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『ブレイド、リンク、マッピングクラス群』は、ブレイド群とその低次元トポロジーへの応用に関する数学モノグラフである。著者はジョーン・バーマンで、1974年にプリンストン大学出版局と東京大学出版会から、数学研究年報シリーズの第82巻として出版された。
ブレイド群は1891年にアドルフ・フルヴィッツによって導入され、1925年にエミール・アルティンによって形式化されたが[ 1 ]、本書はブレイド群に特化した最初の書籍であった[ 2 ] 。本書は「画期的な著作」[ 3 ]であり、「トポロジーにおけるいくつかの新しい分野の基礎を築いた」[ 4 ]と評されている。
『ブレイド、リンク、マッピングクラス群』は、5つの章と付録で構成されています。最初の導入章では、ブレイド群、構成空間、および任意の2次元多様体上のブレイド群を定義するための構成空間の使用法を定義します。ブレイドに関する単語問題、つまり見た目が異なる2つのブレイド表現が実際に同じ群要素を記述しているかどうかを判断する問題に対する解決策を提供します。また、ブレイド群を自由群および多重穿孔ディスクの自己同型群として記述します。 [ 5 ]
次の 3 つの章では、ブレイド群と 3 つの異なる数学分野との関連性について説明します。第 2 章では、結び目理論への応用について、すべての結び目またはリンクはブレイドを閉じることによって形成できるというアレクサンダーの定理を介して説明し、このようにして形成されたリンクの等価性に関するマルコフの定理の最初の完全な証明を提供します。また、共役ブレイドが閉じて同じリンクを形成するためこの分野で重要な共役問題[ 5 ] 、および「代数的リンク問題」（代数的リンクと混同しないように）についても説明します。この問題では、 2 つのリンクが特定のタイプの有限回の移動によって互いに関連付けられるかどうかを決定する必要があります。これは、リンクの補集合の同相写像に相当します。[ 2 ]第 3 章では表現論について説明し、フォックス微分とフォックスの自由微分計算[ 1 ]、自由群のマグナス表現、ブレイド群のガスナー表現とブラウ表現について説明します。[ 5 ]第 4 章では、2 次元多様体の写像類群、デーン ツイストとリコリッシュ ツイスト定理、およびアレクサンダーの定理とは異なる方法で閉じられたプラット、ブレイドについて扱います。[ 5 ]
第 5 章は「プラットとリンク」と題されています。[ 1 ] 2 次元トポロジーから 3 次元トポロジーへと進み、ブレイド群、3 次元多様体、リンクの分類間の関係について、より推測的な内容となっています。また、プラットに関するアレクサンダーの定理の類似点も含まれており、結果として得られるプラットのストランドの数は、与えられたリンクのブリッジ数によって決定されることがわかります。 [ 5 ]付録には 34 の未解決問題のリストが掲載されています。[ 1 ] [ 5 ]ウィルバー・ウィッテンが 1975 年 6 月にレビューを書いた時点では、これらの問題のうちいくつかはすでに解決されていました。[ 2 ]
本書は、代数トポロジーや生成元と関係元による群の表現にすでに精通していることを前提とした、高度な数学を学ぶ学生や専門家向けの書籍です。教科書ではありませんが、大学院のゼミで使用できる可能性があります。[ 1 ]
評論家のリー・ニューワースはこの本を「最も読みやすい」「この主題に関する既知の結果と新しい内容がうまく混ざり合っている」と評している。[ 5 ]ウィッテンはこの本を「徹底的で巧みに書かれている」「読むのが楽しい」と評している。[ 2 ]ヴィルヘルム・マグナスは、ビルマンが主題を数学的に完全に厳密に扱いながらも、初期の著作のいくつかが持っていた直感的な魅力を維持していることを「驚くべきこと」だと考えている。[ 1 ]