エルミート・ミンコフスキーの定理

数学、特に代数的整数論において、エルミート・ミンコフスキーの定理は、任意の整数Nに対して、判別式がN以下となるような有理数体、すなわち有理数Qの有限体拡大Kは有限個しか存在しないことを述べている。この定理は、シャルル・エルミートとヘルマン・ミンコフスキーにちなんで名付けられている。

この定理は判別式の推定から導かれる。

$\displaystyle {\sqrt {|d_{K}|}}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{\frac {n}{2}}}$

ここでnは体拡大の次数であり、n !のスターリングの公式も示しています。この不等式は、 Qより厳密に大きい任意の数の体の判別式が±1 ではないことも示しており、これはQ に分岐のない拡大がないことを意味します。

ノイキルヒ、ユルゲン (1999)。代数的整数論。スプリンガー。第III.2節