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天文学、地理学、および関連科学では、ある点を通過する線または平面が、その点における局所重力の方向を含んでいる場合、垂直であると言われます。 [ 1 ] 逆に、線または平面が、ある点における垂直方向と垂直である場合、水平（または水平）であると言われます。拡張して、この概念は、線分、平面領域、ベクトル、方向など、線または平面に含まれる有限のオブジェクトに適用されます。
表面が水平であるとは、その接平面が接点における重力ベクトルに常に垂直である場合、または同等に、表面の法線ベクトルが常に重力に平行である場合（等地電位面の場合など）を指します。
より一般的に言えば、垂直なものは「上」から「下」（または「下」から上）に描くことができ、例えばデカルト座標系のy軸などがこれに該当します。
「水平」という言葉は、ラテン語のhorizonに由来し、これはギリシャ語のὁρῐ́ζωνに由来し、「分離する」または「境界を示す」という意味です。[ 2 ]「垂直」という言葉は、後期ラテン語のverticalisに由来し、これはvertexと同じ語根から来ており、「最高点」またはより文字通りには「渦潮などの転換点」を意味します。[ 3 ]
ジラール・デザルグは、 1636年に出版した著書『遠近法』の中で、垂直線を地平線に垂直なものと定義した。
物理学、工学、建築の分野では、垂直方向とは通常、下げ振りが吊り下げられる方向を指します。あるいは、気泡の浮力と垂直に上昇する性質を利用した水準器を用いて水平度を検査することもできます。水位計も水平度を確認するために使用できます。
自動水平調整が可能な最新の回転式レーザーレベルは、堅牢で高度な機器であり、同じ基本原理に基づいて動作します。[ 4 ] [ 5 ]
地球の曲率を考慮に入れると、垂直と水平の概念はさらに別の意味を持つようになる。滑らかな球形で均質な、自転しない惑星の表面では、下げ振りは放射状の方向を垂直として示す。厳密に言えば、垂直な壁が平行になることはもはや不可能であり、すべての垂直線は交差する。この事実は、建設や土木工学において実際に応用されており、例えば、吊り橋の塔の頂上は底部よりも離れている。 [ 6 ]
また、水平面は、地球表面上の離れた点に接する平面である場合に交差することがあります。特に、赤道上の点に接する平面は、北極に接する平面と直角に交わります（図を参照）。さらに、赤道面は北極における接平面と平行であるため、水平面であると言えます。しかし同時に、赤道面は赤道上の点に対しては垂直面でもあります。この意味で、平面は、ある場所では水平で、別の場所では垂直であるなど、水平と垂直の両方の性質を持つと言えるでしょう。
自転する地球の場合、鉛直線は緯度に応じて半径方向からずれます。[ 7 ]鉛直線が局所半径と一致するのは、赤道と北極と南極のみです。実際には、地球は均質で滑らかな球体ではないため、状況はさらに複雑です。地球は不均質で球形でもなく、でこぼこした運動する惑星であり、鉛直線は半径方向に沿っている必要はなく、湾曲していて時間とともに変化することもあります。より小さなスケールでは、片側の山が鉛直線を真の天頂からずらすことがあります。[ 8 ]
より大きなスケールで見ると、地球の重力場は、地球の近くでは少なくともほぼ放射状であるが、より高い高度で月の影響を受けると放射状ではなくなる。[ 9 ] [ 10 ]
地球の曲率を無視すれば、重力下で運動する投射体の水平方向と垂直方向の運動は互いに独立している。[ 11 ]投射体の垂直方向の変位は発射速度の水平成分の影響を受けず、逆に水平方向の変位は垂直成分の影響を受けない。この概念は少なくともガリレオの時代まで遡る。[ 12 ]
地球の曲率を考慮に入れると、2 つの運動の独立性は成り立たない。例えば、水平方向（つまり、垂直成分がゼロ）に発射された発射体でさえ、球状の地球の表面を離れ、実際には完全に脱出する可能性がある。[ 13 ]
ユークリッド平面上の1次元直交デカルト座標系において、線が水平か垂直かを判断するには、まず最初に方向を指定する必要がある。まず、垂直方向（通常はY方向と呼ばれる）を指定する。[ 14 ]すると、水平方向（通常はX方向と呼ばれる）[ 15 ]が自動的に決定される。あるいは、逆の方法で、つまりx軸を指定すると、 y軸が自動的に決定される。最初の指定として水平方向を垂直方向よりも優先する特別な理由はない。この点では、2つの方向は同等である。
2次元の場合、以下のことが成り立つ。
これらの基本的な幾何学的事実のすべてが、3次元空間において当てはまるわけではない。
3次元の場合、水平線と垂直線に加えて水平面と垂直面が存在するため、状況はより複雑になります。点Pを考え、Pを通る方向を垂直とします。Pを含み、指定された方向に対して垂直な平面が、 Pにおける水平面です。Pを通り、水平面に対して垂直な平面は、 Pにおける垂直面です。任意の点Pを通る水平面はただ1つですが、垂直面は複数存在します。これは3次元で新たに現れる特徴です。2次元の場合に存在する対称性はもはや成り立ちません。
既に述べたように、2次元の場合、垂直方向の通常の指定は座標幾何学におけるy軸と一致します。この慣習は教室で混乱を招く可能性があります。教師はホワイトボードなどに書き込む際に、 y軸は鉛直線の垂直性という意味で確かに垂直ですが、生徒にとっては軸は水平なテーブル上にあるように見えるかもしれません。
「水平」という言葉は日常生活や言語でよく使われますが（下記参照）、多くの誤解を生んでいます。
一般的に、あるいは実際には、水平方向のものは、デカルト座標系のx軸のように、左から右（または右から左）に描くことができます。
水平面という概念は決して単純なものではないが、実際には、これらの影響や変化のほとんどはかなり小さい。それらは測定可能であり、非常に高い精度で予測できるものの、私たちの日常生活に大きな影響を与えることはないかもしれない。
概念の見かけ上の単純さと、それを科学的に定義（および測定）する際の実際の複雑さとの間のこの二分法は、日常生活で関連する典型的な線形スケールと次元が地球の大きさよりも3桁（またはそれ以上）小さいという事実から生じます。したがって、世界は局所的に平坦に見え、近くの場所の水平面は平行に見えます。しかし、このような記述は近似値であり、特定の文脈やアプリケーションで許容されるかどうかは、特に精度に関して、適用される要件に依存します。長方形の紙上の描画や製図、座標幾何学などのグラフィックの文脈では、紙全体が平らな水平（または傾斜した）テーブルの上に置かれている場合でも、紙の寸法の1つを水平に関連付けることが非常に一般的です。この場合、水平方向は通常、紙の左端から右端です。これは純粋に慣習的なものであり（現実で見られる自然の風景を描く際には、ある意味「自然」なものではあるが）、特に教育の場では誤解や誤った認識につながる可能性がある。