デュアルスペース

ベクトル空間が与えられた場合${\displaystyle V}$そして基礎${\displaystyle E}$その空間上で、線形独立な集合を定義することができる。${\displaystyle V^{*}}$双対集合と呼ばれる。${\displaystyle E}$双対集合内の一意のベクトルに対応する。この対応関係により、単射が生じる。${\displaystyle V\to V^{*}}$。

もし${\displaystyle V}$は有限次元であり、双対集合は双対基底と呼ばれる基底であり、射影は${\displaystyle V\to V^{*}}$同型写像である。

もし${\displaystyle V}$有限次元である場合、${\displaystyle V}$は同型である${\displaystyle V^{*}}$しかし一般に、これら2つの空間の間には自然な同型性は存在しない。 ^{[ 10 ]}任意の双線形形式${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$の上${\displaystyle V}$マッピングを提供します${\displaystyle V}$二重空間へ

$${\displaystyle v\mapsto \langle v,\cdot \rangle }$$

ここで右辺は、関数として定義される。${\displaystyle V}$それぞれ${\displaystyle w\in V}$に${\displaystyle \langle v,w\rangle }$言い換えれば、双線形形式は線形写像を決定する。

$${\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }:V\to V^{*}}$$

定義される

$${\displaystyle \left[\Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }(v),w\right]=\langle v,w\rangle .}$$

双線形形式が非退化である場合、これは の部分空間への同型写像である。${\displaystyle V^{*}}$。 もし${\displaystyle V}$が有限次元である場合、これは 全体への同型写像である。${\displaystyle V^{*}}$逆に、任意の同型写像${\displaystyle \Phi }$から${\displaystyle V}$部分空間へ${\displaystyle V^{*}}$（それぞれ、すべての${\displaystyle V^{*}}$もし${\displaystyle V}$（有限次元）は一意の非退化双線形形式を定義する${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\Phi }}$の上${\displaystyle V}$による

$${\displaystyle \langle v,w\rangle _{\Phi }=(\Phi (v))(w)=[\Phi (v),w].\,}$$

したがって、同型写像の間には一対一の対応関係がある。${\displaystyle V}$（または、すべて）の部分空間へ${\displaystyle V^{*}}$および非退化双線形形式${\displaystyle V}$。

ベクトル空間${\displaystyle V}$が複素体上にある場合、双線形形式の代わりに半双線形形式を考える方が自然な場合がある。その場合、与えられた半双線形形式${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$同型性を決定する${\displaystyle V}$双対空間の複素共役を用いて

$${\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }:V\to {\overline {V^{*}}}.}$$ 双対空間の共役${\displaystyle {\overline {V^{*}}}}$すべての加法的複素数値汎関数の集合と同一視できる${\displaystyle f:V\to \mathbb {C} }$そのため $${\displaystyle f(\alpha v)={\overline {\alpha }}f(v).}$$

自然な準同型が存在する${\displaystyle \Psi }$から${\displaystyle V}$ダブルデュアルへ${\displaystyle V^{**}=\hom(V^{*},F)}$定義される${\displaystyle (\Psi (v))(\varphi )=\varphi (v)}$すべての人々のために${\displaystyle v\in V,\varphi \in V^{*}}$つまり、${\displaystyle \mathrm {ev} _{v}:V^{*}\to F}$評価マップは次のように定義されます。${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi (v)}$、 それから${\displaystyle \Psi :V\to V^{**}}$はマップとして定義される${\displaystyle v\mapsto \mathrm {ev} _{v}}$この地図${\displaystyle \Psi }$は常に単射である。^{[注3 ]}また、常に同型である。${\displaystyle V}$有限次元である。^{[ 11 ]} 実際、有限次元ベクトル空間とその二重双対との同型性は、自然同型性の典型的な例である。無限次元ヒルベルト空間は、代数的二重双対とは同型ではなく、連続的二重双対と同型である。

もし${\displaystyle f:V\to W}$が線形写像である場合、転置（または双対）${\displaystyle f^{*}:W^{*}\to V^{*}}$定義される $${\displaystyle f^{*}(\varphi )=\varphi \circ f\,}$$ すべての${\displaystyle \varphi \in W^{*}}$結果として得られる関数${\displaystyle f^{*}(\varphi )}$で${\displaystyle V^{*}}$プルバックと呼ばれる${\displaystyle \varphi }$平行${\displaystyle f}$。

以下の恒等式はすべての場合に成り立つ。${\displaystyle \varphi \in W^{*}}$そして${\displaystyle v\in V}$: $${\displaystyle [f^{*}(\varphi ),\,v]=[\varphi ,\,f(v)],}$$ 括弧がある場所${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$左側は自然な組み合わせです${\displaystyle V}$デュアルスペースを備え、右側は自然な組み合わせです${\displaystyle W}$その双対とともに。この恒等式は転置を特徴づけ、^{[ 12 ]}形式的には随伴の定義に類似している。

課題${\displaystyle f\mapsto f^{*}}$線形演算子の空間から線形演算子の空間への単射線形写像を生成する${\displaystyle V}$に${\displaystyle W}$そして線形作用素の空間は${\displaystyle W^{*}}$に${\displaystyle V^{*}}$この準同型写像は、以下の条件を満たす場合に限り同型写像となる。${\displaystyle W}$は有限次元です。${\displaystyle V=W}$すると、線形写像の空間は実際には写像の合成による代数であり、割り当ては代数の反準同型写像となる。${\displaystyle {(fg)}^{*}=g^{*}f^{*}}$圏論の言葉で言えば、ベクトル空間の双対と線形写像の転置を取ることは、ベクトル空間の圏から反変関手である。${\displaystyle F}$それ自体を識別することが可能です。 ${\displaystyle f^{**}}$と${\displaystyle f}$二重二重への自然注入を使用する。

線形マップの場合${\displaystyle f}$行列で表される${\displaystyle A}$2つの基点に関して${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$、 それから${\displaystyle f^{*}}$転置行列によって表される${\displaystyle A^{T}}$双対基底に関して${\displaystyle W^{*}}$そして${\displaystyle V^{*}}$そのため、その名前が付けられました。あるいは、${\displaystyle f}$は${\displaystyle A}$列ベクトルに左側から作用し、${\displaystyle f^{*}}$は、行ベクトルに対して右側に作用する同じ行列によって表されます。これらの観点は、正準内積によって関連付けられています。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$これは、列ベクトルの空間を、行ベクトルの双対空間と同一視するものである。

させて${\displaystyle S}$のサブセットである${\displaystyle V}$殲滅者​${\displaystyle S}$で${\displaystyle V^{*}}$（ここでは、${\displaystyle S^{0}}$は線形汎関数の集合である。${\displaystyle f\in V^{*}}$そのため${\displaystyle [f,s]=0}$すべての人々のために${\displaystyle s\in S}$つまり、${\displaystyle S^{0}}$すべての線形関数から構成される${\displaystyle f:V\to F}$そのため、${\displaystyle S}$消える：${\displaystyle f|_{S}=0}$有限次元ベクトル空間内では、消滅演算子は直交補空間と双対（同型）である。

部分集合の零化集合はそれ自体がベクトル空間である。零ベクトルの零化集合は双対空間全体である。${\displaystyle \{0\}^{0}=V^{*}}$そして、空間全体の消滅ベクトルは、ゼロ共変ベクトルに他ならない。${\displaystyle V^{0}=\{0\}\subseteq V^{*}}$さらに、消滅器をサブセットに割り当てると、${\displaystyle V}$包含関係を反転させるので、 $${\displaystyle \{0\}\subseteq S\subseteq T\subseteq V,}$$ それから $${\displaystyle \{0\}\subseteq T^{0}\subseteq S^{0}\subseteq V^{*}.}$$ もし${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は 2 つのサブセットです${\displaystyle V}$それから $${\displaystyle A^{0}+B^{0}\subseteq (A\cap B)^{0}.}$$ もし${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$は、 のサブセットの任意の族である。${\displaystyle V}$何らかのインデックスセットによってインデックス付けされる${\displaystyle I}$、 それから $${\displaystyle {\bigg (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\bigg )}^{0}=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{0}.}$$ 特に、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は部分空間である${\displaystyle V}$それから $${\displaystyle (A+B)^{0}=A^{0}\cap B^{0}}$$ そして^{[ nb 3 ]}$${\displaystyle (A\cap B)^{0}=A^{0}+B^{0}.}$$

もし${\displaystyle V}$有限次元であり、${\displaystyle W}$はベクトル部分空間である。 $${\displaystyle W^{00}=W}$$ 特定した後${\displaystyle W}$二重双対性同型のもとで、その像は第２の双対空間に存在する。${\displaystyle V\approx V^{**}}$特に、消滅器を形成することは、有限次元ベクトル空間の部分集合の格子上のガロア接続である。

もし${\displaystyle W}$は の部分空間である${\displaystyle V}$すると商空間${\displaystyle V/W}$はそれ自体がベクトル空間であり、双対空間を持つ。第一同型定理により、関数${\displaystyle f:V\to F}$要因${\displaystyle V/W}$かつその場合に限り${\displaystyle W}$核心にある${\displaystyle f}$したがって、同型写像が存在する。 $${\displaystyle (V/W)^{*}\cong W^{0}.}$$ 特に、もし${\displaystyle V}$2つの部分空間の直和である${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$、 それから${\displaystyle V^{*}}$は直接合計です${\displaystyle A^{0}}$そして${\displaystyle B^{0}}$。

双対空間は「負の」次元空間に類似している。最も単純に言えば、ベクトルは${\displaystyle v\in V}$コベクターと組み合わせることができます${\displaystyle \varphi \in V^{*}}$自然な組み合わせによって ${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle$ :=\varphi (x)\in F} スカラーを得るために、共ベクトルは、分数を約分するのと同様に、ベクトルの次元を「打ち消す」ことができます。したがって、直接和は${\displaystyle V\oplus V^{*}}$は${\displaystyle 2n}$次元空間（もし${\displaystyle V}$は${\displaystyle n}$次元）、${\displaystyle V^{*}}$として振る舞う${\displaystyle -n}$次元空間、つまりその次元は、${\displaystyle V}$これはテンソル縮約によって形式化される。

これは、双対空間が逆単位を持つ次元解析を通して物理学で生じます。 ^{[ 13 ]}自然なペアリングの下で​​は、これらの単位は相殺され、結果として得られるスカラー値は予想通り無次元になります。例えば、（連続）フーリエ解析、あるいはより広義には時間周波数解析において：^{[注4 ]}時間の単位を持つ1次元ベクトル空間が与えられた場合${\displaystyle t}$双対空間には、頻度の単位があります。単位時間あたりの発生回数（単位は${\displaystyle 1/t}$)。例えば、時間が秒で測定される場合、対応する双対単位は逆秒です。3秒間で、1秒間に2回発生する事象は合計6回発生し、これは${\displaystyle 3s\cdot 2s^{-1}=6}$同様に、原始空間が長さを測定する場合、双対空間は逆の長さを測定します。

もし${\displaystyle X}$がハウスドルフ位相ベクトル空間(TVS)である場合、連続双対空間は${\displaystyle X}$は、完成の連続双対空間と同一である。${\displaystyle X}$[ ^{1 ]​}

連続双対上に位相を導入するための標準的な構成法がある${\displaystyle V'}$位相ベクトル空間の${\displaystyle V}$コレクションを修正する${\displaystyle {\mathcal {A}}}$有界部分集合の${\displaystyle V}$これにより、トポロジーが得られます。${\displaystyle V}$集合上の均一収束${\displaystyle {\mathcal {A}},}$あるいは同じこと、次の形式の セミノルムによって生成されるトポロジー$${\displaystyle \|\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi (x)|,}$$ どこ${\displaystyle \varphi }$は連続線形関数である${\displaystyle V}$、 そして${\displaystyle A}$授業を駆け抜ける${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

これは、関数のネットワークを意味します${\displaystyle \varphi _{i}}$機能的である傾向がある${\displaystyle \varphi }$で${\displaystyle V'}$すべての${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$、 $${\displaystyle \|\varphi _{i}-\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi _{i}(x)-\varphi (x)|\to 0}$$ として${\displaystyle i\to \infty }$通常は、ただし必ずしもそうとは限りませんが、クラス${\displaystyle {\mathcal {A}}}$以下の条件を満たします。

• すべてのポイント${\displaystyle x}$の${\displaystyle V}$ある集合に属する${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$。
• 任意の2セット${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$そして${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$ある集合に含まれる${\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}$。
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$スカラーによる乗算演算に関して閉じている。

これらの要件が満たされると、対応するトポロジーは${\displaystyle V'}$ハウスドルフと集合は $${\displaystyle U_{A}=\{\varphi \in V':\|\varphi \|_{A}<1\}}$$ すべての人々のために${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$現地拠点を形成する。

以下に、最も重要な3つの特殊ケースを示します。

• 強いトポロジー​${\displaystyle V'}$は、有界部分集合上の一様収束の位相である。${\displaystyle V}$（だからここに）${\displaystyle {\mathcal {A}}}$すべての有界部分集合のクラスとして選択できます。${\displaystyle V}$)

もし${\displaystyle V}$がノルムベクトル空間（例えば、バナッハ空間またはヒルベルト空間）である場合、 の強位相は${\displaystyle V'}$はノルム化されており（スカラー体が完備であれば実際にはバナッハ空間である）、ノルムは次のようになる。 $${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|\leq 1}|\varphi (x)|.}$$

• ステレオタイプトポロジー${\displaystyle V'}$は、完全に有界な集合上の均一収束の位相である。${\displaystyle V}$（だからここに）${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ は、すべての完全有界部分集合のクラスとして選択できます。${\displaystyle V}$)
• 弱いトポロジー​${\displaystyle V'}$は、有限部分集合上の一様収束の位相である。${\displaystyle V}$（だからここに）${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ すべての有限部分集合のクラスとして選択できます。${\displaystyle V}$)

トポロジーの 3 つの選択肢のそれぞれ${\displaystyle V'}$これは、位相ベクトル空間における反射性特性の変形につながる。

• もし${\displaystyle V'}$が強位相を備えている場合、対応する反射性の概念は標準的なものであり、この意味で反射的な空間は単に反射的と呼ばれる。^{[ 18 ]}
• もし${\displaystyle V'}$がステレオタイプ双対位相を備えている場合、対応する反射性はステレオタイプ空間の理論で提示されます。この意味で反射的な空間はステレオタイプと呼ばれます。
• もし${\displaystyle V'}$が弱位相を備えている場合、対応する反射性は双対ペアの理論で提示されます。^{[ 19 ]}この意味で反射的な空間は、弱位相を持つ任意の（ハウスドルフ）局所凸空間です。^{[ 20 ]}

させて${\displaystyle 1<p<\infty }$を実数とし、すべての数列からなるバナッハ空間ℓ ^{p を考える。}${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{n})}$そのために $${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{p}={\bigg (}\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}{\bigg )}^{\frac {1}{p}}<\infty .}$$ 数を定義する${\displaystyle q}$による${\displaystyle 1/p+1/q=1}$すると、連続双対は${\displaystyle \ell ^{p}}$自然に関連付けられる${\displaystyle \ell ^{q}}$: 要素が与えられた場合${\displaystyle \varphi \in (\ell ^{p})'}$、対応する要素${\displaystyle \ell ^{q}}$シーケンスは${\displaystyle (\varphi (\mathbf {e} _{n}))}$どこ${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$数列を表す${\displaystyle n}$第 1 項は 1 であり、その他はすべて 0 です。逆に、要素が与えられた場合、${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{n})\in \ell ^{q}}$対応する連続線形関数${\displaystyle \varphi }$の上${\displaystyle \ell ^{p}}$定義される $${\displaystyle \varphi (\mathbf {b} )=\sum _{n}a_{n}b_{n}}$$ すべての人々のために${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{n})\in \ell ^{p}}$（ヘルダーの不等式を参照）。

同様に、${\displaystyle \ell ^{1}}$自然に関連付けられる${\displaystyle \ell ^{\infty }}$（有界列の空間）。さらに、バナッハ空間の連続双対空間は${\displaystyle c}$（上限ノルムを持つすべての収束列から構成される）${\displaystyle c_{0}}$（ゼロに収束する数列）はどちらも自然に同一視される${\displaystyle \ell ^{1}}$。

リース表現定理によれば、ヒルベルト空間の連続双対空間は、元の空間と反同型なヒルベルト空間となる。このことから、物理学者が量子力学の数学的定式化において用いるブラケット記法が生まれる。

リース・マルコフ・カクタニ表現定理によれば、特定の連続関数空間の連続双対空間は測度を用いて記述することができる。

もし${\displaystyle T:V\to W}$が2つの位相ベクトル空間間の連続線形写像である場合、(連続)転置 ${\displaystyle T':W'\to V'}$は、以前と同じ式で定義されます。 $${\displaystyle T'(\varphi )=\varphi \circ T,\quad \varphi \in W'.}$$ 結果として得られる関数${\displaystyle T'(\varphi )}$は${\displaystyle V'}$課題${\displaystyle T\to T'}$連続線形マップの空間間の線形マップを生成します${\displaystyle V}$に${\displaystyle W}$そして線形マップの空間から${\displaystyle W'}$に${\displaystyle V'}$。 いつ${\displaystyle T}$そして${\displaystyle U}$合成可能な連続線形マップである場合、 $${\displaystyle (U\circ T)'=T'\circ U'.}$$ いつ${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$はノルム空間であり、転置のノルムは${\displaystyle L(W',V')}$は、${\displaystyle T}$で${\displaystyle L(V,W)}$転置のいくつかの性質はハーン・バナッハの定理に依存している。例えば、有界線形写像${\displaystyle T}$密な範囲を持つのは、転置行列の場合に限る。${\displaystyle T'}$単射である。

いつ${\displaystyle T}$これは、2 つのバナッハ空間間のコンパクトな線形写像です。${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$転置${\displaystyle T'}$これはコンパクトである。これはアルツェラ・アスコリの定理を用いて証明できる。

いつ${\displaystyle V}$はヒルベルト空間であり、反線形同型が存在する。${\displaystyle i_{V}}$から${\displaystyle V}$その連続する双対へ${\displaystyle V'}$任意の有界線形写像に対して${\displaystyle T}$の上${\displaystyle V}$転置演算子と随伴演算子は 、$${\displaystyle i_{V}\circ T^{*}=T'\circ i_{V}.}$$ いつ${\displaystyle T}$は、2つの位相ベクトル空間間の連続線形写像である。${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$転置${\displaystyle T'}$連続であるとき${\displaystyle W'}$そして${\displaystyle V'}$「互換性のある」トポロジーを備えています。たとえば、${\displaystyle X=V}$そして${\displaystyle X=W}$両方とも双対${\displaystyle X'}$強力なトポロジーを持つ${\displaystyle \beta (X',X)}$有界集合上での一様収束の${\displaystyle X}$、または両方とも弱い*トポロジーを持つ${\displaystyle \sigma (X',X)}$点ごとの収束について${\displaystyle X}$転置${\displaystyle T'}$連続${\displaystyle \beta (W',W)}$に${\displaystyle \beta (V',V)}$または${\displaystyle \sigma (W',W)}$に${\displaystyle \sigma (V',V)}$。

と仮定する${\displaystyle W}$ノルム空間の閉じた線形部分空間である${\displaystyle V}$、そして、消滅者について考えてみましょう。${\displaystyle W}$で${\displaystyle V'}$、 $${\displaystyle W^{\perp }=\{\varphi \in V':W\subseteq \ker \varphi \}.}$$ 次に、商の双対${\displaystyle V/W}$識別できる${\displaystyle W^{\perp }}$、そして双対${\displaystyle W}$商で識別できる${\displaystyle V'/{W^{\perp }}}$[ ^{21 ]} 実際^、${\displaystyle P}$から正準全射を表す${\displaystyle V}$商に${\displaystyle V/W}$.次に転置${\displaystyle P'}$は等長同型写像である。${\displaystyle (V/W)'}$の中へ${\displaystyle V'}$範囲は${\displaystyle W^{\perp }}$。 もし${\displaystyle j}$注入マップを表す${\displaystyle W}$の中へ${\displaystyle V}$転置の核は${\displaystyle j'}$は、${\displaystyle W}$: $${\displaystyle \ker(j')=W^{\perp }}$$そして、ハーン・バナッハの定理 から次のことが導かれる。${\displaystyle j'}$等長同型を誘導する ${\displaystyle V/W^{\perp }}$。

ノルム空間の双対空間の場合${\displaystyle V}$分離可能であれば、空間も分離可能${\displaystyle V}$それ自体。逆は真ではない。たとえば、空間${\displaystyle l^{1}}$分離可能だが、その双対${\displaystyle \ell ^{\infty }}$そうではない。

代数的二重双対の場合と同様に、常に自然に定義された連続線形演算子が存在する。${\displaystyle \Psi :V\to V''}$規範空間から${\displaystyle V}$連続する二重双対へ${\displaystyle V'}$定義される $${\displaystyle \Psi (x)(\varphi )=\varphi (x),\quad x\in V,\ \varphi \in V'.}$$ハーン・バナッハの定理 の結果として、この写像は実際には等長写像であり、つまり${\displaystyle \|\Psi (x)\|=\|x\|}$すべての人々のために${\displaystyle x\in V}$. マップが正規化された空間${\displaystyle \Psi }$全単射は反射的と呼ばれます。

いつ${\displaystyle V}$位相ベクトル空間である場合${\displaystyle \Psi }$（${\displaystyle x}$) は、すべての場合において、同じ式で定義できます。${\displaystyle x\in V}$しかし、いくつかの困難が生じる。まず、${\displaystyle V}$は局所凸ではないので、連続双対は等しくなる可能性がある。${\displaystyle \{0\}}$そして地図${\displaystyle \Psi }$些細なことだ。しかし、もし${\displaystyle V}$ハウスドルフかつ局所凸であるマップ${\displaystyle \Psi }$は単射である${\displaystyle V}$代数的双対へ${\displaystyle V^{*}}$連続双対の場合、これもハーン・バナッハの定理の結果である。^{[注5 ]}

第二に、局所凸設定においても、連続双対上にいくつかの自然なベクトル空間トポロジーを定義することができる。${\displaystyle V'}$連続二重双対${\displaystyle V''}$は集合として一意に定義されるものではない。${\displaystyle \Psi }$からの地図${\displaystyle V}$に${\displaystyle V''}$言い換えれば、${\displaystyle \Psi (x)}$連続している${\displaystyle V'}$すべての${\displaystyle x\in V}$は、トポロジーに関する妥当な最小要件である。${\displaystyle V'}$すなわち、評価マッピング $${\displaystyle \varphi \in V'\mapsto \varphi (x),\quad x\in V,}$$ 選択されたトポロジーに対して連続である${\displaystyle V'}$さらに、トポロジーの選択肢はまだあります。${\displaystyle V''}$、そして継続性${\displaystyle \Psi }$これはこの選択に依存する。結果として、この枠組みにおける反射性の定義は、規範的な場合よりも複雑になる。