編み込みホップ代数

数学において、ブレイドホップ代数とは、ブレイドモノイド圏におけるホップ代数のことである。最も一般的なブレイドホップ代数は、ホップ代数Hのイェッター・ドリンフェルド圏における対象であり、特にその圏におけるブレイドベクトル空間のニコルス代数である。

この概念は準三角ホップ代数と混同してはならない。

Kを体とする。 H をK上のホップ代数とし、 Hの対蹠が全単射であると仮定する。H上のイェッター・ドリンフェルド加群Rは、イェッター・ドリンフェルド圏におけるブレイド双代数と呼ばれる。${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$もし

• ${\displaystyle (R,\cdot ,\eta )}$は単位元を持つ結合代数であり、乗法写像は${\displaystyle \cdot :R\times R\to R}$そしてユニット${\displaystyle \eta :k\to R}$イェッター・ドリンフェルドモジュールのマップは、
• ${\displaystyle (R,\Delta ,\varepsilon )}$は、共単位を持つ共結合的な共代数である。${\displaystyle \varepsilon }$、そして両方とも${\displaystyle \Delta }$そして${\displaystyle \varepsilon }$イェッター・ドリンフェルドモジュールのマップは、
• 地図${\displaystyle \Delta :R\to R\otimes R}$そして${\displaystyle \varepsilon :R\to k}$代数マップは、${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$代数構造は${\displaystyle R\otimes R}$単位によって決定されます${\displaystyle \eta \otimes \eta (1):k\to R\otimes R}$そして乗算マップ

${\displaystyle (R\otimes R)\times (R\otimes R)\to R\otimes R,\quad (r\otimes s,t\otimes u)\mapsto \sum _{i}rt_{i}\otimes s_{i}u,\quad {\text{and}}\quad c(s\otimes t)=\sum _{i}t_{i}\otimes s_{i}.}$

ここで、cはイェッター・ドリンフェルド圏における標準的な編み込みである。${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$。

編み込み双代数${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$射が存在する場合、それは編み込みホップ代数と呼ばれる。${\displaystyle S:R\to R}$Yetter-Drinfeld モジュールの次のようなもの

${\displaystyle S(r^{(1)})r^{(2)}=r^{(1)}S(r^{(2)})=\eta (\varepsilon (r))}$すべての人々のために${\displaystyle r\in R,}$

どこ$\displaystyle \Delta _{R}(r)=r^{(1)}\otimes r^{(2)}}$若干修正されたスウィードラー記法で表記します。以下のラドフォードの副積における混乱を避けるため、記法を変更します。

• 任意のホップ代数は、上のブレイドホップ代数でもある。${\displaystyle H=k}$
• スーパーホップ代数は、群代数上の編み込みホップ代数に他ならない。${\displaystyle H=k[\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ]}$。
• テンソル代数${\displaystyle TV}$イェッター・ドリンフェルドモジュールの${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$は常に編み込みホップ代数である。${\displaystyle \Delta }$の${\displaystyle TV}$Vの要素が原始的であるように定義される。

${\displaystyle \Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1\quad {\text{すべての}\quad v\in Vについて}$

共同体${\displaystyle \varepsilon :TV\to k}$すると、次の式を満たす。${\displaystyle \varepsilon (v)=0}$すべての人々のために${\displaystyle v\in V.}$

• 普遍商${\displaystyle TV}$、それは依然として、${\displaystyle V}$原始要素として存在するものは、ニコルス代数と呼ばれます。これらは、古典的なリー代数の場合と同様に、点付きホップ代数の分類において量子ボレル代数の役割を果たします。

任意のブレイドホップ代数Rに対して${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$自然なホップ代数が存在する${\displaystyle R\#H}$これは、部分代数としてRとホップ部分代数としてHを含む。 発見者であるホップ代数学者のデイビッド・ラドフォードにちなんで、ラドフォードの双積と呼ばれている。これはシャーン・マジッドによって再発見され、彼はこれをボソン化と呼んだ。

ベクトル空間として、${\displaystyle R\#H}$はただ${\displaystyle R\otimes H}$代数構造${\displaystyle R\#H}$は

${\displaystyle (r\#h)(r'\#h')=r(h_{(1)}\cdot r')\#h_{(2)}h',}$

どこ${\displaystyle r,r'\in R,h,h'\in H}$、$\displaystyle \Delta (h)=h_{(1)}\otimes h_{(2)}}$（スウィードラー記法）は、${\displaystyle h\in H}$、 そして${\displaystyle \cdot :H\otimes R\to R}$は、 HのRへの左作用である。さらに、の余積は${\displaystyle R\#H}$式によって決定される

${\displaystyle \Delta (r\#h)=(r^{(1)}\#r^{(2)}{}_{(-1)}h_{(1)})\otimes (r^{(2)}{}_{(0)}\#h_{(2)}),\quad r\in R,h\in H.}$

ここ$\displaystyle \Delta _{R}(r)=r^{(1)}\otimes r^{(2)}}$はRにおけるrの余積を表し、$\displaystyle \delta (r^{(2)})=r^{(2)}{}_{(-1)}\otimes r^{(2)}{}_{(0)}}$Hの左側の共作用は$\displaystyle r^{(2)}\in R.}$

• Andruskiewitsch, Nicolás および Schneider, Hans-Jürgen、「Pointed Hopf algebras」、New directions in Hopf algebras、1–68、Math. Sci. Res. Inst. Publ.、43、Cambridge Univ. Press、Cambridge、2002 年。