解析的数論

数学において、解析的数論は整数に関する問題を解くために数学的解析の手法を用いる数論の一分野である。^{[1]解析的数論は、}ピーター・グスタフ・ルジュン・ディリクレが1837年にディリクレのL関数を導入し、等差数列に関するディリクレの定理を初めて証明したことに始まったとよく言われる。^{[1] [2]}解析的数論は、素数（素数定理やリーマンゼータ関数を含む）や加法数論（ゴールドバッハ予想やウォーリングの問題など）に関する結果でよく知られている。

解析的数論は、根本的な技術の違いというよりも、解決しようとする問題の種類によって2つの主要な部分に分けられます。^[3]

• 乗法的数論は、区間内の素数の数を推定するなど、素数の分布を扱い、素数定理や等差数列における素数に関するディリクレの定理などが含まれます。^[4]
• 加法整数論は、 2より大きいすべての偶数は2つの素数の和であるというゴールドバッハの予想のような整数の加法構造を扱っています。加法整数論の主な結果の1つは、ウォーリングの問題の解決です。^[5]

解析的整数論の多くは素数定理にヒントを得たものである。π( x ) を、任意の実数 xに対してx以下の素数の個数を与える素数計算関数とする。例えば、π(10) = 4 となるのは、10 以下の素数が 4 つ (2、3、5、7) あるからである。素数定理によれば、x / ln( x ) は π( x )の良い近似値であり、 x が無限大に近づくにつれて2 つの関数 π( x ) とx / ln( x )の商の極限は 1 になる。

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,}$

素数分布の漸近法則として知られています。

アドリアン＝マリー・ルジャンドルは1797 年か 1798 年に、π( a ) は関数a /( A ln( a ) +  B ) で近似されると予想した。ここでAとB は不特定の定数である。その後、数論に関する著書の第 2 版 (1808 年) で、A  = 1、B  ≈ −1.08366 というより正確な予想を立てた。カール・フリードリヒ・ガウスも同じ問題を検討した。「Im Jahr 1792 oder 1793」(「1792 年か 1793 年」)。ガウス自身の記憶によれば、約 60 年後のエンケ宛の手紙 (1849 年) で、対数表 (当時 15 歳か 16 歳) に「Primzahlen unter 」(「素数は 未満」) という短いメモを書いた。しかしガウスはこの予想を公表しなかった。 1838 年、ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレは、独自の近似関数である対数積分li( x ) (わずかに異なる形式の級数で、ガウスに伝えた) を考案しました。ルジャンドルの公式とディリクレの公式はどちらも、上で述べた π( x ) とx  / ln( x ) の同じ推測された漸近同値性を意味しますが、商ではなく差を考慮すると、ディリクレの近似の方がかなり優れていることが判明しました。 ${\displaystyle a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}}$${\displaystyle a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}}$

ヨハン・ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレは解析的整数論の創始者とされている^[6]。彼はこの分野でいくつかの深い結果を見出し、それを証明する際にいくつかの基本的なツールを導入した。その多くは後に彼の名にちなんで命名された。1837年に彼は等差数列に関するディリクレの定理を発表し、数学的解析概念を用いて代数問題に取り組み、解析的整数論の一分野を創った。定理を証明する際に、彼はディリクレ指標とL関数を導入した^{[6] [7]}。 1841年に彼は等差数列定理を整数からガウス整数環へと一般化した^[8]。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$

1848年と1850年の2つの論文で、ロシアの数学者パフヌティ・リヴォヴィチ・チェビシェフは素数の分布の漸近法則を証明しようとした。彼の研究は、リーマンの1859年の有名な回顧録より前のゼータ関数ζ( s )（レオンハルト・オイラーの研究と同様に、1737年には既に引数「s」の実数値について）の使用で有名であり、彼は漸近法則のやや弱い形式、すなわち、xが無限大に近づくにつれてπ( x )/( x /ln( x ))の極限が存在するならば、それは必ず1に等しいということを証明することに成功した。^{[9]彼は、この比が、すべての}xに対して1に近い2つの明示的に与えられた定数によって上下に制限されることを無条件に証明することができた。^[10]チェビシェフの論文は素数定理を証明しなかったが、π( x )に対する彼の推定値は、 n≥2の任意の整数に対してnと2nの間に素数が存在するというベルトランの公理を証明するのに十分強力であった 。

ベルンハルト・リーマンは、現代の解析的整数論にいくつかの有名な貢献をしました。彼は、1本の短い論文（彼が整数論の主題で発表した唯一の論文）で、リーマンゼータ関数を調査し、素数の分布を理解する上でのその重要性を確立しました。彼はゼータ関数の特性について一連の予想を立てましたが、その1つがよく知られているリーマン予想です。

リーマンの考えを拡張して、ジャック・アダマールとシャルル・ジャン・ド・ラ・ヴァレー＝プッサンがそれぞれ独立に素数定理の証明を2つ得て、同じ年（1896年）に発表した。どちらの証明も複素解析の手法を用いており、リーマンゼータ関数ζ( s )は、 s  = 1 +  itの形式を持ち、 t  > 0である変数sのすべての複素数値に対してゼロでないことを証明することが主なステップとなっている。 ^[12]

1950 年以降の最大の技術的変化は、特に乗法問題におけるふるい法^[13]の開発である。これらは本質的に組合せ論的であり、非常に多様である。組合せ論の極限分野は、解析的数論における定量的な上限と下限の価値に大きく影響されてきた。最近のもう 1 つの発展は確率数論^[14]であり、これは確率論の方法を使用して、数が素約数を持つ数など、数論的関数の分布を推定する。

具体的には、 Yitang Zhang、James Maynard、Terence Tao、Ben Greenによる画期的な研究は、いずれもGoldston - Pintz - Yıldırım法を用いており、彼らはこの方法を当初^{[15] [16] [17] [18] [19] [20]を証明するために使用していた。}

$${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}\geq o(\log p_{n}).}$$

解析的整数論の発展は、多くの場合、以前の手法の改良であり、誤差項を減らして適用範囲を広げるものである。例えば、ハーディとリトルウッドの円法は、複素平面上の単位円付近のべき級数に適用できると考えられていたが、現在では有限指数和（つまり、単位円上にあるが、べき級数が切り捨てられている）の観点から考えられる。ディオファントス近似が必要なのは、生成関数ではない補助関数（係数は鳩の巣原理を使用して構成される）で、複数の複素変数を含む場合である。ディオファントス近似と超越理論の分野は拡大し、その手法はモーデル予想に適用されるようになった。

解析的整数論における定理と結果は、整数に関する正確な構造的結果ではなく、代数的および幾何学的ツールの方が適している傾向があります。代わりに、次の例に示すように、さまざまな数論関数のおおよその境界と推定値を与えます。

ユークリッドは、素数が無限にあることを示した。重要な問題は、素数の漸近分布を決定すること、つまり、与えられた数より小さい素数が何個あるかを大まかに記述することである。ガウスは、他の研究者とともに、素数の大きなリストを計算した後、大きな数N以下の素数の数は、積分値に近いと推測した。

$${\displaystyle \int _{2}^{N}{\frac {1}{\log t}}\,dt.}$$

1859年、ベルンハルト・リーマンは複素解析と、現在リーマンゼータ関数として知られている特殊な有理型関数を用いて、実数 x以下の素数の個数を表す解析式を導出した。注目すべきことに、リーマンの公式の主な項はまさに上記の積分であり、ガウス予想に大きな重みを与えた。リーマンは、この式の誤差項、つまり素数の分布方法がゼータ関数の複素零点と密接に関係していることを発見した。リーマンの考えを用い、ゼータ関数の零点に関するより多くの情報を得ることで、ジャック・アダマールとシャルル・ジャン・ド・ラ・ヴァレー＝プーサンはガウス予想の証明を完成させた 。 特に、 $${\displaystyle \pi (x)=({\text{素数の個数}}\leq x),}$$$${\displaystyle \lim _{x\to \infty}{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.}$$

この注目すべき結果は、現在では素数定理として知られています。これは解析的整数論における中心的な結果です。簡単に言えば、大きな数Nが与えられた場合、 N以下の素数の数はおよそN /log( N ) であることを示しています。

より一般的には、任意の整数nに対する等差数列 a + nqの素数の個数についても同じ疑問が投げかけられます。解析的手法を数論に初めて応用した例の 1 つとして、ディリクレは、 aとq が互いに素である任意の等差数列には、無限個の素数が含まれることを証明しました。素数定理はこの問題に一般化できます。つまり 、 aとqが互いに素であれば、 とすると、 はトーティエント関数になります。 $${\displaystyle \pi (x,a,q)=({\text{等差数列 }}a+nq における素数の個数 }}\leq x{\text{,\ n\in \mathbf {Z} ),}$$$${\displaystyle \lim _{x\to \infty}{\frac {\pi (x,a,q)\phi (q)}{x/\log x}}=1,}$$${\displaystyle \phi}$

数論には、 p + 2 が素数となるような素数pが無限に存在するかどうかを問う双子素数予想など、現在の技術では証明が難しすぎると思われる、深く広範囲にわたる予想も数多くあります。エリオット-ハルバースタム予想 を前提として、最大で 12 である正の偶数kに対して p + k が素数となるような素数pが無限に存在することが最近証明されました。また、最大で 246 である正の偶数kに対してp  +  kが素数となるような素数pが無限に存在することも無条件に (つまり、証明 さ れていない予想に依存せずに) 証明されました。

加法整数論における最も重要な問題の一つは、ウォーリングの問題である。これは、任意のk ≥ 2に対して、任意の正の整数を、有限個のk 乗の和として表すことが可能かどうかを問うものである。

${\displaystyle n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell}^{k}.}$

平方の場合、k  = 2 は1770 年にラグランジュによって解決され、すべての正の整数は最大で 4 つの平方の和であることを証明しました。一般的なケースは、明確な境界を与えない代数的手法を使用して 1909 年にヒルベルトによって証明されました。重要なブレークスルーは、ハーディとリトルウッドによる解析ツールの適用でした。これらの手法は円法として知られ、関数G ( k )の明確な上限、つまり必要なk乗の最小数、たとえばヴィノグラドフの境界 を与えます。

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11).}$

ディオファントス問題は、多項式方程式の整数解に関するものです。つまり、解の分布を調べること、つまり、何らかの「サイズ」または高さの尺度に従って解を数えることが必要になります。

重要な例としては、ガウス円問題があります。これは、次の式を満たす 整数点（ x  y ）を求める問題です。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.}$

幾何学的に言えば、平面上の原点を中心とし半径rの円が与えられたとき、円上または円内に整数格子点がいくつあるかという問題です。答えが、ただしであることを証明するのは難しくありません。ここでも、誤差項E ( r ) の特定の上限を得ることが難しい部分であり、解析的整数論の大きな成果です 。${\displaystyle \pi r^{2}+E(r)}$${\displaystyle E(r)/r^{2}\to 0}$${\displaystyle r\to \infty }$

ガウスは であることを示した。一般に、単位円（または、より正確には、閉じた単位円）を、区分的に滑らかな境界を持つ任意の有界平面領域の拡大で置き換えることにより、 O ( r ) の誤差項が可能になる。さらに、単位円を単位正方形に置き換えると、一般的な問題の誤差項は rの線形関数と同じくらい大きくなる可能性がある。したがって、円の場合に に対する形式の誤差境界を得ることは、大幅な改善である。これを最初に達成したのは 1906年のシェルピンスキで、 を示した。1915 年、ハーディとランダウはそれぞれ が存在しないことを示しました。それ以来、目標は、 を固定したそれぞれに対してとなる実数が存在することを示すことになりました。 ${\displaystyle E(r)=O(r)}$${\displaystyle O(r^{\delta })}$${\displaystyle \delta <1}$${\displaystyle E(r)=O(r^{2/3})}$${\displaystyle E(r)=O(r^{1/2})}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle C(\epsilon )}$${\displaystyle E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }}$

2000年にハクスリーは^[21]であることを示しましたが、これはこれまで発表された結果の中で最も優れたものでした。 ${\displaystyle E(r)=O(r^{131/208})}$

乗法的整数論で最も有用なツールの1つは、ディリクレ級数である。これは、次の形式の無限級数によって定義される複素変数の関数である。

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}.}$

係数の選択に応じて、この級数はどこでも収束するか、どこにも収束しないか、あるいは半平面上で収束する。多くの場合、級数がどこでも収束しない場合でも、それが定義する正則関数は、複素平面全体上の有理型関数に解析的に接続できる。このような関数が乗法問題で有用であることは、形式的な恒等式に見られる。 ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s};}$

したがって、2 つのディリクレ級数の積の係数は、元の係数の乗法畳み込みです。さらに、部分和やタウバー定理などの手法を使用して、ディリクレ級数の解析情報から係数に関する情報を取得できます。したがって、乗法関数を推定する一般的な方法は、それをディリクレ級数 (または畳み込み恒等式を使用したより単純なディリクレ級数の積) として表現し、この級数を複素関数として調べ、この解析情報を元の関数に関する情報に変換することです。

オイラーは、算術の基本定理が（少なくとも形式的には）オイラー積を意味することを示した。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}{\text{ for }}s>1}$

ここで、積はすべての素数pに対して取られます。

オイラーの素数の無限大の証明は、s = 1のときの左辺の項の発散（いわゆる調和級数）を利用しており、これは純粋に解析的な結果である。オイラーはまた、整数の性質を研究する目的で解析的な議論を初めて使用し、具体的には生成冪級数を構築した。これが解析的数論の始まりであった。^[20]

その後、リーマンはsの複素数値についてこの関数を検討し、この関数がs = 1に単純な極を持つ平面全体の有理型関数に拡張できることを示しました。この関数は現在リーマンゼータ関数として知られており、 ζ ( s ) と表記されます。この関数に関する文献は多数あり、この関数はより一般的なディリクレ L 関数の特殊なケースです。

解析的整数論者は、素数定理などの近似値の誤差に関心を持つことが多い。この場合、誤差はx /log  xよりも小さい。π( x )のリーマンの公式は、この近似値の誤差項がゼータ関数の零点によって表現できることを示している。1859年の論文で、リーマンは ζ の「非自明な」零点はすべて直線上にあると予想したが、この主張の証明は示さなかった。この有名で長年信じられてきた予想はリーマン予想として知られ、数論において多くの深い意味を持っている。実際、この予想が正しいという仮定の下では、多くの重要な定理が証明されている。たとえば、リーマン予想の仮定の下では、素数定理の誤差項は である。${\displaystyle \Re (s)=1/2}$${\displaystyle O(x^{1/2+\varepsilon })}$

20世紀初頭、GHハーディとリトルウッドはリーマン予想を証明しようとしてゼータ関数に関する多くの結果を証明した。実際、1914年にハーディは臨界線上にゼータ関数の零点が無限に存在することを証明した。

${\displaystyle \Re (z)=1/2.}$

これにより、臨界線上のゼロの密度を記述するいくつかの定理が生まれました。

• 保型L関数
• 保型形式
• ラングランズ計画
• マイヤーの行列法

• アポストル、トム・M. (1976)、解析的数論入門、数学の学部テキスト、ニューヨーク-ハイデルベルグ：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90163-3、MR  0434929、Zbl  0335.10001
• ピーター・ボーウェイン、スティーブン・チョイ、ブレンダン・ルーニー、アンドレア・ヴァイラトミュラー編 (2008)、リーマン予想：愛好家と名人のためのリソース、CMS Books in Mathematics、ニューヨーク：シュプリンガー、doi :10.1007/978-0-387-72126-2、ISBN 978-0-387-72125-5
• ダベンポート、ハロルド（2000）、乗法数論、Graduate Texts in Mathematics、第74巻（第3改訂版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-95097-6、MR  1790423
• エドワーズ、HM（1974）、リーマンのゼータ関数、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-41740-0、MR  0466039
• テネンバウム、ジェラルド（1995）、解析的および確率的数論入門、ケンブリッジ高等数学研究、第46巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-41261-7

• アユーブ『解析的数論入門』
• HL モンゴメリと RC ヴォーン、乗法数論 I  :古典理論
• H. Iwaniec と E. Kowalski、「解析的数論」。
• DJ ニューマン、解析的数論、Springer、1998 年

専門的な面では、以下の書籍が特に有名になりました。

• ティッチマーシュ、エドワード・チャールズ（1986年）『リーマンゼータ関数の理論』（第2版）、オックスフォード大学出版局
• H. ハルバースタムと HE リチャート、ふるい法
• RC Vaughan, The Hardy–Littlewood method、第2版。

いくつかのトピックはまだ書籍として深く取り上げられていません。例としては、(i)モンゴメリのペア相関予想とそこから始まった研究、(ii)素数間の小さなギャップに関するゴールドストン、ピンツ、イリドリムの新しい結果、(iii)任意の長さの素数の等差数列が存在することを示すグリーン・タオの定理などがあります。