環状構造（数学）

数学において、環状領域(複数形: annuliまたはannuluses ) は、2 つの同心円の間の領域です。非公式には、リングまたはハードウェア ワッシャーのような形をしています。「環状領域」という単語は、ラテン語の「小さなリング」を意味するanulusまたはannulusから借用されています。形容詞形はannular ( annular eclipseのように)です。

開いた環状体は、開いた円筒S ¹ × (0,1)と穴の開いた平面の両方と位相的に同等です。

環状領域の面積は、半径Rの大きい円と半径rの小さい円の面積の差です。

${\displaystyle A=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)=\pi (R+r)(Rr).}$

環状空間の面積は、環状空間内の最も長い線分の長さ、つまり内円に接する弦の長さによって決まります。図では2 dです。この線は小さい方の円に接し、その点では半径に垂直なので、ピタゴラスの定理で示すことができます。したがって、 dとr は斜辺Rを持つ直角三角形の辺であり、環状空間の面積は次のように表されます。

${\displaystyle A=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)=\pi d^{2}.}$

面積は、環状部を無限小の幅dρと面積2π ρ dρの無限個の環状部に分割し、ρ = rからρ = Rまで積分することによっても計算で求めることができます。

${\displaystyle A=\int _{r}^{R}\!\!2\pi \rho \,d\rho =\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$

角度θの環状扇形の面積は、θをラジアンで測ると、次のように表される。

${\displaystyle A={\frac {\theta }{2}}\left(R^{2}-r^{2}\right).}$

複素解析において、複素平面上の環状領域 ann ( a ; r , R )は次のように定義される 開領域である。

${\displaystyle r<|za|<R.}$

の場合、領域は点a の周りの半径Rの穴あき円板（中心に点穴がある円板）として知られています。 ${\displaystyle r=0}$

複素平面のサブセットとして、環状空間はリーマン面として考えることができます。環状空間の複素構造は、比⁠のみに依存します。r/R⁠。各環状空間ann( a ; r , R )は、次の写像によって、原点を中心とし外半径が 1 である標準の環状空間に 正則写像できる。

${\displaystyle z\mapsto {\frac {za}{R}}.}$

内側の半径は⁠r/R⁠ < 1 .

アダマールの 3 円定理は、正則関数が環状空間内で取り得る最大値に関する定理です。

ジュコフスキー変換は、 焦点の間にスリットが切られた 楕円に環状領域を等角的にマッピングします。

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