マルコフ定理

数学において、マルコフの定理は、 2 つの組紐が結び目またはリンクとして同等の閉包を持つための必要十分条件を示します。この条件は、組紐上の群構造の観点から述べられます。

組紐は図で記述される代数的対象であり、位相との関係は、 3次元ユークリッド空間におけるすべての結び目またはリンクは組紐の閉包であると述べるアレクサンダーの定理によって与えられます。ロシアの数学者アンドレイ・アンドレーヴィチ・マルコフ・ジュニア^[1]によって証明されたマルコフの定理は、その閉包の同値性によって与えられる組紐上の同値関係を生成する基本的な動きを記述します。

より正確には、マルコフの定理は次のように述べることができる。^{[2] [3]}組紐群の要素によって表される2つの組紐が与えられたとき、それらの閉包が同値リンクであるためには、次の一連の操作 を適用することによって次の式が得られる必要がある。${\displaystyle \beta _{n},\beta _{m}'}$${\displaystyle B_{n},B_{m}}$${\displaystyle \beta _{m}'}$${\displaystyle \beta _{n}}$

1. の活用形;${\displaystyle \beta _{n}}$${\displaystyle B_{n}}$
2. を次のように置き換えます（ここには編組群の標準的な生成元があります。幾何学的には、これは編組図の右側にストランドを追加し、それを（以前の）最後のストランドと 1 回ねじることに相当します）。${\displaystyle \beta _{n}}$${\displaystyle \beta _{n}\sigma _{n+1}^{\pm 1}\in B_{n+1}}$${\displaystyle \sigma_{i}}$
3. 前の操作の逆 (の場合はに置き換えます)。${\displaystyle \beta _{n}=\beta _{n-1}\sigma _{n}^{\pm 1}}$${\displaystyle \beta _{n-1}\in B_{n-1}}$${\displaystyle \beta _{n-1}}$