量子力学的現象
ラビ振動は、最初は であった 2 レベル システムが、 異なる離調 Δ で に終わる確率を示しています。
|
1 ⟩
{\displaystyle |1\rangle }
|
2 ⟩
{\displaystyle |2\rangle }
物理学 において 、 ラビサイクル （または ラビフロップ ）は、振動駆動場の存在下での 2レベル 量子システムの周期的な動作です。 量子コンピューティング 、 凝縮物質 、原子・分子物理学、核・ 粒子物理学の分野に属するさまざまな物理プロセスは、 2レベル量子力学システム の観点から簡単に研究でき 、光駆動場と結合するとラビフロップを示します。この効果は 量子光学 、 磁気共鳴、量子コンピューティングで重要であり、 イシドール・アイザック・ラビ にちなんで名付けられました 。
2 レベル システムとは、2 つのエネルギー レベルを持つシステムのことです。これらの 2 つのレベルは、エネルギーの低い基底状態と、エネルギーの高い励起状態です。エネルギー レベルが縮退していない (つまり、エネルギーが等しくない) 場合、システムはエネルギー 量子 を吸収し、基底状態から「励起」状態に遷移できます。原子 ( またはその他の 2 レベル システム) がコヒーレントな 光子 ビームで照射されると 、原子は周期的に光子 を吸収し、 誘導放出 によって光子を再放出します 。このようなサイクルの 1 つはラビ サイクルと呼ばれ、その持続時間の逆数が システムの ラビ周波数です。この効果は 、ジェインズ - カミングス モデル と ブロッホ ベクトル 形式を使用してモデル化できます。
数学的記述 この効果の詳細な数学的説明は、ラビ問題 のページにあります 。たとえば、励起エネルギーに調整された周波数の電磁場内の2状態原子（電子が励起状態または基底状態のいずれかにある原子）の場合、励起状態にある原子を見つける確率は、ブロッホ方程式から次のように求められます。
|
ｃ
b
（ t ）
|
2
∝
罪
2
（ ω t
/
2 ） 、
{\displaystyle |c_{b}(t)|^{2}\propto \sin ^{2}(\omega t/2),}
ラビ周波数は
どこですか。
ω
{\displaystyle \omega}
より一般的には、検討中の 2 つのレベルがエネルギー固有状態 ではないシステムを考えることができます 。したがって、システムがこれらのレベルのいずれかで初期化されると、時間の経過によって各レベルの人口が何らかの特性周波数で振動するようになります。その 角周波数 [1] はラビ周波数としても知られています。2 状態量子システムの状態は、2 次元 複素ヒルベルト空間 のベクトルとして表すことができます。つまり、すべての 状態ベクトルは 複素 座標
によって表されます。
|
ψ ⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
|
ψ ⟩ =
（
ｃ
1
ｃ
2
）
=
ｃ
1
（
1
0
）
+
ｃ
2
（
0
1
）
、
{\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},}
ここで 、およびは 座標である。 [2]
c
1
{\displaystyle c_{1}}
c
2
{\displaystyle c_{2}}
ベクトルが正規化されている場合、 と は によって関連付けられます 。基底ベクトルは およびとして表されます 。
c
1
{\displaystyle c_{1}}
c
2
{\displaystyle c_{2}}
|
c
1
|
2
+
|
c
2
|
2
=
1
{\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}
|
0
⟩
=
(
1
0
)
{\displaystyle |0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}
|
1
⟩
=
(
0
1
)
{\displaystyle |1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
このシステムに関連する すべての 観測可能な物理量は2 × 2 エルミート行列 であり、これはシステムの
ハミルトニアン も同様の行列であることを意味します。
派生語 振動 実験は次の手順で 構築できる。 [3]
2レベルシステムを固定状態で準備します。たとえば、
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
状態を ハミルトニアン H の下で時間 tに対して自由に進化させるとしよう。 状態が である 確率を求めよ。
P
(
t
)
{\displaystyle P(t)}
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
がH の固有状態である 場合 、振動は発生しません。また、 と の 2 つの状態が縮退している場合 、 を含むすべての状態は H の固有状態です。その結果、振動は発生しません。
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
P
(
t
)
=
1
{\displaystyle P(t)=1}
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
一方、Hに退化した固有状態がなく、初期状態が固有状態でない場合は、振動が発生します。2状態システムのハミルトニアンの最も一般的な形は、
H
=
(
a
0
+
a
3
a
1
−
i
a
2
a
1
+
i
a
2
a
0
−
a
3
)
{\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}a_{0}+a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&a_{0}-a_{3}\end{pmatrix}}}
ここで、 およびは 実数である。この行列は次のように分解できる。
a
0
,
a
1
,
a
2
{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}}
a
3
{\displaystyle a_{3}}
H
=
a
0
⋅
σ
0
+
a
1
⋅
σ
1
+
a
2
⋅
σ
2
+
a
3
⋅
σ
3
;
{\displaystyle \mathbf {H} =a_{0}\cdot \sigma _{0}+a_{1}\cdot \sigma _{1}+a_{2}\cdot \sigma _{2}+a_{3}\cdot \sigma _{3};}
行列は 2 2 単位行列であり、行列は パウリ行列 です。この分解により、特に と の値が定数である時間に依存しないケースでシステムの解析が簡素化されます。 磁場 内の スピン 1/2 粒子の場合を考えてみましょう 。このシステムの相互作用ハミルトニアンは
σ
0
{\displaystyle \sigma _{0}}
×
{\displaystyle \times }
σ
k
(
k
=
1
,
2
,
3
)
{\displaystyle \sigma _{k}\;(k=1,2,3)}
a
0
,
a
1
,
a
2
{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}}
a
3
{\displaystyle a_{3}}
B
=
B
z
^
{\displaystyle \mathbf {B} =B\mathbf {\hat {z}} }
H
=
−
μ
⋅
B
=
−
γ
S
⋅
B
=
−
γ
B
S
z
{\displaystyle \mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\gamma \mathbf {S} \cdot \mathbf {B} =-\gamma \ B\ S_{z}}
、
S
z
=
ℏ
2
σ
3
=
ℏ
2
(
1
0
0
−
1
)
,
{\displaystyle S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\,\sigma _{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},}
ここで、 は粒子の 磁気モーメント の大きさ、 は 磁気回転比 、 は パウリ行列 のベクトルです 。ここで、ハミルトニアンの固有状態は の固有状態 、つまり および であり 、 の対応する固有値を持ちます 。 状態のシステムが 任意の状態にある確率 は で与えられます 。
μ
{\displaystyle \mu }
γ
{\displaystyle \gamma }
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}
σ
3
{\displaystyle \sigma _{3}}
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
E
+
=
ℏ
2
γ
B
,
E
−
=
−
ℏ
2
γ
B
{\displaystyle E_{+}={\frac {\hbar }{2}}\gamma B\ ,\ E_{-}=-{\frac {\hbar }{2}}\gamma B}
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
|
⟨
ϕ
|
ψ
⟩
|
2
{\displaystyle {|\langle \phi |\psi \rangle |}^{2}}
システムが の時点で の状態に準備されているとします 。 は の固有状態であることに注意してください 。
|
+
X
⟩
{\displaystyle \left|+X\right\rangle }
t
=
0
{\displaystyle t=0}
|
+
X
⟩
{\displaystyle \left|+X\right\rangle }
σ
1
{\displaystyle \sigma _{1}}
|
ψ
(
0
)
⟩
=
1
2
(
1
1
)
=
1
2
(
1
0
)
+
1
2
(
0
1
)
.
{\displaystyle |\psi (0)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.}
ここでハミルトニアンは時間に依存しません。したがって、定常シュレーディンガー方程式を解くと、時間 t 後の状態は、 システムの全エネルギー で与えられます 。したがって、時間 t 後の状態は次のように与えられます。
|
ψ
(
t
)
⟩
=
exp
[
−
i
H
t
ℏ
]
|
ψ
(
0
)
⟩
=
(
exp
[
−
i
E
+
t
ℏ
]
0
0
exp
[
−
i
E
−
t
ℏ
]
)
|
ψ
(
0
)
⟩
,
{\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left[{\frac {-i\mathbf {H} t}{\hbar }}\right]\left|\psi (0)\right\rangle ={\begin{pmatrix}\exp \left[{\tfrac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]&0\\0&\exp \left[{\tfrac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\end{pmatrix}}|\psi (0)\rangle ,}
E
{\displaystyle E}
|
ψ
(
t
)
⟩
=
e
−
i
E
+
t
ℏ
1
2
|
0
⟩
+
e
−
i
E
−
t
ℏ
1
2
|
1
⟩
{\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle }
。 ここで、時刻 t に x 方向のスピンが測定されるとします。スピンアップが見つかる確率は次のように与えられます。 ここで、 は で与えられる 特性 角周波数 で、 と仮定されています 。 [4] したがって、この場合、システムのスピンが最初に 方向にあるとき、 x 方向のスピンアップが見つかる確率は時間とともに振動します 。同様に、 -方向のスピンを測定すると、 システムの としてスピンが測定される確率はです 。 となる退化したケースでは 、特性周波数は 0 で振動はありません。
|
⟨
+
X
|
ψ
(
t
)
⟩
|
2
=
|
⟨
0
|
+
⟨
1
|
2
(
1
2
exp
[
−
i
E
+
t
ℏ
]
|
0
⟩
+
1
2
exp
[
−
i
E
−
t
ℏ
]
|
1
⟩
)
|
2
=
cos
2
(
ω
t
2
)
,
{\displaystyle {\left|\langle +X|\psi (t)\rangle \right|}^{2}={\left|{\frac {\left\langle 0\right|+\left\langle 1\right|}{\sqrt {2}}}\left({{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]\left|0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\left|1\right\rangle }\right)\right|}^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\omega t}{2}}\right),}
ω
{\displaystyle \omega }
ω
=
E
+
−
E
−
ℏ
=
γ
B
{\displaystyle \omega ={\frac {E_{+}-E_{-}}{\hbar }}=\gamma B}
E
−
≤
E
+
{\displaystyle E_{-}\leq E_{+}}
t
{\displaystyle t}
|
+
X
⟩
{\displaystyle \left|+X\right\rangle }
|
+
Z
⟩
{\displaystyle \left|+Z\right\rangle }
ℏ
2
{\displaystyle {\tfrac {\hbar }{2}}}
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
E
+
=
E
−
{\displaystyle E_{+}=E_{-}}
システムが特定のハミルトニアンの固有状態にある場合、システムはその状態のままであることに注意してください。
これは時間依存ハミルトニアンにも当てはまります。例えば 、システムの初期スピン状態が の場合 、y方向のスピン測定が 時間に となる確率 は です 。 [5]
H
^
=
−
γ
S
z
B
sin
(
ω
t
)
{\textstyle {\hat {H}}=-\gamma \ S_{z}B\sin(\omega t)}
|
+
Y
⟩
{\displaystyle \left|+Y\right\rangle }
+
ℏ
2
{\displaystyle +{\tfrac {\hbar }{2}}}
t
{\displaystyle t}
|
⟨
+
Y
|
ψ
(
t
)
⟩
|
2
=
cos
2
(
γ
B
2
ω
cos
(
ω
t
)
)
{\textstyle {\left|\left\langle \,+Y|\psi (t)\right\rangle \right|}^{2}\,=\cos ^{2}\left({\frac {\gamma B}{2\omega }}\cos \left({\omega t}\right)\right)}
パウリ行列による 形式のハミルトニアンを考えます。 この行列の固有値は およびで与えられ、 となる ため、 を取ることができます 。
H
^
=
E
0
⋅
σ
0
+
W
1
⋅
σ
1
+
W
2
⋅
σ
2
+
Δ
⋅
σ
3
=
(
E
0
+
Δ
W
1
−
i
W
2
W
1
+
i
W
2
E
0
−
Δ
)
.
{\displaystyle {\hat {H}}=E_{0}\cdot \sigma _{0}+W_{1}\cdot \sigma _{1}+W_{2}\cdot \sigma _{2}+\Delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}.}
λ
+
=
E
+
=
E
0
+
Δ
2
+
W
1
2
+
W
2
2
=
E
0
+
Δ
2
+
|
W
|
2
λ
−
=
E
−
=
E
0
−
Δ
2
+
W
1
2
+
W
2
2
=
E
0
−
Δ
2
+
|
W
|
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{+}&=E_{+}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}\\\lambda _{-}&=E_{-}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}},\end{aligned}}}
W
=
W
1
+
i
W
2
{\displaystyle \mathbf {W} =W_{1}+iW_{2}}
|
W
|
2
=
W
1
2
+
W
2
2
=
W
W
∗
{\displaystyle {\left\vert W\right\vert }^{2}={W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}=WW^{*}}
W
=
|
W
|
e
i
ϕ
{\displaystyle \mathbf {W} ={\left\vert W\right\vert }e^{i\phi }}
ここで、 の固有ベクトルは 次式から求められます。 したがって、 固有ベクトルに正規化条件を適用すると、 となります 。 したがって、および と します 。 したがって、 となります 。
E
+
{\displaystyle E_{+}}
(
E
0
+
Δ
W
1
−
i
W
2
W
1
+
i
W
2
E
0
−
Δ
)
(
a
b
)
=
E
+
(
a
b
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=E_{+}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}.}
b
=
−
a
(
E
0
+
Δ
−
E
+
)
W
1
−
i
W
2
.
{\displaystyle b=-{\frac {a\left(E_{0}+\Delta -E_{+}\right)}{W_{1}-iW_{2}}}.}
|
a
|
2
+
|
b
|
2
=
1
{\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert b\right\vert }^{2}=1}
|
a
|
2
+
|
a
|
2
(
Δ
|
W
|
−
Δ
2
+
|
W
|
2
|
W
|
)
2
=
1.
{\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}\left({\frac {\Delta }{\left\vert W\right\vert }}-{\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\left\vert W\right\vert }}\right)^{2}=1.}
sin
θ
=
|
W
|
Δ
2
+
|
W
|
2
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}}
cos
θ
=
Δ
Δ
2
+
|
W
|
2
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\Delta }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}}
tan
θ
=
|
W
|
Δ
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\Delta }}}
したがって、 が得られます 。つまり 、 という恒等式を使用します 。
|
a
|
2
+
|
a
|
2
(
1
−
cos
θ
)
2
sin
2
θ
=
1
{\textstyle {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}{\frac {({1-\cos \theta })^{2}}{\sin ^{2}\theta }}=1}
|
a
|
2
=
cos
2
(
θ
2
)
{\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}=\cos ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)}
tan
(
θ
2
)
=
1
−
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
{\textstyle \tan({\tfrac {\theta }{2}})={\tfrac {1-\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}}
に対する の位相は であるべきです 。
a
{\textstyle a}
b
{\textstyle b}
−
ϕ
{\textstyle -\phi }
実数とすると 、固有値の固有ベクトルは次 のように表されます 。 同様に、固有エネルギーの固有ベクトルは 次のように表すことができます。 この 2 つの方程式から、 次のように記述できます。 システムが時刻 の状態で開始するとします。 つまり、 時間に依存しないハミルトニアンの場合、時刻 t 以降、状態は次のように変化します。 システムが またはのいずれかの固有状態にある場合 、同じ状態のままになります。 ただし、時間に依存するハミルトニアンと上記のような一般的な初期状態の場合、時間変化は単純ではありません。 結果として得られるラビ振動の式は、スピン状態をフィールドとともに回転する基準フレームで見ることができるため有効です。 [6]
a
{\textstyle a}
E
+
{\displaystyle E_{+}}
|
E
+
⟩
=
(
cos
(
θ
2
)
e
i
ϕ
sin
(
θ
2
)
)
=
cos
(
θ
2
)
|
0
⟩
+
e
i
ϕ
sin
(
θ
2
)
|
1
⟩
.
{\displaystyle \left|E_{+}\right\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\\e^{i\phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\end{pmatrix}}=\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle +e^{i\phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle .}
E
−
{\textstyle E_{-}}
|
E
−
⟩
=
sin
(
θ
2
)
|
0
⟩
−
e
i
ϕ
cos
(
θ
2
)
|
1
⟩
.
{\displaystyle \left|E_{-}\right\rangle =\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle -e^{i\phi }\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle .}
|
0
⟩
=
cos
(
θ
2
)
|
E
+
⟩
+
sin
(
θ
2
)
|
E
−
⟩
|
1
⟩
=
e
−
ı
ϕ
sin
(
θ
2
)
|
E
+
⟩
−
e
−
ı
ϕ
cos
(
θ
2
)
|
E
−
⟩
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|0\right\rangle &=\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle \\\left|1\right\rangle &=e^{-\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle -e^{-\imath \phi }\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle .\end{aligned}}}
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
t
=
0
{\textstyle t=0}
|
ψ
(
0
)
⟩
=
|
0
⟩
=
cos
(
θ
2
)
|
E
+
⟩
+
sin
(
θ
2
)
|
E
−
⟩
.
{\displaystyle \left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\left|0\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle .}
|
ψ
(
t
)
⟩
=
e
−
i
H
^
t
ℏ
|
ψ
(
0
)
⟩
=
cos
(
θ
2
)
e
−
i
E
+
t
ℏ
|
E
+
⟩
+
sin
(
θ
2
)
e
−
i
E
−
t
ℏ
|
E
−
⟩
.
{\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle =e^{\frac {-i{\hat {H}}t}{\hbar }}\left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\left|E_{-}\right\rangle .}
|
E
+
⟩
{\displaystyle |E_{+}\rangle }
|
E
−
⟩
{\displaystyle |E_{-}\rangle }
時刻 t におけるシステムが状態にあることを検出する確率振幅は、 次のように与えられます 。
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
⟨
1
|
ψ
(
t
)
⟩
=
e
i
ϕ
sin
(
θ
2
)
cos
(
θ
2
)
(
e
−
i
E
+
t
ℏ
−
e
−
i
E
−
t
ℏ
)
{\textstyle \left\langle \ 1|\psi (t)\right\rangle =e^{i\phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right)}
状態にあるシステムが 状態にあると判明する確率は次 のように与えられる。 これは次のように簡略化できる。
|
ψ
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\psi (t)\rangle }
|
1
⟩
{\textstyle |1\rangle }
P
0
→
1
(
t
)
=
|
⟨
1
|
ψ
(
t
)
⟩
|
2
=
e
−
ı
ϕ
sin
(
θ
2
)
cos
(
θ
2
)
(
e
+
ı
E
+
t
ℏ
−
e
+
ı
E
−
t
ℏ
)
e
+
ı
ϕ
sin
(
θ
2
)
cos
(
θ
2
)
(
e
−
ı
E
+
t
ℏ
−
e
−
ı
E
−
t
ℏ
)
=
sin
2
θ
4
(
2
−
2
cos
(
(
E
+
−
E
−
)
t
ℏ
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{0\to 1}(t)&={|\langle \ 1|\psi (t)\rangle |}^{2}\\&=e^{-\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {+\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {+\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)e^{+\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)\\&={\frac {\sin ^{2}{\theta }}{4}}\left(2-2\cos \left({\frac {\left(E_{+}-E_{-}\right)t}{\hbar }}\right)\right)\end{aligned}}}
これは、システムが元々状態 にあるときに、 状態 にあるシステムを見つける確率が有限であることを示しています 。この確率は角周波数 で振動しており 、これは単にシステムの固有のボーア周波数であり、ラビ周波数とも呼ばれます。式 ( 1 ) は ラビの 公式として知られています。時間 t の後にシステムが状態 にある確率 は で与えられ 、これも振動しています。
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
ω
=
E
+
−
E
−
2
ℏ
=
Δ
2
+
|
W
|
2
ℏ
{\displaystyle \omega ={\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}={\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\hbar }}}
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
|
⟨
0
|
ψ
(
t
)
⟩
|
2
=
1
−
sin
2
(
θ
)
sin
2
(
(
E
+
−
E
−
)
t
2
ℏ
)
{\displaystyle {|\langle \ 0|\psi (t)\rangle |}^{2}=1-\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)}
2 レベル システムのこのようなタイプの振動はラビ振動と呼ばれ、 ニュートリノ振動 、 イオン化水素分子 、 量子コンピューティング 、 アンモニア メーザー など
の多くの問題で発生します。
アプリケーション ラビ効果は量子光学、磁気共鳴、量子コンピューティングにおいて重要です。
量子光学
量子コンピューティング 任意の 2 状態量子システムを使用して、 キュービット をモデル化できます。 磁気モーメントを持つ スピン システムを 古典的な磁場 内に配置して考えます 。をシステムの 磁気回転比 とします 。したがって、磁気モーメントは です 。このシステムのハミルトニアンは で与えられ、 ここ でおよび です。このハミルトニアンの 固有値 と 固有ベクトルは 、上記の手順で 求めることができます。ここで、キュービットが の 時点で状態 にあるとします 。すると、 の時点で 状態 にある確率 は で与えられ、 ここでです 。この現象はラビ振動と呼ばれます。したがって、キュービットは 状態 と 状態の間を振動します。振動の最大振幅は で達成され、これが 共鳴 の条件です 。共鳴では、遷移確率は で与えられます。状態から 状態へ 移行するには、 回転磁場が または となるように作用する 時間 を調整すれば十分です 。これはパルスと呼ばれます 。0 と の中間の時間を選択すると、 と の重ね合わせが得られます 。特に の場合 、 パルスは のように機能します 。この操作は量子コンピューティングにおいて極めて重要です。一般によく満たされる回転波近似が行われると、レーザー場内の 2 レベル原子の場合、方程式は本質的に同一になります。この場合、 は 2 つの原子レベル間のエネルギー差、 はレーザー波の周波数、 ラビ周波数は 原子の遷移電気双極子モーメントと レーザー波の 電場の積に比例します 。つまり、ラビ振動は量子ビットを操作するために使用される基本的なプロセスです。これらの振動は、適切に調整された時間間隔で量子ビットを周期的な電場または磁場にさらすことによって得られます。 [7]
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
μ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}
B
=
B
0
z
^
+
B
1
(
cos
(
ω
t
)
x
^
−
sin
(
ω
t
)
y
^
)
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}=B_{0}\ {\hat {z}}+B_{1}\left(\cos {(\omega t)}\ {\hat {x}}-\sin {(\omega t)}\ {\hat {y}}\right)}
γ
{\displaystyle \gamma }
μ
=
ℏ
2
γ
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {\hbar }{2}}\gamma {\boldsymbol {\sigma }}}
H
=
−
μ
⋅
B
=
−
ℏ
2
ω
0
σ
z
−
ℏ
2
ω
1
(
σ
x
cos
ω
t
−
σ
y
sin
ω
t
)
{\displaystyle \mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{0}\sigma _{z}-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{1}(\sigma _{x}\cos \omega t-\sigma _{y}\sin \omega t)}
ω
0
=
γ
B
0
{\displaystyle \omega _{0}=\gamma B_{0}}
ω
1
=
γ
B
1
{\displaystyle \omega _{1}=\gamma B_{1}}
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
t
=
0
{\displaystyle t=0}
t
{\displaystyle t}
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
P
0
→
1
(
t
)
=
(
ω
1
Ω
)
2
sin
2
(
Ω
t
2
)
{\displaystyle P_{0\to 1}(t)=\left({\frac {\omega _{1}}{\Omega }}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)}
Ω
=
(
ω
−
ω
0
)
2
+
ω
1
2
{\displaystyle \Omega ={\sqrt {(\omega -\omega _{0})^{2}+\omega _{1}^{2}}}}
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
ω
=
ω
0
{\displaystyle \omega =\omega _{0}}
P
0
→
1
(
t
)
=
sin
2
(
ω
1
t
2
)
{\displaystyle P_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}\left({\frac {\omega _{1}t}{2}}\right)}
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
t
{\displaystyle t}
ω
1
t
2
=
π
2
{\displaystyle {\frac {\omega _{1}t}{2}}={\frac {\pi }{2}}}
t
=
π
ω
1
{\displaystyle t={\frac {\pi }{\omega _{1}}}}
π
{\displaystyle \pi }
π
ω
1
{\displaystyle {\frac {\pi }{\omega _{1}}}}
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
t
=
π
2
ω
1
{\displaystyle t={\frac {\pi }{2\omega _{1}}}}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
|
0
⟩
→
|
0
⟩
+
i
|
1
⟩
2
{\displaystyle |0\rangle \to {\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}}}
ℏ
ω
0
{\displaystyle \hbar \omega _{0}}
ω
{\displaystyle \omega }
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}}
d
→
{\displaystyle {\vec {d}}}
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
ω
1
∝
ℏ
d
→
⋅
E
→
{\displaystyle \omega _{1}\propto \hbar \ {\vec {d}}\cdot {\vec {E}}}
参照
参考文献
^ ラビ振動、ラビ周波数、誘導放出。レーザー物理と技術百科事典。 ^ グリフィス、デイビッド（2005年）。 量子力学入門 （第2版）。341ページ。 ^ Sourendu Gupta (2013年8月27日). 「2状態システムの物理学」 (PDF) . タタ基礎研究所. ^ グリフィス、デイビッド（2012年）。 量子力学入門 （第2版）p.191。 ^ グリフィス、デイビッド（2012年）。 量子力学入門 （第2版）p.196 ISBN 978-8177582307 ^ Merlin, R. (2021) . 「ラビ振動、フロケ状態、フェルミの黄金律、そしてそのすべて：正確に解ける2レベルモデルからの洞察」。 アメリカ物理学ジャーナル 。89 （1） ： 26–34。Bibcode ：2021AmJPh..89 ... 26M。doi ： 10.1119/ 10.0001897。S2CID 234321681 。 ^ ミシェル・ル・ベラック著 『量子情報と量子計算入門』 ISBN 978-0521860567
量子力学 第 1 巻、C. Cohen-Tannoudji、Bernard Diu、Frank Laloe 著、 ISBN 9780471164333 ミシェル・ル・ベラック著『 量子情報と量子計算への短い入門』 、 ISBN 978-0521860567 ファインマン物理学講義第3巻 ジョン・S・タウンゼント著『 量子力学への現代的アプローチ』 ISBN 9788130913148 
![{\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left[{\frac {-i\mathbf {H} t}{\hbar }}\right]\left|\psi (0)\right\rangle ={\begin{pmatrix}\exp \left[{\tfrac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]&0\\0&\exp \left[{\tfrac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\end{pmatrix}}|\psi (0)\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b208e53ef7527aa663e799b7e8ca14f211154f)
![{\displaystyle {\left|\langle +X|\psi (t)\rangle \right|}^{2}={\left|{\frac {\left\langle 0\right|+\left\langle 1\right|}{\sqrt {2}}}\left({{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]\left|0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\left|1\right\rangle }\right)\right|}^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\omega t}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2093038f688493b9150d7a4d1dd0150b63da00)
