通勤観測量の完全なセット

上記の2つの観測量を考慮する${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$完全なケットの集合が存在すると仮定します。${\displaystyle \{|\psi _{n}\rangle \}}$そのすべての要素は同時に${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$すると、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は互換性がある。 の固有値を とすると${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$対応する${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$それぞれ${\displaystyle a_{n}}$そして${\displaystyle b_{n}}$書くことができる

${\displaystyle A|\psi _{n}\rangle =a_{n}|\psi _{n}\rangle }$

${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle }$

システムがたまたま固有状態のいずれかにある場合、${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$すると両方とも${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$任意の精度レベルで同時に測定することができ、結果が得られます${\displaystyle a_{n}}$そして${\displaystyle b_{n}}$それぞれ。この考え方は、2つ以上の観測量にも拡張できる。

位置演算子のデカルト成分${\displaystyle \mathbf {r} }$は${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$そして${\displaystyle z}$これらの成分はすべて互換性があります。同様に、運動量演算子のデカルト成分も互換性があります。${\displaystyle \mathbf {p} }$つまり${\displaystyle p_{x}}$、${\displaystyle p_{y}}$そして${\displaystyle p_{z}}$互換性もあります。

角運動量演算子の2つの成分${\displaystyle \mathbf {L} }$可換ではないが、可換関係を満たす。

${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}$

したがって、CSCO には 1 つのコンポーネントを超えるものを含めることはできません。${\displaystyle \mathbf {L} }$角運動量演算子の二乗は、${\displaystyle L^{2}}$通勤する${\displaystyle \mathbf {L} }$。

${\displaystyle [L_{x},L^{2}]=0,[L_{y},L^{2}]=0,[L_{z},L^{2}]=0}$

また、ハミルトニアン${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}-{\frac {Ze^{2}}{r}}}$は関数である${\displaystyle r}$のみであり、回転不変性を持ち、${\displaystyle \mu }$はシステムの換算質量です。${\displaystyle \mathbf {L} }$回転の生成子であることから、次のことが示せる。

${\displaystyle [\mathbf {L} ,H]=0,[L^{2},H]=0}$

したがって、可換集合は以下から構成される。${\displaystyle L^{2}}$の構成要素の1つ${\displaystyle \mathbf {L} }$（これは${\displaystyle L_{z}}$） そして${\displaystyle H}$問題の解は、電子のスピンを無視すると、セット${\displaystyle \{H,L^{2},L_{z}\}}$CSCOを形成します。${\displaystyle |E_{n},l,m\rangle }$は水素様原子のヒルベルト空間における任意の基底状態とする。すると

${\displaystyle H|E_{n},l,m\rangle =E_{n}|E_{n},l,m\rangle }$

${\displaystyle L^{2}|E_{n},l,m\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|E_{n},l,m\rangle }$

${\displaystyle L_{z}|E_{n},l,m\rangle =m\hbar |E_{n},l,m\rangle }$

つまり、固有値の集合${\displaystyle \{E_{n},l,m\}}$あるいはもっと簡単に言うと、${\displaystyle \{n,l,m\}}$水素原子の固有の固有状態を完全に規定する。

自由粒子の場合、ハミルトニアンは${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$は並進に対して不変である。並進はハミルトニアンと可換である。${\displaystyle [H,\mathbf {\hat {T}} ]=0}$しかし、ハミルトニアンを並進演算子の基底で表現すると、次のようになる。${\displaystyle H}$は二重縮退した固有値を持つ。この場合、CSCO を作るには、パリティ演算子と呼ばれる別の演算子が必要であることが示される。${\displaystyle \Pi }$、したがって${\displaystyle [H,\Pi ]=0}$。${\displaystyle \{H,\Pi \}}$CSCOを形成する。

もう一度、${\displaystyle |k\rangle }$そして${\displaystyle |-k\rangle }$の縮退した固有状態である${\displaystyle H}$固有値に対応する${\displaystyle H_{k}={\frac {{\hbar ^{2}}{k^{2}}}{2m}}}$つまり

${\displaystyle H|k\rangle ={\frac {{\hbar ^{2}}{k^{2}}}{2m}}|k\rangle }$

${\displaystyle H|-k\rangle ={\frac {{\hbar ^{2}}{k^{2}}}{2m}}|-k\rangle }$

退廃${\displaystyle H}$運動量演算子によって除去される${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$。

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} |k\rangle =k|k\rangle }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} |-k\rangle =-k|-k\rangle }$

それで、${\displaystyle \{\mathbf {\hat {p}} ,H\}}$CSCOを形成する。

我々は、それぞれ角運動量演算子を持つ2つのシステム1と2の場合を考察する。${\displaystyle \mathbf {J_{1}} }$そして${\displaystyle \mathbf {J_{2}} }$の固有状態を記述することができます ${\displaystyle J_{1}^{2}}$そして${\displaystyle J_{1z}}$として${\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle }$そして${\displaystyle J_{2}^{2}}$そして${\displaystyle J_{2z}}$として${\displaystyle |j_{2}m_{2}\rangle }$。

${\displaystyle J_{1}^{2}|j_{1}m_{1}\rangle =j_{1}(j_{1}+1)\hbar ^{2}|j_{1}m_{1}\rangle }$

${\displaystyle J_{1z}|j_{1}m_{1}\rangle =m_{1}\hbar |j_{1}m_{1}\rangle }$

${\displaystyle J_{2}^{2}|j_{2}m_{2}\rangle =j_{2}(j_{2}+1)\hbar ^{2}|j_{2}m_{2}\rangle }$

${\displaystyle J_{2z}|j_{2}m_{2}\rangle =m_{2}\hbar |j_{2}m_{2}\rangle }$

すると、完全なシステムの基底状態は次のようになる。${\displaystyle |j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle }$によって与えられた

${\displaystyle |j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle =|j_{1}m_{1}\rangle \otimes |j_{2}m_{2}\rangle }$

したがって、完全なシステムの場合、固有値の集合は${\displaystyle \{j_{1},m_{1},j_{2},m_{2}\}}$完全に一意の基底状態を指定し、${\displaystyle \{J_{1}^{2},J_{1z},J_{2}^{2},J_{2z}\}}$CSCOを形成する。同様に、全角運動量演算子に関して、システムの別の基底状態セットが存在する。${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J_{1}} +\mathbf {J_{2}} }$の固有値は${\displaystyle J^{2}}$は${\displaystyle j(j+1)\hbar ^{2}}$どこ${\displaystyle j}$価値観を取り入れる${\displaystyle j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1,...,|j_{1}-j_{2}|}$、そして${\displaystyle J_{z}}$は${\displaystyle m}$どこ${\displaystyle m=-j,-j+1,...j-1,j}$演算子の基底状態${\displaystyle J^{2}}$そして${\displaystyle J_{z}}$は${\displaystyle |j_{1}j_{2};jm\rangle }$したがって、固有値の集合によって、完全系のヒルベルト空間における一意の基底状態を指定することもできます。${\displaystyle \{j_{1},j_{2},j,m\}}$、対応するCSCOは${\displaystyle \{J_{1}^{2},J_{2}^{2},J^{2},J_{z}\}}$。