リンク（結び目理論）

球面の任意の部分多様体を表す際に、しばしば「リンク」という言葉が用いられる。${\displaystyle S^{n}}$有限個の球の非交和に微分同相である、${\displaystyle S^{j}}$。

一般的に言えば、 「リンク」という言葉は「結び目」という言葉と本質的に同じ意味です。文脈としては、多様体Nの部分多様体M (自明に埋め込まれているとみなされる) と、 MのNへの非自明な埋め込み(非自明とは、2 番目の埋め込みが最初の埋め込みと同位ではないという意味) があります。Mが非連結の場合、その埋め込みはリンク (または連結されている)と呼ばれます。Mが連結の場合、それは結び目と呼ばれます。

（1次元の）リンクは円の埋め込みとして定義されますが、編み紐理論のように、埋め込まれた区間（ストランド）を考慮することはしばしば興味深く、特に技術的に有用です。

最も一般的には、タングル^{[ 1 ] [ 2 ]}を考えることができる。タングルは埋め込みである。

${\displaystyle T\colon X\to \mathbf {R} ^{2}\times I}$

境界を持つ（滑らかな）コンパクト1次元多様体の${\displaystyle (X,\partial X)}$平面内への時間間隔${\displaystyle I=[0,1],}$境界が${\displaystyle T(\partial X)}$埋め込まれている

$\displaystyle \mathbf {R} \times \{0,1\}}$（${\displaystyle \{0,1\}=\partial I}$)

タングルのタイプは多様体 X であり、固定埋め込みがそれに続く。${\displaystyle \partial X.}$

具体的には、境界を持つ連結コンパクト1次元多様体は区間である。${\displaystyle I=[0,1]}$または円$\displaystyle S^{1}}$（コンパクト性により開区間は除外される）${\displaystyle (0,1)}$そして半開区間${\displaystyle [0,1),}$どちらも非自明な埋め込みを生成しない（開端は点に縮小できることを意味するため）、したがって、おそらく非連結なコンパクト 1 多様体はn個の区間の集合である。${\displaystyle I=[0,1]}$そしてm個の円${\displaystyle S^{1}.}$Xの境界が

$\displaystyle \mathbf {R} \times \{0,1\}}$

区間は2本の線を結ぶか、いずれかの線上の2点を結ぶと述べているが、円については何の条件も課していない。絡み合いは垂直方向（I）を持ち、2本の線の間に位置し、場合によっては2本の線を結ぶと考えることができる。

（$\displaystyle \mathbf {R} \times 0}$そして$\displaystyle \mathbf {R} \times 1}$)

そして、2次元の水平方向に移動できる（$\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$）

これらの線の間には、結び目図に類似した絡み合い図を形成するように投影することができる。

絡まりには、リンク（Xが円のみで構成されている場合）、三つ編み、その他さまざまなものが含まれます。たとえば、2本の線を繋ぐ糸と、その周りに繋がった円などです。

この文脈において、編み込みは常に下向きに伸びる絡まりとして定義される。すなわち、その導関数は常に垂直方向（I）にゼロでない成分を持つ。特に、編み込みは区間のみで構成され、自身に折り返されてはならない。ただし、線の端がどこにあるかについては特に規定されていない。

ストリングリンクこれは、区間のみで構成される絡まりであり、各ストランドの端は (0,  0),  (0,  1), (1, 0),  (1 , 1),  ( 2, 0), (2, 1), ... に位置する必要があります。つまり、整数を結び、開始した順序と同じ順序で終了します (他の固定された点の集合を使用しても構いません)。これがℓ個の成分を持つ場合、これを「 ℓ成分ストリング リンク」と呼びます。ストリング リンクは、必ずしも編み込みである必要はありません。オーバーハンド ノットを持つ 2 成分ストリング リンクのように、自身に折り返しても構いません。ストリング リンクでもある編み込みは、純粋編み込みと呼ばれ、通常のそのような概念に対応します。       

タングルとストリングリンクの重要な技術的価値は、それらが代数的構造を持つことです。タングルの同位類はテンソル圏を形成し、圏構造においては、一方のタングルの下端が他方のタングルの上端と等しい場合（境界を縫い合わせることができる場合）、2つのタングルを積み重ねることで合成できます。自明なタングルでさえ垂直方向の空間を占めるため、単位元が存在しないことから、文字通り（点ごとに）圏を形成するわけではありませんが、同位類までは形成されます。テンソル構造は、タングルを並置することによって、つまり一方のタングルを他方のタングルの右側に配置することによって与えられます。

固定されたℓに対して、ℓ成分のストリングリンクの同位類はモノイドを形成します（すべてのℓ成分のストリングリンクを合成でき、単位元が存在します）が、ストリングリンクの同位類は逆元を持つ必要がないため、群を形成しません。しかし、ストリングリンクのコンコーダンス類（したがってホモトピー類も）は逆元を持ち、逆元はストリングリンクを上下反転させることで得られるため、群を形成します。

すべてのリンクは切り離してストリングリンクを形成できますが、これは一意ではなく、リンクの不変量はストリングリンクの不変量として理解される場合もあります。たとえば、ミルナーの不変量がこれに該当します。閉じたブレイドと比較してください。