ベクトル空間の複素共役

数学において、複素ベクトル空間の複素共役とは、 と同じ元と加法群構造を持ちながら、スカラー乗算にスカラーの共役が含まれる複素ベクトル空間のことである。言い換えれば、 のスカラー乗算はを満たす 。 ここで はのスカラー乗算であり、 はのスカラー乗算である。 文字はのベクトルを表し、 は複素数であり、の複素共役を表す^[1] ${\displaystyle V\,}$${\displaystyle {\overline {V}}}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle {\overline {V}}}$$${\displaystyle \alpha \,*\,v={\,{\overline {\alpha }}\cdot \,v\,}}$$${\displaystyle *}$${\displaystyle {\overline {V}}}$${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$${\displaystyle \alpha .}$

より具体的には、複素共役ベクトル空間は、共役線型複素構造（ による異なる乗算）を持つ同じ基礎実ベクトル空間（同じ点の集合、同じベクトル加算、および実スカラー乗算）です。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle i}$

とが複素ベクトル空間である場合、関数が反線型であるとは 、 共役ベクトル空間 を使用すると、反線型写像は型の通常の線型写像とみなすことができます。線型性は、次の点に注意して確認します。 逆に、 で定義された任意の線型写像は、上の反線型写像を生じます。${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f:V\to W}$$${\displaystyle f(v+w)=f(v)+f(w)\quad {\text{ および }}\quad f(\alpha v)={\overline {\alpha }}\,f(v)}$$${\displaystyle {\overline {V}}}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle {\overline {V}}\to W.}$$${\displaystyle f(\alpha *v)=f({\overline {\alpha }}\cdot v)={\overline {\overline {\alpha }}}\cdot f(v)=\alpha \cdot f(v)}$$${\displaystyle {\overline {V}}}$${\displaystyle V.}$

これは、右-モジュールを左 - モジュールと見なすことができるように反対環を定義する場合や、反変関数を型の通常の関数と見なすことができるように反対カテゴリを定義する場合と同じ基本原理です。${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{op}}$ ${\displaystyle C\to D}$${\displaystyle C^{op}\to D.}$

線型写像は、 と同じ作用を持つ対応する線型写像を生じます。したがって 、複素共役は、複素ベクトル空間のカテゴリからそれ自体への 関数を定義します。${\displaystyle f:V\to W\,}$${\displaystyle {\overline {f}}:{\overline {V}}\to {\overline {W}}}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle {\overline {f}}}$$${\displaystyle {\overline {f}}(\alpha *v)=f({\overline {\alpha }}\cdot v)={\overline {\alpha }}\cdot f(v)=\alpha *{\overline {f}}(v)}$$${\displaystyle V\mapsto {\overline {V}}}$${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$

とが有限次元で、写像がと の基底に関する複素行列で記述される場合、写像はとの 基底に関する の 複素共役で記述される。${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle W,}$${\displaystyle {\overline {f}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}}$${\displaystyle {\overline {V}}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}}$${\displaystyle {\overline {W}}.}$

ベクトル空間と は複素数上で同じ次元を持ち、したがって複素ベクトル空間として同型である。しかし、からへの 自然な同型性は存在しない。${\displaystyle V}$${\displaystyle {\overline {V}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\overline {V}}.}$

二重共役は${\displaystyle {\overline {\overline {V}}}}$${\displaystyle V.}$

ヒルベルト空間 （有限次元または無限次元）が与えられた場合、その複素共役は連続双対空間と同じベクトル空間になります 。連続線形関数とベクトルの間には1対1の反線型対応があります。言い換えると、上の任意の連続線形関数は、ある固定ベクトルへの内積であり、その逆も同様です。^[要出典]${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {H}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\prime }.}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

したがって、特に有限次元の場合、ベクトルの複素共役は、 （v-ダガー、列ベクトルへの共役転置である行ベクトル）と表記される場合があります。量子力学では、ケットベクトルの共役はブラベクトルと表記されます（ブラケット表記を参照）。 ${\displaystyle v,}$${\displaystyle v^{\dagger}}$${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \,|\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |\,}$

• 反双対空間 – 共役同次加法写像リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 線形複素構造 – 数学の概念
• リース表現定理 – ヒルベルト空間の双対に関する定理
• 共役束

• Budinich, P. および Trautman, A. The Spinorial Chessboard . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (複素共役ベクトル空間についてはセクション 3.3、26 ページで説明します)。