ブラウ代表

数学において、Burau表現は、ドイツの数学者ヴェルナー・ビューラウ^[1]が1930年代に研究し、その名にちなんで名付けられた組紐群の表現である。Burau表現には、簡約Burau表現と非簡約Burau表現 という2つの一般的でほぼ同等な定式化がある。

組紐群 B _{n を}、 n 個のマークされた点D _nを持つ円板の写像類群と考える。ホモロジー群H ₁ ( D _n )は、ランクnの自由アーベル群である。さらに、 H ₁ ( D _n )の不変部分空間( B _nの作用下) は原始的かつ無限巡回的である。π  : H ₁ ( D _n ) → Z をこの不変部分空間への射影とする。すると、この射影写像に対応する被覆空間C _{n が}存在する。アレクサンダー多項式の構成と同様に、H ₁ ( C _n ) を被覆変換Z [ Z ]の群環上の加群として考える。これはローラン多項式の環Z [ t , t ⁻¹ ]と同型である 。 Z [ t , t ⁻¹ ]加群として、H ₁ ( C _n ) はランクn  − 1から自由である。被覆空間の基本理論によれば、B _{n は}H ₁ ( C _n )に作用し、この表現は縮小された Burau 表現と呼ばれます。

非縮約Burau 表現も同様の定義を持ちます。つまり、D _{n を}、マークされた点での(実数、有向) ブローアップで置き換えます。次に、 H ₁ ( C _n )を考慮する代わりに、相対ホモロジーH ₁ ( C _n、 Γ)を考慮します。ここで、γ ⊂ D _{n は}、円板の境界上の 1 点とともにブローアップ操作に対応するD _nの境界の一部です。 Γ は、 γのC _nへのリフトを表します。 Z [ t、t ⁻¹ ]モジュールとして、これはランクnがありません。

のホモロジー長完全列により、Burau表現は短完全列に適合する。

0 → V _r → V _u → D ⊕ Z [ t , t ⁻¹ ] → 0,

ここで、V _r (resp. V _u )はそれぞれ縮約された(resp. 非縮約された)Burau B _n加群であり、D ⊂ Z ^{n は}対角部分空間の補空間である。言い換えると、

${\displaystyle D=\left\{\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in \mathbf {Z} ^{n}:x_{1}+\cdots +x_{n}=0\right\},}$

そしてB _{n は}置換表現によって Z ⁿに作用します。

σ _{i を}組紐群B _nの標準生成元とすると、非縮約Burau表現は次のように明示的に表される。

${\displaystyle \sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{c|cc|c}I_{i-1}&0&0&0\\\hline 0&1-t&t&0\\0&1&0&0\\\hline 0&0&0&I_{ni-1}\end{array}}\right),}$

1 ≤ i ≤ n − 1、ここでI _{k は}k × k単位行列を表す。同様に、n ≥ 3 の場合、簡約された Burau 表現は次のように与えられる。

${\displaystyle \sigma _{1}\mapsto \left({\begin{array}{cc|c}-t&1&0\\0&1&0\\\hline 0&0&I_{n-3}\end{array}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{c|ccc|c}I_{i-2}&0&0&0&0\\\hline 0&1&0&0&0\\0&t&-t&1&0\\0&0&0&1&0\\\hline 0&0&0&0&I_{ni-2}\end{array}}\right),\quad 2\leq i\leq n-2,}$

${\displaystyle \sigma _{n-1}\mapsto \left({\begin{array}{c|cc}I_{n-3}&0&0\\\hline 0&1&0\\0&t&-t\end{array}}\right),}$

一方、 n = 2の場合は、

${\displaystyle \sigma _{1}\mapsto \left(-t\right).}$

ヴォーン・ジョーンズ^[2]は、 tが[0,1]の場合の正の組紐の非縮約Burau表現 、すなわち逆を含まない標準的な組紐群生成子のワードである組紐について、上記の明示的な記述から直ちに導かれる次の解釈を与えた。

n本のストランドに正の組紐σ がある場合、これをn 本の絡み合ったレーンがあるボウリング場と解釈します。次に、レーンの 1 つにボウリングのボールを投げ、ボールの進路が別のレーンと交差するすべての交差点で、ボールが確率tで下に落ち、下のレーンに沿って進み続けると仮定します。すると、σの未簡約 Burau 表現の( i , j )番目の要素は、 i番目のレーンに投げ込まれたボールがj番目のレーンに入る確率になります。

結び目K がB _nにおける組紐fの閉包である場合、 Z [ t , t ⁻¹ ]における単位の乗算を除けば、Kのアレクサンダー多項式Δ _K ( t )は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {1-t}{1-t^{n}}}\det(I-f_{*}),}$

ここで、f _{∗ は}組紐fの簡約されたBurau表現である。

例えば、B ₃においてf = σ ₁ σ ₂の場合、上記の明示的な行列を使うと、

${\displaystyle {\frac {1-t}{1-t^{n}}}\det(I-f_{*})=1,}$

そしてf _*の閉包はアレクサンダー多項式が1 である非結び目です。

最初の忠実でない Burau 表現は、John A. Moody によって、コンピュータを使わずに、巻き数または輪郭積分の概念を使用して発見されました。^{[3] Darren D. Long と Mark Paton [4]}によるより概念的な理解では、リンクまたは巻きは、被覆空間の基点に対する第 1 ホモロジーのポアンカレ双対性から生じると解釈され、交差形式(Craig Squier がその特性を最初に調査したため、伝統的に Squier 形式と呼ばれています) が使用されます。^[5] Stephen Bigelow は、コンピュータ技術と Long–Paton 定理を組み合わせて、Burau 表現がn ≥ 5に対して忠実ではないことを示しました。^{[6] [7] [8]} Bigelow はさらに、組紐群の標準生成子のワードとして、カーネルの明示的な非自明な要素を提供します。

${\displaystyle \psi_{1}=\sigma_{3}^{-1}\sigma_{2}\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}\sigma_{4}^{3}\sigma_{3}\sigma_{2},\quad \psi_{2}=\sigma_{4}^{-1}\sigma_{3}\sigma_{2}\sigma_{1}^{-2}\sigma_{2}\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}^{2}\sigma_{1}\sigma_{4}^{5}.}$

すると核の要素は交換子によって与えられる。

${\displaystyle [\psi _{1}^{-1}\sigma _{4}\psi _{1},\psi _{2}^{-1}\sigma _{4}\sigma _{3 }\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{4}\psi _{2}].}$

n = 2, 3の場合の Burau 表現は忠実であることが以前から知られている。n = 4の場合の Burau 表現の忠実性は未解決の問題である。Burau 表現は Jones 表現の加数として現れ、n = 4の場合、Burau 表現の忠実性は Jones 表現の忠実性と等価であるが、これはJones 多項式が結び目のない検出器であるかどうかという問題と関係している。^[9]

クレイグ・スクワイアは、ブラウ表現がセクスティリニア形式を保存することを示した。^[5] さらに、変数t が1 に近い超越単位複素数に選択されると、それは正定値エルミートペアリングになる。したがって、編組群B _nのブラウ表現は、ユニタリ群U( n )への写像と考えることができる。

• 「Burau の定理」、結び目アトラス。