レベル設定

数学において、n 個 の実変数を持つ実数値関数fの水準集合とは、関数が与えられた定数値c をとる集合であり、次のようになります。

${\displaystyle L_{c}(f)=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c\right\}~.}$

独立変数の数が 2 つの場合、レベル セットはレベル曲線、または等高線と呼ばれます。したがって、レベル曲線は、 2 つの変数x ₁とx _{2 の}方程式のすべての実数値解の集合です。n = 3の場合、レベル セットはレベルサーフェス(または等値面) と呼ばれます。したがって、レベル サーフェスは、 3 つの変数x ₁、x ₂、x ₃の方程式のすべての実数値根の集合です。 nの値がこれより大きい場合、レベル セットはレベルハイパーサーフェス、つまりn > 3 の変数の方程式のすべての実数値根の集合です。

レベル セットはファイバーの特殊なケースです。

レベル セットは多くのアプリケーションで、多くの場合は異なる名前で使用されます。たとえば、暗黙の曲線はレベル曲線であり、隣接する曲線とは独立して考慮され、このような曲線が暗黙の方程式によって定義されることを強調します。同様に、レベル サーフェスは暗黙のサーフェスまたは等値面と呼ばれることもあります。

等高線という名前も使われますが、これは等高線を意味します。さまざまな応用分野では、等高線には特定の名前が付けられており、多くの場合、対象関数の値の性質を示します。たとえば、等圧線、等温線、等角線、等時線、等量線、無差別曲線などです。

2 次元ユークリッド距離について考えてみましょう。この関数の等級集合は、原点からの距離にある円 を形成する点から構成されます。たとえば、であるため、 となります。幾何学的には、これは、点が原点を中心とする半径 5 の円上にあることを意味します。より一般的には、を中心とする半径の計量空間の球は、等級集合 として定義できます。 $${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$${\displaystyle L_{r}(d)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (3,4)\in L_{5}(d)}$${\displaystyle d(3,4)=5}$${\displaystyle (3,4)}$ ${\displaystyle (M,m)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle L_{r}(y\mapsto m(x,y))}$

2 番目の例は、右の図に示すヒンメルブラウ関数のプロットです。示されている各曲線は関数の等高線であり、対数的に間隔が空けられています。つまり、曲線が を表す場合、その「内側」にある曲線は を表し、その「外側」にある曲線は を表します。 ${\displaystyle L_{x}}$${\displaystyle L_{x/10}}$${\displaystyle L_{10x}}$

定理:関数f が微分可能である場合、ある点におけるfの 勾配はゼロであるか、その点におけるf の準位集合に垂直であるかのいずれかです

これが何を意味するかを理解するには、2 人のハイカーが山の同じ場所にいるところを想像してください。1 人は大胆で、斜面が最も急な方向に進むことにしました。もう 1 人はより慎重で、登ることも降りることも望まず、同じ高さにとどまる道を選びます。この例えでは、上記の定理は 2 人のハイカーが互いに垂直な方向に出発することを示しています。

この定理（およびその証明）の結果は、fが微分可能であれば、レベル セットは超曲面であり、fの臨界点の外側の多様体であるということです。臨界点では、レベル セットは点（たとえば、 fの局所的極値）に縮小されるか、自己交差点や尖点などの特異点を持つ場合があります 。

フォームのセット

${\displaystyle L_{c}^{-}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\leq c\right\}}$

はfのサブレベル集合（またはfの下位レベル集合、トレンチ）と呼ばれる。fの厳密なサブレベル集合は

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})<c\right\}}$

同様に

${\displaystyle L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\geq c\right\}}$

はfのスーパーレベル集合（またはfの上位レベル集合）と呼ばれる。そしてfの厳密なスーパーレベル集合は

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})>c\right\}}$

サブレベル集合は最小化理論において重要である。ワイエルシュトラスの定理によれば、空でないサブレベル集合の有界性と関数の下半連続性は、関数が最小値を達成することを意味する。すべてのサブレベル集合の凸性は、準凸関数を特徴付ける。^[2]

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