量子論理ゲート

シュレーディンガー方程式は、観測されない量子システムが時間とともにどのように進化するかを記述し、${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle .}$システムが安定した環境にある場合、つまりハミルトニアンが一定である場合、この方程式の解は次のようになります。${\displaystyle U(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }.}$^{[ 1 ] : 24–25}もし時間が${\displaystyle t}$は常に同じであり、簡略化のために省略されることもあり、量子状態がどのように進化するかは次のように記述できます。${\displaystyle U|\psi _{1}\rangle =|\psi _{2}\rangle ,}$上記のセクションと同様です。

つまり、量子ゲートとは、観測されない量子システムが特定の時間内にどのように進化するかを示すものであり、言い換えれば、ゲートとはユニタリ時間発展演算子である。${\displaystyle U}$特定の時間、量子状態に作用する。

アイデンティティゲートは、通常Iと表記される単位行列であり、単一量子ビットに対して次のように定義されます。

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},}$

ここで、Iは基底に依存せず、量子状態を変化させません。恒等ゲートは、様々なゲート操作の結果を数学的に記述する場合や、多量子ビット回路について議論する場合に最も有用です。

量子ゲート（上から下へ）：同一性ゲート、NOTゲート、パウリYゲート、パウリZゲート

パウリ門${\displaystyle (X,Y,Z)}$3つのパウリ行列は${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$そして単一の量子ビットに作用する。パウリのX、Y、Zはそれぞれ、ブロッホ球のx、y、z軸周りの回転に相当する。${\displaystyle \pi }$ラジアン。^{[ b ]}

パウリXゲートは、標準基底に関して古典コンピュータのNOTゲートに相当する量子力学的なゲートである。${\displaystyle |0\rangle }$、${\displaystyle |1\rangle }$これは、ブロッホ球上のz軸を区別するものです。これは、マッピングを行うため、ビット反転と呼ばれることもあります。${\displaystyle |0\rangle }$に${\displaystyle |1\rangle }$そして${\displaystyle |1\rangle }$に${\displaystyle |0\rangle }$同様に、パウリYマップ${\displaystyle |0\rangle }$に${\displaystyle i|1\rangle }$そして${\displaystyle |1\rangle }$に${\displaystyle -i|0\rangle }$パウリZは基底状態を離れる${\displaystyle |0\rangle }$変更なし、地図${\displaystyle |1\rangle }$に${\displaystyle -|1\rangle }$このような性質から、パウリZは位相反転と呼ばれることもある。

これらの行列は通常次のように表されます。

${\displaystyle X=\sigma _{x}=\operatorname {NOT} ={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle Y=\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle Z=\sigma _{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

パウリ行列は対合的である。つまり、パウリ行列の二乗は単位行列になる。

${\displaystyle I^{2}=X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=-iXYZ=I}$

パウリ行列も反交換関係にある。例えば${\displaystyle ZX=iY=-XZ.}$

パウリ行列の行列指数関数$\displaystyle \sigma _{j}}$は回転演算子であり、しばしば次のように表記される。${\displaystyle e^{-i\sigma _{j}\theta /2}.}$

制御ゲートは2つ以上の量子ビットに作用し、1つ以上の量子ビットが何らかの操作の制御として機能します。^{[ 2 ]}例えば、制御NOTゲート（またはCNOTまたはCX）は2つの量子ビットに作用し、最初の量子ビットが特定の条件を満たしている場合にのみ、2番目の量子ビットに対してNOT演算を実行します。${\displaystyle |1\rangle }$それ以外の場合は変更しません。基礎に関して${\displaystyle |00\rangle }$、${\displaystyle |01\rangle }$、${\displaystyle |10\rangle }$、${\displaystyle |11\rangle }$これは、エルミートユニタリ行列で表されます。

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

CNOTゲート（または制御パウリXゲート）は、基底状態をマッピングするゲートとして説明できます。${\displaystyle |a,b\rangle \mapsto |a,a\oplus b\rangle }$、 どこ${\displaystyle \oplus }$XORです。

CNOTはパウリ基底で次のように表現できます。

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}.}$

エルミートユニタリ演算子であるCNOTは、${\displaystyle e^{i\theta U}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )U}$そして${\displaystyle U=e^{i{\frac {\pi }{2}}(IU)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(IU)}}$、そしてそれは退化的である。

より一般的には、U が行列表現を持つ単一の量子ビットに作用するゲートである場合

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{00}&u_{01}\\u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}},}$

すると、制御Uゲートは、最初の量子ビットが制御として機能するように2つの量子ビットに作用するゲートです。それは基底状態を次のようにマッピングします。

制御パウリゲートの回路図（左から右へ）：CNOT（または制御X）、制御Y、制御Z。

${\displaystyle |00\rangle \mapsto |00\rangle }$

${\displaystyle |01\rangle \mapsto |01\rangle }$

${\displaystyle |10\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|0\rangle =|1\rangle \otimes (u_{00}|0\rangle +u_{10}|1\rangle )}$

${\displaystyle |11\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|1\rangle =|1\rangle \otimes (u_{01}|0\rangle +u_{11}|1\rangle )}$

制御されたUを表す行列は

${\displaystyle {\mbox{C}}U={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&u_{00}&u_{01}\\0&0&u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}}.}$

Uがパウリ演算子X、Y、Zのいずれかである場合、それぞれ「制御X」、「制御Y」、または「制御Z」という用語が使用されることがあります。^{[ 4 ] : 177–185}時には、これを単に C X、C Y、C Zと略すこともあります。

一般に、任意の単一量子ビットユニタリゲートは次のように表現できます。${\displaystyle U=e^{iH}}$ここで、Hはエルミート行列であり、制御されたUは${\displaystyle {\mbox{C}}U=e^{i{\frac {1}{2}}(I-Z_{1})H_{2}}.}$

^{制御は任意の数の量子ビットを持つゲート[ 2 ]}やプログラミング言語の関数に拡張できます。 ^{[ 10 ]}関数は重ね合わせ状態に基づいて条件付けできます。^{[ 11 ] [ 12 ]}

古典的制御

ゲートは古典論理によっても制御できます。量子コンピュータは古典コンピュータによって制御され、どの量子ビットに対してどのゲートを実行するかについて古典コンピュータから指示を受け取るコプロセッサのように動作します。 ^{[ 13 ] : 42–43 [ 14 ]}古典制御は、量子コンピュータの命令シーケンスにゲートを含めるか省略するかのことです。^{[ 4 ] : 26–28 [ 1 ] : 87–88}量子回路の終端ではなく中間で測定を実行することは、タイミングの問題とデコヒーレンスのため、困難で技術的に難しいです。このため、すべての量子コンピュータが、量子データがビットに変換され、プログラムの流れを制御するこれらの古典的なif文をサポートしているわけではありません。^{[ 15 ] [ 16 ]}

位相シフトは、基底状態をマッピングする単一量子ビットゲートのファミリーである。${\displaystyle |0\rangle \mapsto |0\rangle }$そして${\displaystyle |1\rangle \mapsto e^{i\varphi }|1\rangle }$測定する確率${\displaystyle |0\rangle }$または${\displaystyle |1\rangle }$このゲートを適用した後も変化はありませんが、量子状態の位相は変化します。これは、水平円（一定の緯度の線）を描くこと、またはブロッホ球上でz軸を中心に回転することに相当します。${\displaystyle \varphi }$ラジアン。位相シフトゲートは次の行列で表されます。

${\displaystyle P(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\varphi }\end{bmatrix}}}$

どこ${\displaystyle \varphi }$は周期2πの位相シフトです。一般的な例としては、Tゲートがあり、${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}}$（歴史的には${\displaystyle \pi /8}$ゲート）、位相ゲート（Sゲートとも呼ばれ、Sと表記されるが、SはSWAPゲートに使用されることもある）${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$そしてパウリZゲートでは${\displaystyle \varphi =\pi .}$

位相シフトゲートは、以下のように相互に関連しています。

${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\pi }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}=P\left(\pi \right)}$

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{2}}\right)={\sqrt {Z}}}$

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}}$

位相ゲートに注意してください${\displaystyle P(\varphi )}$はエルミートではない（ただし、すべてを除く）${\displaystyle \varphi =n\pi ,n\in \mathbb {Z} }$これらのゲートは、エルミート共役ゲートとは異なります。${\displaystyle P^{\dagger }(\varphi )=P(-\varphi )}$2 つの随伴（または共役転置）ゲート${\displaystyle S^{\dagger }}$そして${\displaystyle T^{\dagger }}$命令セットに含まれる場合もある。^{[ 17 ] [ 18 ]}

ジャック・アダマール（フランス語: [ adamaʁ ]）とジョセフ・L・ウォルシュにちなんで名付けられたアダマールゲートまたはウォルシュ・アダマールゲートは、単一の量子ビットに作用します。基底状態をマッピングします。${\textstyle |0\rangle \mapsto {\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$そして${\textstyle |1\rangle \mapsto {\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$（計算基底状態が与えられた場合、等しい重ね合わせ状態を生成します。）2つの状態${\displaystyle (|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$そして${\displaystyle (|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$時々書かれる${\displaystyle |+\rangle }$そして${\displaystyle |-\rangle }$それぞれ。アダマールゲートは回転を実行します。${\displaystyle \pi }$軸について${\displaystyle ({\hat {x}}+{\hat {z}})/{\sqrt {2}}}$ブロッホ球面上にあり、したがって対合的である。これはアダマール行列で表される。

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

エルミート行列の場合（${\displaystyle H^{\dagger }=H^{-1}=H}$）アダマールゲートは基底変換を実行するために使用され、${\displaystyle {\hat {x}}}$そして${\displaystyle {\hat {z}}}$。 例えば、${\displaystyle HZH=X}$そして${\displaystyle H{\sqrt {X}}\;H={\sqrt {Z}}=S.}$

スワップゲートは2つの量子ビットを交換する。基底に関して${\displaystyle |00\rangle }$、${\displaystyle |01\rangle }$、${\displaystyle |10\rangle }$、${\displaystyle |11\rangle }$行列で表される

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

スワップゲートは、総和形式に分解できます。

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\frac {I\otimes I+X\otimes X+Y\otimes Y+Z\otimes Z}{2}}}$

トッフォリ門は、トマソ・トッフォリにちなんで名付けられ、CCNOT門またはドイチュ門とも呼ばれる。${\displaystyle D(\pi /2)}$は、古典計算には普遍的な3ビットゲートですが、量子計算には普遍的ではありません。量子トフォリゲートは、3量子ビット用に定義された同じゲートです。入力量子ビットを のみ受け入れるように制限すると、${\displaystyle |0\rangle }$そして${\displaystyle |1\rangle }$、最初の 2 ビットが次の状態にある場合${\displaystyle |1\rangle }$これは、3 ビット目にパウリX (または NOT) を適用し、そうでない場合は何も行いません。これは CC-U (制御制御ユニタリ) ゲートの一例です。これは古典ゲートの量子版であるため、真理値表によって完全に規定されます。トフォリゲートは、単一量子ビットのアダマールゲートと組み合わせるとユニバーサルになります。^{[ 19 ]}

トフォリゲートは古典的なANDゲートに関連しています（${\displaystyle \land }$) およびXOR (${\displaystyle \oplus }$マッピングを実行する際の操作${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto |a,b,c\oplus (a\land b)\rangle }$計算基底における状態について。

トフォリゲートはパウリ行列を用いて次のように表現できる。

${\displaystyle {\mbox{Toff}}=e^{i{\frac {\pi }{8}}(I-Z_{1})(I-Z_{2})(I-X_{3})}=e^{-i{\frac {\pi }{8}}(I-Z_{1})(I-Z_{2})(I-X_{3})}.}$

パラメータ化された3量子ビットのドイチュゲートを使用して、単一ゲートのユニバーサル量子ゲートセットを定式化することもできます。${\displaystyle D(\theta )}$[ ^{23 ]}物理学者デイヴィッド・ドイッチュにちなんで名付けられました。これはCC-U、つまり制御制御ユニタリゲートの一般ケースであり、次のように定義されます^。

${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto {\begin{cases}i\cos(\theta )|a,b,c\rangle +\sin(\theta )|a,b,1-c\rangle &{\text{for}}\ a=b=1,\\|a,b,c\rangle &{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

残念ながら、プロトコルがないため、動作するドイッチュゲートは実現できていません。中性原子の双極子-双極子相互作用でドイッチュゲートを実現するための提案がいくつかあります。^{[ 24 ]}

可逆的な古典計算のための普遍的な論理ゲートであるトフォリゲートは、ドイチュゲートに還元できる。${\displaystyle D(\pi /2)}$これにより、すべての可逆的な古典論理演算が汎用量子コンピュータ上で実行可能であることが示された。

普遍性を満たすのに十分な単一の2量子ビットゲートも存在する。1996年、アドリアーノ・バレンコは、ドイッチュゲートは単一の2量子ビットゲート（バレンコゲート）のみを使用して分解できることを示したが、実験的に実現するのは困難である。^{[ 1 ] : 93}この特徴は量子回路に特有のものであり、可逆性と普遍性の両方を満たす古典的な2ビットゲートは存在しない。^{[ 1 ] : 93}普遍的な2量子ビットゲートは、高速低消費電力マイクロプロセッサにおける古典的な可逆回路を改善するために実装できる可能性がある。^{[ 1 ] : 93}

2 つのゲートAとBがあり、どちらも${\displaystyle n}$量子ビット。直列回路でBがAの後に置かれると、2つのゲートの効果は単一のゲートCとして記述できます。

${\displaystyle C=B\cdot A}$

どこ${\displaystyle \cdot }$行列乗算です。結果として得られるゲートCは、 AおよびBと同じ次元を持ちます。ゲートを乗算すると、回路図に現れるゲートの順序が逆になります。^{[ 4 ]： 17–18、22–23、62–64 [ 5 ]： 147–169}

例えば、単一の量子ビットに作用するパウリYゲートの後にパウリXゲートを配置すると、単一の結合ゲートCとして記述できます。

${\displaystyle C=X\cdot Y={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}=iZ}$

製品シンボル（${\displaystyle \cdot }$）はしばしば省略される。

2つの量子ゲートのテンソル積（またはクロネッカー積）は、2つのゲートを並列に接続したゲートに等しい。^{[ 4 ]： 71-75 [ 5 ]： 148}

図のようにパウリYゲートとパウリXゲートを並列に接続すると、次のように記述できます。

${\displaystyle C=Y\otimes X={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&-i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&-i&0\\0&i&0&0\\i&0&0&0\end{bmatrix}}}$

パウリXゲートとパウリYゲートはどちらも単一の量子ビットに作用する。結果として得られるゲート${\displaystyle C}$2つの量子ビットに作用する。

テンソル積の記号が省略され、代わりに演算子に添え字が使用される場合がある。^{[ 27 ]}

アダマールは変容させる

門${\displaystyle H_{2}=H\otimes H}$アダマールゲート（${\displaystyle H}$）を2つの量子ビットに並列に適用します。これは次のように記述できます。

${\displaystyle H_{2}=H\otimes H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}}$

この「2量子ビット並列アダマールゲート」は、例えば2量子ビットゼロベクトル（${\displaystyle |00\rangle }$） 4つの可能な結果のいずれにおいても等しい確率で観測される量子状態を作り出す。${\displaystyle |00\rangle }$、${\displaystyle |01\rangle }$、${\displaystyle |10\rangle }$、そして${\displaystyle |11\rangle }$この操作は次のように記述できます。

${\displaystyle H_{2}|00\rangle ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}|00\rangle +{\frac {1}{2}}|01\rangle +{\frac {1}{2}}|10\rangle +{\frac {1}{2}}|11\rangle ={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle }{2}}}$

ここでは、各測定可能な状態の振幅は 1/2 です。いずれかの状態を観測する確率は、測定可能な状態の振幅の絶対値の二乗であり、上記の例では、4 つの個々のケースのいずれかを観測する確率は 4 分の 1 であることを意味します。詳細は測定の項を参照してください。

${\displaystyle H_{2}}$2つの量子ビットに対してアダマール変換を実行する。同様にゲート${\displaystyle \underbrace {H\otimes H\otimes \dots \otimes H} _{n{\text{ times}}}=\bigotimes _{i=0}^{n-1}H=H^{\otimes n}=H_{n}}$レジスタに対してアダマール変換を実行する${\displaystyle n}$量子ビット。

レジスターに適用する場合${\displaystyle n}$量子ビットはすべて初期化され、${\displaystyle |0\rangle }$アダマール変換は量子レジスタを重ね合わせ状態にし、そのどの状態でも測定される確率が等しくなる。${\displaystyle 2^{n}}$可能な状態:

${\displaystyle \bigotimes _{i=0}^{n-1}(H|0\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle +\dots +|2^{n}-1\rangle {\Big )}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}|i\rangle }$

この状態は均一な重ね合わせであり、振幅増幅や位相推定などの一部の探索アルゴリズムの最初のステップとして生成されます。

この状態を測定すると、次の乱数が得られます。${\displaystyle |0\rangle }$そして${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$^{[ e ]}数値のランダム性は、論理ゲートの忠実度に依存します。測定しない場合、それは等しい確率振幅を持つ量子状態です。${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}}$そのそれぞれの可能な状態について。

アダマール変換はレジスタに作用する${\displaystyle |\psi \rangle }$と${\displaystyle n}$次のような量子ビット${\textstyle |\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}|\psi _{i}\rangle }$次のように：

${\displaystyle \bigotimes _{i=0}^{n-1}H|\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\frac {|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\Big (}|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle {\Big )}=H|\psi _{0}\rangle \otimes H|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes H|\psi _{n-1}\rangle }$

もつれ状態への応用

2つ以上の量子ビットを単一の量子状態とみなす場合、この結合状態は構成量子ビットのテンソル積に等しくなります。構成サブシステムからのテンソル積として表せる状態は、分離可能状態と呼ばれます。一方、エンタングル状態とは、テンソル分解できない状態、言い換えれば、構成量子ビットの状態のテンソル積として表せない状態のことです。エンタングル状態を構成する構成量子ビットにゲートを適用する際には、特別な注意が必要です。

エンタングル状態にあるN個の量子ビットのセットがあり、そのセット内のM < N個の量子ビットに量子ゲートを適用したい場合、ゲートをN個の量子ビットに作用するように拡張する必要があります。この適用は、ゲートを単位行列と組み合わせることで実現できます。単位行列(${\displaystyle I}$）は、すべての状態をそれ自身にマッピングするゲート（つまり、何も行わないゲート）を表します。回路図では、恒等ゲートまたは恒等行列は、多くの場合、むき出しのワイヤとして表示されます。

例えば、アダマールゲート（${\displaystyle H}$は単一の量子ビットに作用しますが、もつれたベル状態を構成する2つの量子ビットのうち最初の量子ビットを入力すると、${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$そのため、その操作を簡単に記述することはできません。アダマールゲートを拡張する必要があります。${\displaystyle H}$アイデンティティゲート付き${\displaystyle I}$これにより、 2つの量子ビットにまたがる量子状態に対して操作を行うことができるようになります。

${\displaystyle K=H\otimes I={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}}$

門${\displaystyle K}$このゲートは、もつれ状態であろうとなかろうと、あらゆる2量子ビット状態に適用できるようになった。${\displaystyle K}$2番目の量子ビットはそのままにして、1番目の量子ビットにアダマール変換を適用します。この例のベル状態に適用すると、次のように記述できます。

${\displaystyle K{\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\-1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle -|11\rangle }{2}}}$

量子論理ゲートはすべて可逆であるため、複数のゲートを組み合わせたものもすべて可逆です。ユニタリ行列のすべての積とテンソル積（すなわち、直列および並列の組み合わせ）もユニタリ行列です。これは、ゲートのみを含むアルゴリズムと関数であれば、すべて逆関数を構築できることを意味します。

初期化、測定、入出力、および自発的デコヒーレンスは、量子コンピュータにおける副作用である。しかし、ゲートは純粋に機能的であり、全単射である。

もし${\displaystyle U}$はユニタリ行列である。${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I}$そして${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}}$短剣（${\displaystyle \dagger }$) は共役転置を表します。これはエルミート随伴とも呼ばれます。

関数が${\displaystyle F}$は${\displaystyle m}$門、${\displaystyle F=A_{1}\cdot A_{2}\cdot \dots \cdot A_{m}}$、関数のユニタリ逆関数${\displaystyle F^{\dagger }}$構築可能：

なぜなら${\displaystyle (UV)^{\dagger }=V^{\dagger }U^{\dagger }}$繰り返し適用した後、

${\displaystyle F^{\dagger }=\left(\prod _{i=1}^{m}A_{i}\right)^{\dagger }=\prod _{i=m}^{1}A_{i}^{\dagger }=A_{m}^{\dagger }\cdot \dots \cdot A_{2}^{\dagger }\cdot A_{1}^{\dagger }}$

同様に関数が${\displaystyle G}$2つのゲートで構成されています${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$並行して、${\displaystyle G=A\otimes B}$そして${\displaystyle G^{\dagger }=(A\otimes B)^{\dagger }=A^{\dagger }\otimes B^{\dagger }}$。

自身のユニタリ逆元であるゲートは、エルミート演算子または自己共役演算子と呼ばれます。アダマールゲート（H）やパウリゲート（I、X、Y、Z ）などの基本的なゲートはエルミート演算子ですが、位相シフトゲート（S、T、P、CPhase ）などは一般的にエルミート演算子ではありません。

例えば、加算アルゴリズムは、そのユニタリ逆関数として「逆方向に実行」すれば減算に使用できます。逆量子フーリエ変換はユニタリ逆関数です。ユニタリ逆関数は、逆演算にも使用できます。MicrosoftのQ# ^{[ 10 ]}、Bernhard Ömer のQCL [ ^{13 ] : 61、} IBMのQiskit [ 29 ^]などの量子コンピュータ用プログラミング言語には、プログラミング概念として関数反転が含まれています^。

2つの量子状態（すなわち、量子ビットまたはレジスタ）が量子もつれ状態にある場合（つまり、それらの結合状態をテンソル積で表現できない場合）、一方のレジスタを測定すると、もう一方のレジスタの状態も部分的または完全に崩壊させることで、その状態に影響を与えたり、明らかにしたりします。この効果は計算に利用でき、多くのアルゴリズムで使用されています。

アダマール-CNOTの組み合わせは、ゼロ状態に対して次のように作用します。

${\displaystyle \operatorname {CNOT} (H\otimes I)|00\rangle =\left({\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\right){\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

この結果として生じる状態はベル状態である。${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$2つの量子ビットのテンソル積として記述することはできません。解はありません。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}w\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}xw\\xz\\yw\\yz\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}},}$

例えば、xwとywの場合、wはゼロ以外かつゼロである必要があります。

量子状態は2つの量子ビットにまたがっています。これはエンタングルメントと呼ばれます。このベル状態を構成する2つの量子ビットのうち1つを測定すると、論理的にもう1つの量子ビットも同じ値を持つことになります。つまり、両方とも同じ値でなければなりません。${\displaystyle |00\rangle }$または州内で${\displaystyle |11\rangle }$例えば、量子ビットの1つを測定した結果が${\displaystyle |1\rangle }$すると、もう一方の量子ビットも${\displaystyle |1\rangle }$なぜなら、それらの結合状態は${\displaystyle |11\rangle }$一方の量子ビットを測定すると、2つの量子ビットにまたがる量子状態全体が崩壊する。

GHZ状態は、3つ以上の量子ビットにまたがる、同様の量子もつれ状態である。

この種の値割り当ては、どんな距離でも瞬時に発生し、2018 年現在、QUESSにより最大 1200 キロメートルの距離で実験的に検証されています。^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}量子ビット間の距離を光速で移動するのにかかる時間とは対照的に、この現象が瞬時に発生するように見えることはEPR パラドックスと呼ばれ、これをどのように解決するかは物理学における未解決問題です。当初は局所実在論の仮定を放棄することで解決されましたが、他の解釈も現れています。詳細については、ベルのテスト実験を参照してください。通信なし定理は、この現象が古典情報の超光速通信には使用できないことを証明しています。

n個の量子ビットを持つレジスタAを考えます。すべては次のように初期化されています。${\displaystyle |0\rangle }$そしてそれを並列アダマールゲートに通す。${\textstyle H^{\otimes n}}$レジスタAはその後、状態に入ります${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}|k\rangle }$測定時にそのいずれにも等しい確率で存在する${\displaystyle 2^{n}}$可能な状態。${\displaystyle |0\rangle }$に${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$2番目のレジスタBもn個の量子ビットで初期化され、${\displaystyle |0\rangle }$そして、その量子ビットとレジスタ A の量子ビットとの間でペアワイズCNOT であり、各pに対して量子ビットが${\displaystyle A_{p}}$そして${\displaystyle B_{p}}$州を形成する${\displaystyle |A_{p}B_{p}\rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$。

ここでレジスタAの量子ビットを測定すると、レジスタBにはAと同じ値が含まれていることがわかります。しかし、代わりに量子論理ゲートFをAに適用してから測定すると、${\displaystyle |A\rangle =F|B\rangle \iff F^{\dagger }|A\rangle =|B\rangle }$、どこ${\displaystyle F^{\dagger }}$はFのユニタリ逆関数です。

ゲートのユニタリ逆ゲートの動作原理により、${\displaystyle F^{\dagger }|A\rangle =F^{-1}(|A\rangle )=|B\rangle }$例えば、${\displaystyle F(x)=x+3{\pmod {2^{n}}}}$、 それから${\displaystyle |B\rangle =|A-3{\pmod {2^{n}}}\rangle }$。

Fの実行が完了していれば、測定の順序（レジスタAまたはB）に関わらず、等式は成り立ちます。1つの量子ビットの測定割り当てによって、他の量子ビットの可能な値空間が制限されるため、測定は量子ビットごとにランダムかつ同時にインターリーブすることも可能です。

等式は成り立つものの、量子探索アルゴリズムの意図するところであるように、Fを適用した結果、起こりうる結果を測定する確率が変化する可能性がある。

エンタングルメントによる価値共有のこの効果は、ショアのアルゴリズム、位相推定、量子計数で使用されています。フーリエ変換を使用して、ある問題の解状態の確率振幅を増幅することは、 「フーリエフィッシング」として知られる一般的な方法です。^{[ 39 ]}