準同次多項式

代数学では、多変数多項式

${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }x^{\alpha }{\text{, ただし }}\alpha =(i_{1},\dots ,i_{r})\in \mathbb {N} ^{r}{\text{, }}x^{\alpha }=x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{r}^{i_{r}},}$

変数の重みと呼ばれるr個の整数が存在し、その合計がfのすべての非ゼロ項に対して同じである場合、多項式は準同次または重み付き同次です。この合計w は多項式の 重みまたは次数です。${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{r}}$${\displaystyle w=w_{1}i_{1}+\cdots +w_{r}i_{r}}$

準同次という用語は、多項式fが準同次であるためには、

${\displaystyle f(\lambda ^{w_{1}}x_{1},\ldots ,\lambda ^{w_{r}}x_{r})=\lambda ^{w}f(x_{1},\ldots ,x_{r})}$

係数を含む 任意のフィールドのすべてに対して。${\displaystyle \lambda}$

多項式が重み付き準同次多項式となるのは、 ${\displaystyle f(x_{1},\ldots,x_{n})}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{r}}$

${\displaystyle f(y_{1}^{w_{1}},\ldots ,y_{n}^{w_{n}})}$

は、における同次多項式です。特に、同次多項式は常に準同次であり、すべての重みは 1 に等しくなります。 ${\displaystyle y_{i}}$

多項式が準同次多項式となるのは、すべての多項式が同じアフィン超平面に属する場合のみです。多項式のニュートン多面体は集合の凸包であるため、準同次多項式は退化したニュートン多面体を持つ多項式として定義することもできます (ここで「退化」とは「何らかのアフィン超平面に含まれる」という意味です)。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \{\alpha \mid a_{\alpha }\neq 0\},}$

多項式は同次ではない。しかし、 を考える代わりに、 のペアを使って同次性をテストすると、 ${\displaystyle f(x,y)=5x^{3}y^{3}+xy^{9}-2y^{12}}$${\displaystyle f(\lambda x,\lambda y)}$${\displaystyle (\lambda ^{3},\lambda )}$

${\displaystyle f(\lambda ^{3}x,\lambda y)=5(\lambda ^{3}x)^{3}(\lambda y)^{3}+(\lambda ^{3}x)(\lambda y)^{9}-2(\lambda y)^{12}=\lambda ^{12}f(x,y).}$

は(3,1)型の準同次多項式であると言えます。これは、その 3 つの指数ペア( i ₁、i ₂ ) (3,3)、(1,9)、(0,12)がすべて線形方程式 を満たすからです。特に、これは のニュートン多面体が、の内部に方程式 を含むアフィン空間にあることを示しています。 ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle 3i_{1}+1i_{2}=12}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle 3x+y=12}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

上記の式は、この新しい式と同等です。一部の著者^[1]は、この最後の条件を使用することを好み、この多項式は型の準同次であると述べることを好みます。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}x+{\tfrac {1}{12}}y=1}$${\displaystyle ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{12}})}$

上で述べたように、次数dの同次多項式は、単に(1,1)型の準同次多項式です。この場合、その指数のペアはすべて、式 を満たします。 ${\displaystyle g(x,y)}$${\displaystyle 1i_{1}+1i_{2}=d}$

を可換環Rの係数を持つr変数の多項式とする。これを有限和として表す。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x=x_{1}\ldots x_{r}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{r}}a_{\alpha }x^{\alpha },\alpha =(i_{1},\ldots ,i_{r}),a_{\alpha }\in \mathbb {R} .}$

となるような ものが存在するとき、f は型の準同次で あるといえます。${\displaystyle \varphi =(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{r})}$${\displaystyle \varphi _{i}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \langle \alpha ,\varphi \rangle =\sum _{k}^{r}i_{k}\varphi _{k}=a}$

いつでも。 ${\displaystyle a_{\alpha }\neq 0}$