スペクトルの分解（関数解析）

X をバナッハ空間、B ( X ) をX上の有界作用素の族、T ∈ B ( X )とする。定義により、複素数λは、T − λ がB ( X )に逆元を持たない場合、 Tのスペクトルσ ( T )に含まれる。

T − λが単射かつ全射、すなわち全単射である場合、その逆写像は有界である。これは関数解析の開写像定理から直接導かれる。したがって、λ がTのスペクトルに含まれるのは、 T − λ が単射でも全射でもない場合のみである。次の 3 つの場合を区別する。

1. T − λは単射ではありません。つまり、 Xには( T − λ )( x ) = ( T − λ )( y )となるような異なる 2 つの要素x、 yが存在します。このとき、 z = x − yはT ( z ) = λzとなるようなゼロでないベクトルです。言い換えれば、 λは線形代数の意味でTの固有値です。この場合、 λはTの点スペクトルに含まれると言われ、 σ _p ( T )と表記されます。
2. T − λは単射であり、その値域はXの稠密な部分集合Rですが、 X全体ではありません。言い換えれば、 Xのある要素xが存在し、 ( T − λ )( y )は、 yがXに含まれるとき、 xにいくらでも近づけることができますが、 xと等しくなることはありません。この場合、 T − λは下界を持たない（つまり、 Xの遠く離れた要素を近づけすぎる）ことが証明できます。同様に、稠密な部分集合R上で定義される逆線形演算子( T − λ ) ⁻¹は有界演算子ではないため、 X全体に拡張することはできません。この場合、 λ_はTの連続スペクトルσ c ( T )に含まれると言われます。
3. T − λは単射であるが、稠密な像を持たない。つまり、X のある要素 x と x の近傍 N が存在し、( T − λ ) (y )は決してNに含まれない。この場合、写像( T − λ ) ⁻¹ x → xは有界または非有界になる可能性があるが、いずれの場合も、 X全体上の有界線形写像への一意的な拡張は許されない。このとき、 λはTの残余スペクトルσ _r ( T )に含まれると言われる。

したがって、σ ( T )はこれら3つの集合の非交和であり、 $${\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{p}(T)\cup \sigma _{c}(T)\cup \sigma _{r}(T).}$$スペクトルの補数${\displaystyle \sigma (T)}$分解セットとして知られています${\displaystyle \rho (T)}$それは${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$。

さらに、T − λ が密な範囲を持たない場合、それが単射であるか否かにかかわらず、λはTの圧縮スペクトルσ _cp ( T )に含まれると言われます。圧縮スペクトルは、残差スペクトル全体と点スペクトルの一部から構成されます。

非有界作用素のスペクトルは、有界の場合と同様に3つの部分に分割できますが、作用素が至るところで定義されているわけではないため、定義域、逆作用素などの定義はより複雑になります。

この節では、この計算体系の発展について簡単に概説する。まず連続関数計算を確立し、次にリース・マルコフ・カクタニ表現定理を用いて可測関数へと移行するという考え方である。連続関数計算の重要な要素は以下のとおりである。

1. Tが自己共役である場合、任意の多項式Pに対して、演算子ノルムは以下を満たす。$${\displaystyle \|P(T)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|P(\lambda )|.}$$
2. ストーン・ワイエルシュトラスの定理は、（複素係数を持つ）多項式の族が、σ（T ）上の連続関数であるC（σ（T ））において稠密であることを意味する。

族C ( σ ( T )) は、一様ノルムを付与すると バナッハ環になります。したがって、写像は$${\displaystyle P\rightarrow P(T)}$$これは、 C ( σ ( T ))の稠密部分集合からB ( H ) への 等長準同型写像です。写像を連続性で拡張すると、 f ∈ C( σ ( T ))に対してf ( T ) が得られます。P _{n を一様に P n} → f となる多項式とし、f ( T ) = lim P n ( T ₎と定義します。これが連続関数計算です。

固定されたh ∈ Hに対して、次のことが観察される。 $${\displaystyle f\rightarrow \langle h,f(T)h\rangle }$$はC ( σ ( T ) 上の正の線形汎関数である。リース・マルコフ・カクタニ表現定理によれば、 σ ( T ) 上に一意の測度μ _{hが存在し、}$${\displaystyle \int _{\sigma (T)}f\,d\mu _{h}=\langle h,f(T)h\rangle .}$$

この尺度は、hに関連付けられたスペクトル尺度と呼ばれることもあります。スペクトル尺度は、連続関数計算を有界ボレル関数に拡張するために使用できます。ボレル可測な有界関数gに対して、提案されたg ( T ) に対して、次のように定義します。$${\displaystyle \int _{\sigma (T)}g\,d\mu _{h}=\langle h,g(T)h\rangle .}$$

偏極恒等式により、( Hは複素数であると仮定して) を復元できる。$${\displaystyle \langle k,g(T)h\rangle .}$$ したがって、任意のhに対してg ( T ) hとなります。

この文脈では、スペクトル測度と測度論の結果を組み合わせると、σ ( T ) の分解が得られます。

h ∈ Hとし、μ _{h を}σ ( T )上の対応するスペクトル測度とする。ルベーグの分解定理の改良版によれば、μ _{h は}互いに特異な 3 つの部分に分解できる。 $${\displaystyle \mu _{h}=\mu _{\mathrm {ac} }+\mu _{\mathrm {sc} }+\mu _{\mathrm {pp} }}$$ ここで、μ _{ac は}ルベーグ測度に関して絶対連続であり、μ _{sc は}ルベーグ測度に関して特異であり、原子がなく、μ _ppは純点測度である。^{[ 1 ] [ 2 ]}

これら3種類の測度はすべて線形演算の下で不変です。H _{ac を}、スペクトル測度がルベーグ測度に関して絶対連続であるベクトルからなる部分空間とします。H _ppとH _{sc も}同様に定義します。これらの部分空間はTの下で不変です。例えば、h ∈ H _acかつk = T hの場合です。χをσ ( T ) 内のボレル集合の特性関数とすると、$${\displaystyle \langle k,\chi (T)k\rangle =\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\cdot \lambda ^{2}d\mu _{h}(\lambda )=\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\;d\mu _{k}(\lambda )。$$ それで $${\displaystyle \lambda ^{2}d\mu _{h}=d\mu _{k}}$$ そしてk ∈ H _acである。さらに、スペクトル定理を適用すると、 $${\displaystyle H=H_{\mathrm {ac} }\oplus H_{\mathrm {sc} }\oplus H_{\mathrm {pp} }。$$

これにより、以下の定義が得られます。

1. H _acに制限されたTのスペクトルは、Tの絶対連続スペクトルσ _ac ( T )と呼ばれます。
2. H _scに制限されたTのスペクトルは、その特異スペクトルσ _sc ( T ) と呼ばれます。
3. Tの固有値の集合は、Tの純点スペクトルσ _pp ( T )と呼ばれます。

固有値の閉包は、_Hppに制限されたTのスペクトルである。^{[ 3 ] [ nb1 ]} したがって $${\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{\mathrm {ac} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {sc} }(T)\cup {{\bar {\sigma }}_{\mathrm {pp} }(T)}.}$$

ヒルベルト空間上の有界自己共役作用素は、当然ながらバナッハ空間上の有界作用素である。したがって、バナッハ空間上の有界作用素に対して上で達成されたスペクトルの分解をTにも適用することができる。バナッハ空間の定式化とは異なり、和集合は $${\displaystyle \sigma (T)={{\bar {\sigma }}_{\mathrm {pp} }(T)}\cup \sigma _{\mathrm {ac} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {sc} }(T)}$$ 互いに素である必要はない。演算子Tが一様多重度mである場合、つまりTが直和に対する λの乗算とユニタリに等価である場合、互いに素である。$${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{m}L^{2}(\mathbb {R} ,\mu _{i})}$$ ボレル尺度の一部については$\displaystyle \mu _{i}}$上記の式に複数の尺度が現れる場合、3 種類のスペクトルの和集合が互いに素でない可能性があることがわかります。λ ∈ σ ac ( T ) ∩ σ pp ₍ T )_の場合、 λは絶対連続スペクトルに埋め込まれた固有値と呼ばれることがあります。

Tがλによる乗算とユニタリに等価である 場合$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mu ),}$$ボレル関数計算によるσ ( T ) の分解は、バナッハ空間の場合の改良である。

前述のコメントは、リース・マルコフ定理が局所コンパクトハウスドルフ空間に対して成り立つため、非有界自己共役作用素にも拡張できる。

量子力学において、観測量は（多くの場合、無限大の）自己共役演算子であり、そのスペクトルは測定によって得られる可能性のある結果である。

純粋点スペクトルは、束縛状態に対して以下のように対応します。

• 量子状態が束縛状態であるのは、それがすべての時間に対して有限に正規化可能である場合に限る。$\displaystyle t\in \mathbb {R} }$[ ^{4 ]​}
• 観測量が純粋点スペクトルを持つのは、その固有状態が正規直交基底を形成する場合に限る。${\displaystyle H}$[ ^{5 ]​}

粒子が空間の有限領域に「局在」している場合、その粒子は束縛状態にあると言われます。^{[ 6 ]}直感的には、スペクトルの「離散性」は、対応する状態が「局在」していることと密接に関係しているように思えるかもしれません。しかし、綿密な数学的解析によると、これは一般には当てはまりません。^{[ 7 ]}例えば、関数を考えてみましょう。

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}n&{\text{if }}x\in \left[n,n+{\frac {1}{n^{4}}}\right]\\0&{\text{else}}\end{cases}},\quad \forall n\in \mathbb {N} .}$

この関数は正規化可能です（つまり${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$） として

${\displaystyle \int _{n}^{n+{\frac {1}{n^{4}}}}n^{2}\,dx={\frac {1}{n^{2}}}\Rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$

バーゼル問題として知られるこの級数は、${\textstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$。 まだ、${\displaystyle f}$増加する${\displaystyle x\to \infty }$つまり、状態は「無限遠へ逃げる」。アンダーソン局在と動的局在の現象は、固有関数が物理的な意味で局在しているときを記述する。アンダーソン局在とは、固有関数が指数関数的に減衰することを意味する。${\displaystyle x\to \infty }$動的局在化の定義はより微妙である。

量子力学的測定を行う際、局在化していない「固有状態」、例えばL ² ( R ) に含まれない量子状態に遭遇することがあります。これらは絶対連続スペクトルに属する自由状態です。非有界自己共役演算子のスペクトル定理では、これらの状態は、必ずしもスペクトルに属さない「一般化固有値」を持つ観測量の「一般化固有ベクトル」と呼ばれます。あるいは、固有ベクトルと固有値の概念が厳密な議論においても存続することを主張する場合は、リギングされたヒルベルト空間上の演算子を考えることができます。^{[ 8 ]}

スペクトルが純粋に絶対連続である観測量の例としては、実数直線全体上を運動する自由粒子の位置演算子が挙げられる。また、運動量演算子はフーリエ変換によって位置演算子とユニタリー等価であるため、運動量演算子も純粋に絶対連続なスペクトルを持つ。

特異スペクトルは物理的に不可能な結果に対応します。しばらくの間、特異スペクトルは人工的なものだと考えられていました。しかし、ほぼマチュー演算子やランダムシュレーディンガー演算子などの例から、あらゆる種類のスペクトルが物理学において自然に発生することが示されています。^{[ 9 ] [ 10 ]}