クローン禁止定理

物理学において、クローン禁止定理は、任意の未知の量子状態の独立した同一のコピーを作成することは不可能であると述べており、この定理は量子コンピューティングの分野をはじめとする多くの分野で重大な意味を持つ。この定理は、1970年にジェームズ・L・パークによって提唱されたノーゴー定理^{[ 1 ] [ 2 ]}の発展形であり、単純かつ完全な非妨害測定スキームは存在し得ないことを示している（同じ結果は、1982年にウィリアム・ウーターズと ヴォイチェフ・H・ズレク^{[ 3 ]}、およびデニス・ディークス^{[ 4 ]}によって独立に導出されている）。上記の定理は、あるシステムの状態が別のシステムの状態と絡み合うことを排除するものではない。クローンとは、同一の因子を持つ分離可能な状態の作成を指すからである。例えば、制御NOTゲートとウォルシュ・アダマールゲートを使用すれば、もつれた状態のサブシステムで明確に定義された状態を定義できないため、クローン禁止定理に違反することなく2つの量子ビットをもつれさせることができます。クローン禁止定理（一般的に理解されているもの）は純粋状態のみに関係しますが、混合状態に関する一般化された記述はブロードキャスト禁止定理として知られています。クローン禁止定理には、時間反転した双対である削除禁止定理があります。

Asher Peres ^{[ 5 ]}とDavid Kaiser ^{[ 6 ]}によると、Wootters と Zurek [ 3 ] および Dieks [ 4 ] による 1982 年のノークローニング定理の証明の発表は、量子もつれを利用した超光速通信装置に関する Nick Herbert [ 7 ] の提案がきっかけであり、Giancarlo Ghirardi [ 8 ] は、WoottersとZurek^{による証明の}発表の^18か月前に、その提案^{に対する査読レポート}で定理を^証明していた (編集者からの手紙^{[ 8 ]}で証明されている)。しかし、Juan Ortigoso ^{[ 9 ]}は 2018 年に、量子力学における単純な非擾乱測定の欠如という観点からの解釈とともに完全な証明が Park によって 1970 年に既に提供されていたことを指摘した^{[ 1 ] 。}

共通のヒルベルト空間を持つ2つの量子系AとBがあると仮定します。${\displaystyle H=H_{A}=H_{B}}$状態をコピーする手順が必要だと仮定します。${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$量子系Aの状態について${\displaystyle |e\rangle _{B}}$量子系Bの任意の初期状態について${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$（ブラケット表記を参照）。つまり、状態から始めると${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}}$私たちは最終的に州にしたい${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}}$状態Aの「コピー」を作成するために、未知の初期状態、または空白状態のシステムBと組み合わせます。${\displaystyle |e\rangle _{B}}$独立して${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$それについては、我々は事前に何も知らなかった。

初期複合システムの現在の状態は、次のテンソル積によって記述される。 $${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}.}$$ （以下では省略します）${\displaystyle \otimes }$シンボルとして扱い、暗黙的に保持する）。

複合システムを操作するために許容される量子操作は、以下の2つのみです。

• 観測を行うと、システムは不可逆的にある観測量の固有状態に崩壊し、量子力学システムに含まれる情報が損なわれてしまう。これは明らかに我々が望むことではない。
• あるいは、結合システムのハミルトニアン、ひいては時間発展演算子U ( t ) を制御することもできます。例えば、時間に依存しないハミルトニアンの場合、${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$ある一定の時間まで進化する$t0$ユニタリ演算子Uを生成する${\displaystyle H\otimes H}$は、結合システムのヒルベルト空間である。しかし、そのようなユニタリ演算子U はすべての状態を複製することはできない。

クローン禁止定理は、次の質問に否定的に答えます。に作用するユニタリ演算子U を構成することは可能でしょうか。${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}=H\otimes H}$システムBの状態は、システムAの状態に関係なく、常にシステムAの状態へと進化する、という条件を満たすか？

追加の位相因子は、量子力学的状態がヒルベルト空間内の正規化されたベクトルを位相因子を除いて定義する、つまり射影ヒルベルト空間の要素として定義するという事実を表しています。

この定理を証明するために、任意の2つの状態を選択する。${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$そして${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ヒルベルト空間において${\displaystyle H}$Uはユニタリであると想定されている ため、$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \phi |\psi \rangle \langle e|e\rangle &\equiv \langle \phi |_{A}\langle e|_{B}|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}\\&=\langle \phi |_{A}\langle e|_{B}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}\\&=e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |_{A}\langle \phi |_{B}|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}\\&\equiv e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |\psi \rangle ^{2}.\end{aligned}}}$$ 量子状態${\displaystyle |e\rangle }$は正規化されていると仮定すると、次のようになる。 $${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |^{2}=|\langle \phi |\psi \rangle |.}$$

これは、${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |=1}$または${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |=0}$したがって、コーシー・シュワルツの不等式により、${\displaystyle |\phi \rangle =e^{i\beta }|\psi \rangle }$または${\displaystyle |\phi \rangle }$は直交する${\displaystyle |\psi \rangle }$しかし、これは任意の2つの状態には当てはまりません。したがって、単一の普遍的Uは一般的な量子状態を複製することはできません。これが非複製定理を証明します。

例えば量子ビットを考えてみましょう。量子ビットは、確率振幅と呼ばれる2つの複素数（1に正規化）で表すことができます。これは、3つの実数（2つの極角と1つの半径）です。古典コンピュータで任意のコピー＆ペースト操作を使用して3つの数値をコピーすることは（有限の精度を除いて）簡単ですが、量子ビットがユニタリ変換（例えば、アダマール量子ゲートによる）によって偏光されると問題が生じます（このユニタリ変換は全射等長変換です）。このような場合、量子ビットは2つの実数（1つの極角と1つの半径が1）だけで表すことができますが、3つ目の値はこのような表現では任意です。しかし、量子ビットの実現（例えば、偏光符号化光子）は、その「構造」内に量子ビット全体の情報を保持することができます。したがって、クローン禁止定理によれば、単一の普遍的なユニタリ進化Uは任意の量子状態をクローンすることはできません。それは変換された量子ビット（初期）状態に依存する必要があり、したがって普遍的なものではなかっただろう。

定理の記述では、2 つの仮定がなされています。コピーされる状態は純粋状態であり、提案されたコピー機はユニタリ時間発展によって動作します。これらの仮定は一般性を損なうものではありません。コピーされる状態が混合状態である場合、それを「純粋化」、つまりより大きなシステムの純粋状態として扱うことができます。あるいは、混合状態に直接作用する別の証明を与えることもできます。この場合、この定理はしばしば非ブロードキャスト定理として知られています。^{[ 10 ] [ 11 ]} 同様に、任意の量子操作は、補助系を導入し、適切なユニタリ発展を実行することによって実装できます。 したがって、非クローニング定理は完全な一般性で成り立ちます。

• クローニング禁止定理は、量子状態に対して特定の古典的な誤り訂正技術を使用することを妨げます。例えば、量子計算の途中の状態のバックアップコピーを作成して、後続の誤りを訂正するために使用することはできません。誤り訂正は実用的な量子コンピューティングにとって不可欠ですが、しばらくの間、それが可能かどうかは不明でした。1995年、ショアとスティーンは、クローニング禁止定理を回避する最初の量子誤り訂正符号をそれぞれ独立に考案することで、それが可能であることを示しました。
• 同様に、クローン作成はテレポート禁止定理に違反する。この定理は、量子状態を古典ビット列（無限ビット列であっても）に変換し、そのビット列を新しい場所にコピーして、新しい場所で元の量子状態のコピーを再現することは不可能であると述べている。これは、量子状態をある場所で破壊し、別の場所でその正確なコピーを再現することを可能にする、量子もつれを利用したテレポートとは混同してはならない。
• クローン禁止定理は通信禁止定理によって暗示される。この定理は、量子もつれは古典情報（超光速であろうとそれより遅い速度であろうと）の伝送には使用できないと述べている。つまり、クローンと量子もつれが組み合わさると、そのような通信が可能になる。これを理解するには、EPR思考実験を考え、量子状態をクローンできると仮定する。最大もつれベル状態の一部がアリスとボブに分配されると仮定する。アリスは次のようにしてボブにビットを送信できる。アリスが「0」を送信したい場合、 z方向の電子のスピンを測定し、ボブの状態を${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$または${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$アリスが「1」を送信するには、自分の量子ビットには何も操作を加えません。ボブは電子の状態を多数コピーし、それぞれのコピーのz方向のスピンを測定します。ボブは、すべての測定結果が同じであれば、アリスが「0」を送信したことを知ることができます。そうでなければ、測定結果は異なります。${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$または${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$等しい確率で。これにより、アリスとボブは互いに古典的なビットを通信できるようになる（空間的な距離を越えて、因果律に違反する可能性がある）。
• クローン禁止定理は、ブラックホールのホログラフィック原理を、事象の地平線に情報のコピーが1つ、ブラックホールの内部に情報のコピーが1つ存在するという意味に解釈することを妨げる。これは、ブラックホールの相補性など、より根本的な解釈につながる。

未知の量子状態の完全なコピーを作成することは不可能ですが、不完全なコピーを作成することは可能です。これは、クローン作成対象のシステムに、より大きな補助システムを結合し、結合システムにユニタリ変換を適用することによって実現できます。ユニタリ変換が正しく選択されていれば、結合システムのいくつかのコンポーネントは、元のシステムの近似コピーへと進化します。1996年、V. BuzekとM. Hilleryは、ユニバーサルクローニングマシンが、驚くほど高い忠実度5/6で未知の状態のクローンを作成できることを示しました。^{[ 12 ]}

不完全な量子クローニングは、量子情報科学における他の用途の中でも、量子暗号プロトコルに対する 盗聴攻撃として利用できる。

• V. Buzek および M. Hillery、「量子クローニング」、Physics World 14 (11) (2001)、pp.  25 – 29。