ザイフェルトファイバー空間

ザイフェルトファイバー空間は、円の互いに素な和集合としての分解を伴う3 次元多様体です。言い換えると、2 次元オービフォールド上の-バンドル (円バンドル) です。多くの 3 次元多様体はザイフェルトファイバー空間であり、幾何化予想の8 つのサーストン幾何学のうち 6 つにおけるすべてのコンパクトな有向多様体を説明します。 ${\displaystyle S^{1}}$

ザイフェルト多様体は、各ファイバーが標準的なファイバー トーラスを形成する管状の近傍を持つように、円の互いに交わらない和集合 (ファイバーと呼ばれる) に分解された閉じた 3 次元多様体です。

互いに素な整数のペアに対応する標準的なファイバー付きトーラスは 、角度 の回転によって与えられるディスクの自己同型の表面バンドルです(自然なファイバー化は円で行われます)。中間のファイバーは通常 と呼ばれ、中間のファイバーは例外 と呼ばれます。コンパクトなザイフェルト ファイバー空間には、例外的なファイバーが有限個しかありません。 ${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle 2\pi b/a}$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle a>1}$

ファイバーの集合は、Bで表され、ファイバーの基底 (軌道面とも呼ばれる) と呼ばれる2 次元のオービフォールドを形成します。基底には 2 次元面がありますが、例外的なファイバーに対応する 特別なオービフォールド点がいくつかある場合があります。${\displaystyle B_{0}}$

ザイフェルト ファイバの定義は、いくつかの方法で一般化できます。ザイフェルト多様体は、境界を持つことが許されることがよくあります (円によってファイバ化されるため、トーラスの和集合になります)。非有向多様体を研究する場合、ファイバが円板の反射 (回転ではなく) の表面バンドルのように見える近傍を持つことを許可すると便利な場合があります。これにより、一部のファイバはファイバ化されたクラインの瓶のように見える近傍を持ち、その場合、例外的な曲線の 1 パラメータ ファミリが存在する可能性があります。どちらの場合も、ファイバ化の基底B は通常、空でない境界を持ちます。

ヘルベルト・ザイフェルトは、すべての閉じたザイフェルトファイバを以下の不変量に​​基づいて分類した。ザイフェルト多様体は記号で表わされる。

${\displaystyle \{b,(\varepsilon ,g);(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{r},b_{r})\}\,}$

ここで、 は 6 つの記号のうちの 1 つです: 、(または Seifert の元の表記法では Oo、No、NnI、On、NnII、NnIII) 意味: ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle o_{1},o_{2},n_{1},n_{2},n_{3},n_{4}\,}$

• ${\displaystyle o_{1}}$Bが有向可能で、Mが有向可能である場合。
• ${\displaystyle o_{2}}$Bが有向可能で、 Mが有向可能でない場合。
• ${\displaystyle n_{1}}$Bが方向付け可能でなく、M も方向付け可能でなく、すべてのジェネレータがファイバーの方向を保持する場合。${\displaystyle \pi _{1}(B)}$
• ${\displaystyle n_{2}}$Bが方向付け可能でなく、Mが方向付け可能な場合、ファイバーの方向付けを逆にするすべてのジェネレーター。${\displaystyle \pi _{1}(B)}$
• ${\displaystyle n_{3}}$B が方向付け可能でなく、M が方向付け可能でなく、ファイバーの方向を保持するジェネレータが 1 つだけある場合。${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle \pi _{1}(B)}$
• ${\displaystyle n_{4}}$B が方向付け可能でなく、M が方向付け可能でなく、ファイバーの方向を保持するジェネレータが 2 つだけある場合。${\displaystyle g\geq 3}$${\displaystyle \pi _{1}(B)}$

ここ

• g は軌道面の基礎となる 2 次元多様体の種数です。
• bは整数で、Mが有向でない場合は 0 または 1 に正規化され、さらに一部が 2 の場合は 0 に正規化されます。${\displaystyle a_{i}}$
• ${\displaystyle (a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{r},b_{r})}$r 個の例外軌道のそれぞれのタイプを決定する数値のペアです。これらは、 Mが有向可能な場合は、Mが有向不可能な場合はとなるように正規化されています。${\displaystyle 0<b_{i}$${\displaystyle 0<b_{i}\leq a_{i}/2}$

記号のザイフェルト繊維化

${\displaystyle \{b,(\epsilon ,g);(a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{r},b_{r})\}}$

シンボルから構築できる

${\displaystyle \{0,(\epsilon ,g);\}}$

手術により、b型および型の繊維を追加します。 ${\displaystyle b_{i}/a_{i}}$

正規化条件を削除すると、シンボルは次のように変更できます。

• と の両方の符号を変更しても効果はありません。${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$
• bに 1 を加えてから減算しても効果はありません。(言い換えると、合計が一定であれば、各有理数に整数を加算することができます。)${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle (b,b_{1}/a_{1},\ldots ,b_{r}/a_{r}}$
• 多様体が向き付け可能でない場合、 の符号を変更しても効果はありません。${\displaystyle b_{i}}$
• (1,0) 型のファイバーを追加しても効果はありません。これらの操作では、すべてのシンボルは一意の正規化されたシンボルと同等です。正規化されていないシンボルを使用する場合、型のファイバーを追加することで整数b をゼロに設定できます。${\displaystyle (1,b)}$

2 つの閉じたザイフェルトの有向または無向ファイバが有向または無向ファイバとして同型となるのは、それらが同じ正規化記号を持つ場合のみです。ただし、2 つのザイフェルト多様体は、正規化記号が異なっていても同相となる場合があります。これは、いくつかの多様体 (レンズ空間など) が 1 種類以上のザイフェルトファイバを持つことができるためです。また、向きを変えた有向ファイバは、そのシンボルのすべてのbの符号を変えたザイフェルトファイバになり、正規化後にシンボル

${\displaystyle \{-br,(\epsilon ,g);(a_{1},a_{1}-b_{1}),\ldots ,(a_{r},a_{r}-b_{r})\}}$

そして、これは無向多様体としてこれに同相である。

和は有向ファイバの不変量であり、 Bの有限被覆を取った後にファイバが自明になる場合にのみゼロになります。 ${\displaystyle b+\sum b_{i}/a_{i}}$

オービフォールドBのオービフォールドオイラー特性 は次のように与えられる。 ${\displaystyle \chi (B)}$

${\displaystyle \chi (B)=\chi (B_{0})-\sum (1-1/a_{i})}$、

ここで、 はオービフォールドBの基礎となる位相面の通常のオイラー特性です。 Mの挙動は、Bのオービフォールド オイラー特性の符号に大きく依存します。 ${\displaystyle \chi (B_{0})}$${\displaystyle B_{0}}$

Mの基本群は、次の数列に正確に当てはまる。

${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})\rightarrow \pi _{1}(M)\rightarrow \pi _{1}(B)\rightarrow 1}$

ここで、 はBのオービフォールド基本群です（これは基礎となる位相多様体の基本群と同じではありません）。 群の像は巡回的かつ正規で、任意の正則ファイバーによって表される元hによって生成されますが、 π ₁ ( S ¹ ) から π ₁ ( M ) への写像は常に単射であるとは限りません。 ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$

Mの基本群は、生成元と関係によって 次のように表現されます。

B方向付け可能:

${\displaystyle \langle u_{1},v_{1},...u_{g},v_{g},q_{1},...q_{r},h|u_{i}h=h^{\epsilon }u_{i},v_{i}h=h^{\epsilon }v_{i},q_{i}h=hq_{i},q_{j}^{a_{j}}h^{b_{j}}=1,q_{1}...q_{r}[u_{1},v_{1}]...[u_{g},v_{g}]=h^{b}\rangle }$

ここで、 ε はo ₁型の場合は 1 、o ₂型の場合は −1 です。

B非方向性:

${\displaystyle \langle v_{1},...,v_{g},q_{1},...q_{r},h|v_{i}h=h^{\epsilon _{i}}v_{i},q_{i}h=hq_{i},q_{j}^{a_{j}}h^{b_{j}}=1,q_{1}...q_{r}v_{1}^{2}...v_{g}^{2}=h^{b}\rangle }$

ここで、 ε _{i は}、対応するジェネレータv _{i が}ファイバーの方向を維持するか反転するかに応じて 1 または −1 になります。(したがって、 ε _{i は}、タイプn ₁の場合はすべて 1 、タイプn ₂の場合はすべて −1 、タイプn _{3 の}場合は最初の 1 つだけが 1 、タイプn ₄の場合は最初の 2 つだけが 1 になります。)

正のオービフォールド オイラー特性を持つザイフェルト ファイバの正規化されたシンボルは、以下のリストに示されています。これらのザイフェルト多様体は、多くの場合、多くの異なるザイフェルト ファイバを持ちます。基本群が有限の場合は球面サーストン幾何学を持ち、基本群が無限の場合はS ² × Rサーストン幾何学を持ちます。同様に、多様体が非方向性の場合、またはb + Σ b _i / a _i = 0 の場合は幾何学はS ² × Rであり、それ以外の場合は球面幾何学です。

{ b ; ( o ₁ , 0 );} ( b積分) は、 b =0の場合S ² × S ^{1であり、それ以外の場合は}レンズ空間L ( b ,1 ) です。特に、{1; ( o ₁ , 0 );} = L (1,1) は 3 次元球面です。

{ b ; ( o ₁ , 0 );( a ₁ , b ₁ )} ( b積分)はレンズ空間L ( ba ₁ + b ₁ , a ₁ ) です。

{ b ; ( o ₁ , 0 );( a ₁ , b ₁ ), ( a ₂ , b ₂ )} ( b積分)は、 ba ₁ a ₂ + a ₁ b ₂ + a ₂ b ₁ = 0の場合S ² × S ¹ です。それ以外の場合は、レンズ空間L ( ba ₁ a ₂ + a ₁ b ₂ + a ₂ b ₁ , ma ₂ + nb ₂ ) です。ただし、ma ₁ − n ( ba ₁ + b ₁ ) = 1 です。

{ b ; ( o ₁ , 0 );(2, 1), (2, 1), ( a ₃ , b ₃ )} ( b積分) これは、基本群の位数が 4 a ₃ |( b +1) a ₃ + b ₃ | で、第 1ホモロジー群の位数が 4|( b +1) a ₃ + b ₃ | であるプリズム多様体です。

{ b ; ( o ₁ , 0 );(2, 1), (3, b ₂ ), (3, b ₃ )} ( b積分) 基本群は、巡回群による 12 次四面体群の中心拡張です。

{ b ; ( o ₁ , 0 );(2, 1), (3, b ₂ ), (4, b ₃ )} ( b積分) 基本群は、位数 |12 b +6+4 b ₂ + 3 b ₃ | の巡回群と位数 24 の八面体群の位数 48 の二重被覆との積である。

{ b ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, b ₂ ), (5, b ₃ )} ( b積分) 基本群は、位数m =|30 b +15+10 b ₂ +6 b ₃ | の巡回群と位数 120 の二十面体群の完全二重被覆との積である。多様体は、位数mの巡回群によるポアンカレホモロジー球面の商である。特に、{−1; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, 1), (5, 1)} はポアンカレ球面である。

{ b ; ( n ₁ , 1);} ( bは 0 または 1 です。)これらは、 S ² × Rジオメトリ を持つ向き付け不可能な 3 次元多様体です。bが偶数の場合、これは射影平面と円の積に同相であり、そうでない場合は、2 次元球面の向きを反転する自己同型に関連付けられた表面バンドルに同相です。

{ b ; ( n ₁ , 1);( a ₁ , b ₁ )} ( bは 0 または 1) 。これらはS ² × R幾何学 の向き付け不可能な 3 次元多様体です。ba ₁ + b _1が偶数の場合、これは射影平面と円の積に同相であり、そうでない場合は 2 次元球面の向きを反転する自己同型に関連付けられた曲面バンドルに同相です。

{ b ; ( n ₂ , 1);} ( b積分) これは、基本群が 4 のプリズム多様体です | b |実射影空間の 2 つのコピーの合計である場合はb =0、基本群が 4 のレンズ空間である場合は | b |=1 ですが、それ以外の場合は、基本群が 4 のプリズム多様体です。

{ b ; ( n ₂ , 1);( a ₁ , b ₁ )} ( b積分) これは、基本群の位数が 4 a ₁ | ba ₁ + b ₁ | で、第 1 ホモロジー群の位数が 4 a ₁である (唯一の) プリズム多様体です。

ゼロのオービフォールドオイラー特性を持つザイファートファイバーの正規化された記号を以下のリストに示します。多様体は、 向き付け不可能であるか、b + Σ b _i / a _i = 0 の場合、ユークリッドサーストン幾何学を持ち、それ以外の場合はゼロ幾何学を持ちます。同様に、多様体は、その基本群が有限指数のアーベル群を持つ場合のみ、ユークリッド幾何学を持ちます。ユークリッド多様体は 10 個ありますが、そのうち 4 つには 2 つの異なるザイファートファイバーがあります。トレース 2、1、0、-1、または -2 の 2 次元トーラスの自己同型に関連付けられたすべての表面バンドルは、ゼロのオービフォールドオイラー特性を持つザイファートファイバーです (他の (アノソフ) 自己同型のものはザイファートファイバー空間ではありませんが、ソル幾何学を持ちます)。ゼロ幾何学を持つ多様体はすべて一意のザイファートファイバーを持ち、基本群によって特徴付けられます。全体の空間はすべて非循環です。

{ b ; ( o ₁ , 0); (3, b ₁ ), (3, b ₂ ), (3, b ₃ )} ( b積分、b _iは 1 または 2) b + Σ b _i / a _i = 0 の場合、これは円上の向き付けられたユークリッド 2 次元トーラス束であり、2 次元トーラスの 3 次 (トレース -1) 回転に関連付けられた表面束です。

{ b ; ( o ₁ , 0 ); (2,1), (4, b ₂ ), (4, b ₃ )} ( b積分、b _iは 1 または 3) b + Σ b _i / a _i = 0 の場合、これは円上の向き付けられたユークリッド 2 次元トーラス束であり、2 次元トーラスの次数 4 (トレース 0) の回転に関連付けられた表面束です。

{ b ; ( o ₁ , 0); (2, 1), (3, b ₂ ), (6, b ₃ )} ( b積分、b ₂は 1 または 2、b ₃は 1 または 5) b + Σ b _i / a _i = 0 の場合、これは円上の向き付けられたユークリッド 2 次元トーラス束であり、2 次元トーラスの 6 次 (トレース 1) 回転に関連付けられた表面束です。

{ b ; ( o ₁ , 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)} ( b積分) これらは、2-トーラスのトレースの-2自己同型に対する向き付けられた2-トーラスバンドルです。b =-2 の場合、これは円上の向き付けられたユークリッド2-トーラスバンドル（2-トーラスの順序2回転に関連付けられた表面バンドル）であり、{0; ( n ₂ , 2);} に同相です。

{ b ; ( o ₁ , 1); } ( b積分) これは円上の有向 2 トーラス束で、2 トーラスのトレース 2 自己同型に関連付けられた表面束として与えられます。b =0 の場合、これはユークリッドであり、3 トーラス (2 トーラスの恒等写像に関連付けられた表面束) です。

{ b ; ( o ₂ , 1); } ( bは 0 または 1)円周上の 2 つの向き付け不可能なユークリッドクラインの壺束。最初のホモロジーは、 b =0の場合はZ + Z + Z /2 Zで、b =1の場合はZ + Zです。1 つ目はクラインの壺のS ^{1倍で、もう 1 つは}クラインの壺のデーン ツイストに関連付けられた表面バンドルです。これらは、トーラス バンドル { b ; ( n ₁ , 2);} に同相です。

{0; ( n ₁ , 1); (2, 1), (2, 1)}   非向き付けユークリッドクラインの瓶束 {1; ( n ₃ , 2);} に同相で、第1ホモロジーはZ + Z /4 Zです。

{ b ; ( n ₁ , 2); } ( bは 0 または 1) これらは、固定点のない 2 次元トーラスの向きを反転する 2 次自己同型に関連付けられた、向き付け不可能なユークリッド面バンドルです。最初のホモロジーは、b =0の場合はZ + Z + Z /2 Zで、b =1の場合はZ + Zです。これらは、クラインの瓶バンドル { b ; ( o ₂ , 1);}に同相です。

{ b ; ( n ₂ , 1); (2, 1), (2, 1)} ( b積分) b =−1 の場合、これはユークリッド積分である。

{ b ; ( n ₂ , 2); } ( b積分) b =0 の場合、これは 2 次元トーラスの 2 次回転に関連付けられた円上の 2 次元トーラス束 {−2; ( o ₁ , 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)} に同相な有向ユークリッド多様体です。

{ b ; ( n ₃ , 2); } ( bは 0 または 1) 他の 2 つの向き付け不可能なユークリッド クラインの瓶バンドル。b = 1 のものは、{0; ( n ₁ , 1); (2, 1), (2, 1)}に同相です。 最初のホモロジーは、 b =0 の場合はZ + Z /2 Z + Z /2 Zで、b =1の場合はZ + Z /4 Zです。 これら 2 つのクラインの瓶バンドルは、y 位相同相と、これとツイストの積 に関連付けられた表面バンドルです。

これは一般的なケースです。このようなすべての Seifert ファイバは、その基本群によって同型性まで決定されます。全空間は非球面です (言い換えると、すべての高次のホモトピー群は消えます)。有限被覆が積として分割されない限り、それらはSL ₂ ( R )の普遍被覆型のサーストン幾何学を持ちます。有限被覆が積として分割される場合は、それらはH ₂ × R型のサーストン幾何学を持ちます。これは、多様体が非方向性であるか、b + Σ b _i / a _i = 0 の場合に発生します。

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