編み込みベクトル空間

数学において、編組ベクトル空間は、2 つのベクトルテンソルのコピーの交換を表す追加の構造マップを備えたベクトル空間です。 ${\displaystyle \;V}$${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \tau :\;V\otimes V\longrightarrow V\otimes V}$

ヤン・バクスター方程式が満たされるようにテンソル図を描く。したがって、交差を持つテンソル図を描くと、対応する合成射はライデマイスター移動をテンソル図に適用しても変化せず、したがってそれらは組紐群の表現を表す。 ${\displaystyle \tau}$

最初の例として、すべてのベクトル空間は、単純な編組（単に反転する）^{[説明が必要]}によって編組されます。超空間は、 2つの奇数ベクトルを編組する際に負の符号を持つ編組を持ちます。より一般的には、対角編組は、 -基底に対して次の式が成り立つ ことを意味します。${\displaystyle V}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle \tau (x_{i}\otimes x_{j})=q_{ij}(x_{j}\otimes x_{i})}$

編組ベクトル空間、任意のオブジェクト間の編組を含む編組モノイドカテゴリ全体、特に準三角ホップ代数上のモジュールと有限群上のイェッター・ドリンフェルトモジュール（上記のような） の優れた情報源${\displaystyle \tau_{V,W}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

さらに、 が編組カテゴリ内に代数構造を持つ場合(「編組代数」)、編組交換子(たとえば、超空間の場合は反交換子) を持ちます。 ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \;[x,y]_{\tau }:=\mu ((x\otimes y)-\tau (x\otimes y))\qquad \mu (x\otimes y):=xy}$

このような編み込み代数（さらにはホップ代数）の例には、ニコルス代数があります。ニコルス代数は、定義により、与えられた編み込みベクトル空間によって生成されます。ニコルス代数は量子群の量子ボレル部分として現れ、多くの場合（有限またはアーベル群上の場合など） 、半単純リー代数の場合と同様に、算術ルート系、多重ディンキン図、および編み込み交換子で構成されるPBW 基底を持ちます。

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