy軸の交換まで)。 ${\displaystyle a^{2}=b^{2}.}$

双曲面には 2 種類あります。最初のケース (方程式の右側の+1 ) は、 1 枚双曲面(双曲型双曲面とも呼ばれます)です。これは連結された曲面であり、すべての点で負のガウス曲率を持ちます。つまり、すべての点の近くで、双曲面とその点での接平面の交点は、その点で異なる接線を持つ 2 つの曲線の枝で構成されます。1 枚双曲面の場合、これらの曲線の枝は直線であり、したがって 1 枚双曲面は二重線織面です。

2 番目のケース (式の右側の−1 ) は、 2 枚双曲面( 楕円双曲面とも呼ばれます) です。この表面は、2 つの連結成分と、すべての点で正のガウス曲率を持ちます。この表面は、すべての点での接平面がこの点でのみ表面と交差するという意味で 凸面です。

双曲面の直交座標は球面座標と同様に定義でき、方位角θ∈ [0, 2π )を維持しながら、傾斜角vを双曲三角関数に変更します。

一面双曲面: v ∈ (−∞, ∞) $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh v\cos \theta \\y&=b\cosh v\sin \theta \\z&=c\sinh v\end{aligned}}}$$

二面双曲面: v ∈ [0, ∞) $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sinh v\cos \theta \\y&=b\sinh v\sin \theta \\z&=\pm c\cosh v\end{aligned}}}$$

次のパラメトリック表現には、1 枚の双曲面、2 枚の双曲面、およびそれらの共通境界円錐が含まれており、それぞれ- 軸が対称軸となっています。 ${\displaystyle z}$$${\displaystyle \mathbf {x} (s,t)=\left({\begin{array}{lll}a{\sqrt {s^{2}+d}}\cos t\\b{\sqrt {s^{2}+d}}\sin t\\cs\end{array}}\right)}$$

• 一枚の双曲面が得られるので、${\displaystyle d>0}$
• 2枚の双曲面の場合、${\displaystyle d<0}$
• ダブルコーン用。${\displaystyle d=0}$

上記の式で項 の位置を適切な要素に移動することで、対称軸として異なる座標軸を持つ双曲面のパラメトリック表現を得ることができます。${\displaystyle cs}$

より一般的には、 vを中心とする任意の方向の双曲面は、Aが行列、x、vがベクトルである 方程式によって定義されます 。 $${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathrm {T} }A(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1,}$$

Aの固有ベクトルは双曲面の主方向を定義し、A の固有値は半軸の二乗の逆数、つまり、およびです。1 枚双曲面には 2 つの正の固有値と 1 つの負の固有値があります。2 枚双曲面には 1 つの正の固有値と 2 つの負の固有値があります。 ${\displaystyle {1/a^{2}}}$${\displaystyle {1/b^{2}}}$${\displaystyle {1/c^{2}}}$

• 1枚の双曲面には2本の線が描かれています。これは二重線模様の面です。

双曲面が方程式を持つ場合 、線は ${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1}$

$${\displaystyle g_{\alpha }^{\pm }:\mathbf {x} (t)={\begin{pmatrix}a\cos \alpha \\b\sin \alpha \\0\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-a\sin \alpha \\b\cos \alpha \\\pm c\end{pmatrix}}\ ,\quad t\in \mathbb {R} ,\ 0\leq \alpha \leq 2\pi \ }$$ 表面に含まれています。

双曲面は回転面であり、回転軸に対して斜めになっている 2 本の直線またはのいずれかを回転させることによって生成できます(図を参照)。この特性は、レンの定理と呼ばれます。[ 1 ] ¹枚回転双曲面のより一般的な生成方法は、双曲線をその短軸の周りで回転させることです (図を参照。双曲線をもう一方の軸の周りで回転させると、2 枚回転双曲面が得られます)。 ${\displaystyle a=b}$${\displaystyle g_{0}^{+}}$${\displaystyle g_{0}^{-}}$

1 枚の双曲面は、射影的には双曲放物面と同値です。

簡単にするために、方程式を持つ単位双曲面の平面断面が考慮されています。一般的な位置にある双曲面は単位双曲面のアフィン像であるため、結果は一般的な場合にも適用されます。 ${\displaystyle \ H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1}$

• 傾きが1未満の平面（1は双曲面上の線の傾き）は楕円で交差します。${\displaystyle H_{1}}$
• 原点を含む傾きが1の平面は、2本の平行線で交差します。${\displaystyle H_{1}}$
• 原点を含まない傾き1の平面は放物線で交差し、${\displaystyle H_{1}}$
• 接線平面は交差する一組の線で交差し、${\displaystyle H_{1}}$
• 傾きが1より大きい非接線平面は双曲線で交差する。^[2]${\displaystyle H_{1}}$

明らかに、1 枚の回転双曲面には円が含まれています。これは一般的な場合にも当てはまりますが、それほど明白ではありません (円セクションを参照)。

2枚の双曲面には直線は含まれません。平面断面の議論は、双曲面をその軸の1つ（双曲面を切断する軸）を中心に 回転させることによって生成される方程式を使用して、2枚の単位双曲面に対して 実行できます。$${\displaystyle H_{2}:\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1.}$$

• 傾きが1未満の平面（1は生成双曲線の漸近線の傾き）は、楕円または点で交差するか、まったく交差しません。${\displaystyle H_{2}}$
• 原点（双曲面の中点）を含む傾きが1の平面は、と交差しない 。${\displaystyle H_{2}}$
• 原点を含まない傾き1の平面は放物線と交差し、${\displaystyle H_{2}}$
• 傾きが1より大きい平面は双曲線で交差します。^[3]${\displaystyle H_{2}}$

明らかに、任意の 2 枚回転双曲面には円が含まれています。これは一般的な場合にも当てはまりますが、それほど明白ではありません (円セクションを参照)。

注意: 2 枚の双曲面は、射影的には球面と同値です。

方程式を持つ双曲面 は $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1}$$

• 原点に対して点対称、
• 座標平面に対称であり、
• (回転双曲面の場合)Z 軸に対して回転対称であり、Z 軸を含む任意の平面に対して対称です。${\displaystyle a=b}$

1 枚の双曲面のガウス曲率は負ですが、2 枚の双曲面のガウス曲率は正です。正の曲率にもかかわらず、別の適切な測定基準を持つ 2 枚の双曲面は、双曲幾何学のモデルとしても使用できます。

虚双曲面は、高次元の数学でよく見られます。たとえば、擬ユークリッド空間では、 2次形式が使用されます。c が任意の定数の とき、空間の によって与えられる部分は 双曲面 と呼ばれます。退化したケースは、c = 0に対応します。 $${\displaystyle q(x)=\left(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right),\quad k<n.}$$$${\displaystyle \lbrace x\ :\ q(x)=c\rbrace }$$

例として、次の文章を考えてみましょう。^[4]

...速度ベクトルは常にミンコフスキーが4次元双曲面と呼ぶ表面上に存在する。これは、純粋に実数の座標（y ₁、...、y ₄）で表現すると、その方程式はyとなる。²
₁+ y²
₂+ y²
₃− y²
₄= −1、双曲面yに類似²
₁+ y²
₂− y²
₃= 3次元空間の−1 。 ^[6]

ただし、球面と双曲面には共通点があるため、この文脈では準球面という用語も使用されます (以下の § 球面との関係を参照)。

1 枚のシートを持つ双曲面は建築に使用され、その構造は双曲面構造と呼ばれます。双曲面は二重線条面であるため、まっすぐな鋼鉄の梁で構築でき、他の方法よりも低コストで強力な構造を作り出すことができます。例としては、特に発電所の冷却塔やその他多くの構造物があります。

• 一枚の双曲面構造のギャラリー
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  アジオゴル灯台、ウクライナ、1911年。
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  1916年に特許を取得した最初のヴァン・イターソン 冷却塔は、オランダのヘールレンにあるDSMエマ社によって1918年に発明された。
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  神戸ポートタワー、日本、1963年。
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  セントルイス科学センターのジェームズ・S・マクドネル・プラネタリウム、ミズーリ州セントルイス、 1963年。
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  ニューカッスル国際空港の管制塔、ニューカッスル・アポン・タイン、イギリス、1967年。
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  イェシュチェド送電塔、チェコ共和国、1968 年。
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  ブラジリア大聖堂、ブラジル、1970年。
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  ドーナツ型タンクを備えた双曲面型給水塔、ポーランド、チェハヌフ、1972 年。
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  ロイ・トムソン・ホール、トロント、カナダ、1982年。
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  1983 年、ドイツのハム＝ウントロップにある、現在は廃止されたトリウム原子炉のTHTR -300 冷却塔。
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  コーポレーションストリート ブリッジ、マンチェスター、イギリス、1999 年。
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  キレスベルク展望台、シュトゥットガルト、ドイツ、2001年。
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  BMW ワールド(BMW ワールド)、博物館およびイベント会場、ドイツ、ミュンヘン、2007 年。
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  広州塔、中国、 2010年。
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  エサール・ル・ロワ給水塔、フランス。

1853年、ウィリアム・ローワン・ハミルトンは、四元数に関する講義を出版し、その中で双四元数を紹介しました。673ページの次の一節は、ハミルトンが球面の方程式から双曲面を生成するために、双四元数代数と四元数のベクトルをどのように使用したかを示しています。

...単位球面の方程式 ρ ² + 1 = 0を、ベクトルρ をσ + τ √ −1のような二ベクトル形式に変換します。すると、球面の方程式は次の 2 つの系に分解されます。

σ ² − τ ² + 1 = 0、 S。στ = 0 ;

そしてσとτを2つの実数ベクトルと直交ベクトルとして考えることを提案しており、

Tτ ⁼ ( Tσ2 − 1) ^1/2です。

したがって、 σ || λ （λは与えられた位置のベクトル） と仮定すると、新しい実ベクトル σ + τは二重シートの正三角形の双曲面の表面で終了することが容易に推測できます。また、一方で、τ || λと仮定すると、実ベクトルσ + τの端の軌跡は、正三角形の単葉双曲面になります。したがって、この 2 つの双曲面の研究は、このようにして、双四元数を介して球面の研究と非常に簡単に結びついています。...

この文では、S は四元数のスカラー部分を与える演算子であり、T は四元数の 「テンソル」（現在はノルムと呼ばれる）です。

球面と双曲面の統合に関する現代的な見解では、円錐断面を二次形式の一部とする考え方が用いられる。円錐面の代わりに、二次形式によって決定される点p = ( w , x , y , z ) ∈ R ⁴を持つ4 次元空間の円錐超曲面が必要となる。まず、円錐超曲面を考える。

• ${\displaystyle P=\left\{p\;:\;w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\right\}}$そして
• ${\displaystyle H_{r}=\lbrace p\ :\ w=r\rbrace ,}$これは超平面です。

すると、半径rの球面となる。一方、円錐超曲面 ${\displaystyle P\cap H_{r}}$

${\displaystyle Q=\lbrace p\ :\ w^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}\rbrace }$は双曲面であると規定します。${\displaystyle Q\cap H_{r}}$

二次形式理論において、単位準球面とは、xの二次ノルムが1となるようなx∈Xからなる二次空間Xの部分集合である。^[7]

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Wikiquoteに双曲面に関する引用があります。

ウィキメディア・コモンズには、双曲面に関連するメディアがあります。

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• Weisstein、Eric W.「双曲面」。MathWorld。
  • Weisstein, Eric W.「一枚のシートの双曲面」。MathWorld。
  • Weisstein, Eric W.「2 シート双曲面」。MathWorld。
  • Weisstein、Eric W.「楕円双曲面」。MathWorld。