反同型性

数学の一分野である圏論 において、構造化された集合AとB の間の反同型性（または反同型性）は、 AからBの反対のものへの同型性（または同等に、 Aの反対のものからBへの同型性）である。 ^[1] 2つの構造の間に反同型性が存在する場合、それらは反同型であると言われる。

直感的に言えば、2 つの数学的構造が反同型であると言うことは、それらが基本的に互いの反対であると言うことです。

この概念は、たとえば環に適用する場合など、代数的な設定で特に役立ちます。

A を要素 {1,2,3} で構成される二項関係(または有向グラフ)とし、二項関係は次のように定義されます。 ${\displaystyle \rightarrow}$

• ${\displaystyle 1\rightarrow 2,}$
• ${\displaystyle 1\rightarrow 3,}$
• ${\displaystyle 2\rightarrow 1.}$

B を要素 { a、b、c }で構成される二項関係集合とし、二項関係は次のように定義されます。 ${\displaystyle \Rightarrow}$

• ${\displaystyle b\Rightarrow a,}$
• ${\displaystyle c\Rightarrow a,}$
• ${\displaystyle a\Rightarrow b.}$

Bの反対（B ^opと表記）は、反対の二項関係を持つ同じ要素の集合であることに注意してください（つまり、有向グラフのすべての弧を逆にします）。 ${\displaystyle \Leftarrow}$

• ${\displaystyle b\Leftarrow a,}$
• ${\displaystyle c\Leftarrow a,}$
• ${\displaystyle a\Leftarrow b.}$

a、b、c をそれぞれ 1、 2、 3 に置き換えると、 B ^{opの各規則は}Aのいくつかの規則と同じであることがわかります。つまり、によってAからB ^opへの同型性を定義できます。はAとBの間の反同型性です。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi (1)=a,\phi (2)=b,\phi (3)=c}$${\displaystyle \phi}$

圏論の一般言語を代数的環の話題に特化すると、次式が得られる。RとSを環とし、f : R → Sを一対一とする。するとfは環反同型^[2]と なる。

${\displaystyle f(x+_{R}y)=f(x)+_{S}f(y)\ \ \ {\text{および}}\ \ \ f(x\cdot _{R}y)=f(y)\cdot _{S}f(x)\ \ \ {\text{R 内のすべての }}x,y\ に対して。}$

R = Sならばf は環反自己同型である。

環反自己同型の例は、四元数の共役写像によって与えられる：^[3]

${\displaystyle x_{0}+x_{1}\mathbf {i} +x_{2}\mathbf {j} +x_{3}\mathbf {k} \ \ \mapsto \ \ x_{0}-x_{ 1}\mathbf {i} -x_{2}\mathbf {j} -x_{3}\mathbf {k} .}$

• ベア、ラインホルド（2005）[1952]、線形代数と射影幾何学、ドーバー、ISBN 0-486-44565-8
• ジェイコブソン、ネイサン（1948）『環の理論』アメリカ数学会、ISBN 0-8218-1502-4
• パレイギス、ボド（1970）、カテゴリとファンクタ、アカデミックプレス、ISBN 0-12-545150-4