ポアソン多様体

古典力学において、物理系の位相空間は、系が許容する位置変数と運動量変数のすべての可能な値から構成されます。位相空間は自然にポアソン括弧／シンプレクティック形式（下記参照）を備えており、これによりハミルトン方程式を定式化し、位相空間を通して系の時間的なダイナミクスを記述することができます。

例えば、自由に動く単一の粒子${\displaystyle n}$次元ユークリッド空間（つまり、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$構成空間として）位相空間を持つ$\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$座標${\displaystyle (q^{1},...,q^{n},p_{1},...,p_{n})}$それぞれ位置と一般化運動量を記述する。観測量の空間、すなわち上の滑らかな関数$\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$は、ポアソン括弧と呼ばれる二項演算を自然に備えており、次のように定義されます。${\displaystyle \textstyle \{f,g\}:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)}$このような括弧は、リー括弧の標準的な性質を満たすだけでなく、関数の積との互換性、すなわちライプニッツ恒等式も満たしている。${\displaystyle \{f,g\cdot h\}=g\cdot \{f,h\}+\{f,g\}\cdot h}$同等に、ポアソン括弧は$\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$シンプレクティック形式を用いて再定式化することができる${\displaystyle \textstyle \omega$ :=\sum _{i=1}^{n}dq^{i}\wedge dp_{i}} 。実際、ハミルトニアンベクトル場を考えると、${\displaystyle \textstyle X_{f}:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}\partial _{q^{i}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}\partial _{p_{i}}\right)}$関数に関連付けられている${\displaystyle f}$すると、ポアソン括弧は次のように書き換えられる。${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f}).}$

より抽象的な微分幾何学的用語では、構成空間は${\displaystyle n}$次元の滑らかな多様体${\displaystyle Q}$位相空間はその余接束である${\displaystyle T^{*}Q}$（次元の多様体）${\displaystyle 2n}$) 後者は自然に標準シンプレクティック形式を備えており、標準座標では上記の形式と一致します。一般に、ダルブーの定理により、任意のシンプレクティック多様体は${\displaystyle (M,\omega )}$形式が特殊座標を許容する${\displaystyle \omega }$そしてブラケット${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f})}$はそれぞれ、シンプレクティック形式とポアソン括弧と等価である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$シンプレクティック幾何学は、古典的なハミルトン力学を記述するための自然な数学的枠組みである。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

ポアソン多様体はシンプレクティック多様体のさら​​なる一般化であり、ポアソン括弧が満たす性質を公理化することによって生じる。$\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$より正確には、ポアソン多様体は滑らかな多様体から構成される。${\displaystyle M}$（必ずしも同じ寸法である必要はない）抽象的な括弧とともに${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$これは、依然としてポアソン括弧と呼ばれ、必ずしもシンプレクティック形式から生じるものではない。${\displaystyle \omega }$しかし、同じ代数的性質を満たす。

ポアソン幾何学はシンプレクティック幾何学と密接に関連しています。例えば、すべてのポアソン括弧は葉層構造を決定し、その葉層には自然にシンプレクティック形式が備わります。しかし、ポアソン幾何学の研究には、リー群やリー代数群の理論など、シンプレクティック幾何学では通常用いられない手法が必要です。

さらに、「道徳的に」シンプレクティックであるべきなのにそうならない構造の自然な例があります。たとえば、シンプレクティック多様体をシンプレクティック同相写像によって作用する群で滑らかに商化したものにはポアソン多様体があり、一般にはシンプレクティックではありません。この状況は、対称性の下で不変な物理システムのケースをモデル化しています。元の位相空間を対称性で商化することによって得られる「縮小」位相空間は、一般にシンプレクティックではなく、ポアソンになります。^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 3 ]}

ポアソン多様体の現代的な定義は1970年代から1980年代になって初めて登場しましたが、^{[ 1 ]}その起源は19世紀に遡ります。アラン・ワインスタインは、ポアソン幾何学の初期の歴史を次のようにまとめています。

「ポアソンは古典力学の道具として括弧を発明した。ヤコビはこれらの括弧の重要性を認識し、その代数的性質を解明し、リーはそれらの幾何学の研究を始めた。」^{[ 12 ]}

実際、シメオン・ドニ・ポアソンは1809年に、運動の新しい積分、すなわち運動全体を通して保存される量を得るために、現在ポアソン括弧と呼ばれるものを導入しました。 ^{[ 13 ]}より正確には、彼は2つの関数が${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$運動の積分である場合、第 3 の関数が存在し、それは次のように表される。${\displaystyle \{f,g\}}$これも運動の積分です。力学のハミルトン形式では、物理システムのダイナミクスは与えられた関数によって記述されます。${\displaystyle h}$（通常はシステムのエネルギー）運動の積分は単に関数である${\displaystyle f}$これはポアソン可換である${\displaystyle h}$すなわち、${\displaystyle \{f,h\}=0}$ポアソンの定理として知られるようになるものは、次のように定式化できる。$${\displaystyle \{f,h\}=0,\{g,h\}=0\Rightarrow \{\{f,g\},h\}=0.}$$ポアソン計算は多くのページを費やし、彼の結果は20年後にカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビによって再発見され、簡略化された。^{[ 14 ] [ 2 ]}ヤコビは、ポアソン括弧の一般的な性質を二項演算として初めて特定した。さらに、彼は2つの関数の（ポアソン）括弧と、それらに関連するハミルトニアンベクトル場の（リー）括弧との間の関係を確立した。$${\displaystyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}],}$$運動の積分に関するポアソンの定理を再定式化し（そしてはるかに短い証明を与えるため）。^{[ 15 ]}ヤコビのポアソン括弧に関する研究は、微分方程式の対称性に関するソフス・リーの先駆的な研究に影響を与え、リー群とリー代数の発見につながった。例えば、現在線形ポアソン構造（つまり、線形関数を線形関数に写すベクトル空間上のポアソン括弧）と呼ばれるものは、リー代数構造に正確に対応している。さらに、線形ポアソン構造の可積分性（下記参照）は、それに関連するリー代数がリー群に可積分であることと密接に関係している。^{[ 16 ]}

20世紀には現代微分幾何学が発展したが、アンドレ・リヒネロヴィッチが滑らかな多様体上の幾何学的対象としてポアソン構造を導入したのは1977年のことだった。^{[ 1 ]}ポアソン多様体は、アラン・ワインスタインによる1983年の基礎的な論文でさらに研究され、そこで多くの基本的な構造定理が初めて証明された。^{[ 17 ]}

これらの研究は、その後の数十年間、ポアソン幾何学の発展に大きな影響を与え、今日ではポアソン幾何学は独自の分野であると同時に、非可換幾何学、可積分系、位相場理論、表現論など、他の多くの分野と深く絡み合っている。^{[ 15 ] [ 11 ] [ 3 ]}

させて${\displaystyle M}$滑らかな多様体とし、${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$は、上の滑らかな実数値関数の実代数を表す。${\displaystyle M}$乗算は点ごとに定義されます。上のポアソン括弧（またはポアソン構造）${\displaystyle M}$は${\displaystyle \mathbb {R} }$-双線形写像

$\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$

ポアソン代数の構造を定義する${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$すなわち、以下の3つの条件を満たすこと。

• 歪対称性：${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$。
• ヤコビ恒等式：${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$。
• ライプニッツの法則：${\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}}$。

最初の2つの条件は、${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$リー代数構造を定義する${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$3つ目は、各${\displaystyle f\in {C^{\infty }}(M)}$線形マップ${\displaystyle X_{f}:=\{f,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$代数の導出${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$つまり、ベクトル場を定義する。${\displaystyle X_{f}\in {\mathfrak {X}}(M)}$ハミルトニアンベクトル場と呼ばれる${\displaystyle f}$。

ローカル座標の選択${\displaystyle (U,x^{i})}$任意のポアソン括弧は次のように与えられる。$${\displaystyle \{f,g\}_{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial x^{j}}},}$$のために${\displaystyle \pi ^{ij}=\{x^{i},x^{j}\}}$座標関数のポアソン括弧。

滑らかな多様体上のポアソン双ベクトル${\displaystyle M}$多ベクトル場$\displaystyle \textstyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M):=\Gamma \left(\bigwedge ^{2}TM\right)}$非線形偏微分方程式を満たす${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$、 どこ

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{{\mathfrak {X}}^{p}}(M)\times {{\mathfrak {X}}^{q}}(M)\to {{\mathfrak {X}}^{p+q-1}}(M)}$

は、複数ベクトル場上のSchouten–Nijenhuis 括弧を示します。ローカル座標の選択${\displaystyle (U,x^{i})}$任意のポアソン双ベクトルは次のように与えられる。$${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i<j}\pi ^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$歪対称な滑らかな関数の場合$\displaystyle \pi ^{ij}}$の上${\displaystyle U}$。

させて${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ライプニッツの規則を満たす双線形歪対称括弧（「ほぼリー括弧」と呼ばれる）である場合、関数は${\displaystyle \{f,g\}}$次のように説明できます$${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg),}$$独自の滑らかな双ベクトル場${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M)}$逆に、任意の滑らかな双ベクトル場が与えられた場合${\displaystyle \pi }$の上${\displaystyle M}$同じ式${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg)}$ほぼリー括弧を定義する${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$それは自動的にライプニッツの法則に従う。

双ベクトル場、またはそれに対応するほぼリー括弧は、ほぼポアソン構造と呼ばれます。ほぼポアソン構造は、次の等価な積分可能性条件のいずれかが成り立つ場合にポアソンです。^{[ 15 ]}

• ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ヤコビ恒等式を満たす（したがってポアソン括弧である）。
• ${\displaystyle \pi }$満たす${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$（したがって、ポアソン双ベクトルである）
• 地図${\displaystyle {C^{\infty }}(M)\to {\mathfrak {X}}(M),f\mapsto X_{f}}$はリー代数準同型であり、すなわちハミルトニアンベクトル場は以下を満たす。${\displaystyle [X_{f},X_{g}]=X_{\{f,g\}}}$;
• グラフ${\displaystyle {\rm {Graph}}(\pi ):=\{\pi (\alpha ,\cdot )+\alpha \}\subset TM\oplus T^{*}M}$ディラック構造、すなわちラグランジュ部分束を定義する。${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$これは標準クーラン括弧の下で閉じている。^{[ 18 ]}

実数滑らかな多様体に対するポアソン構造の定義は、複素数の場合にも適用できる。

正則ポアソン多様体は複素多様体である。${\displaystyle M}$正則関数の束${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$はポアソン代数の層である。同様に、正則双ベクトル場は${\displaystyle \pi }$複素多様体上${\displaystyle M}$セクションです${\displaystyle \pi \in \Gamma (\wedge ^{2}T^{1,0}M)}$そのため${\displaystyle {\bar {\partial }}\pi =0}$。次に、正則ポアソン構造が${\displaystyle M}$は、以下の式を満たす正則双ベクトル場である。${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$正則ポアソン多様体は、ポアソン・ナイエンハイス構造の観点からも特徴づけることができる。^{[ 19 ]}

実ポアソン構造に関する多くの結果、例えばその可積分性に関する結果は、正則ポアソン構造にも拡張される。^{[ 20 ] [ 21 ]}

正則ポアソン構造は、一般化された複素構造の文脈で自然に現れます。局所的には、任意の一般化された複素多様体は、シンプレクティック多様体と正則ポアソン多様体の積です。^{[ 22 ]}

任意の双ベクトル場は歪準同型とみなせることを思い出してください。${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM,\alpha \mapsto \pi (\alpha ,\cdot )}$.画像${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$したがって、以下の値から構成される${\displaystyle {X_{f}}(x)}$すべてのハミルトニアンベクトル場をあらゆる点で評価したもの${\displaystyle x\in M}$。

ランク​​${\displaystyle \pi }$ある時点で${\displaystyle x\in M}$誘導線形写像のランクは${\displaystyle \pi _{x}^{\sharp }}$1点${\displaystyle x\in M}$ポアソン構造の場合、これは正則と呼ばれる。${\displaystyle \pi }$の上${\displaystyle M}$ランクが${\displaystyle \pi }$は、${\displaystyle x\in M}$それ以外の場合は、特異点と呼ばれる。正則点は、開いた稠密な部分集合を形成する。${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }\subseteq M}$;地図が${\displaystyle \pi ^{\sharp }}$ポアソン構造は一定のランクを持つ。${\displaystyle \pi }$は正則と呼ばれます。正則ポアソン構造の例としては、自明な構造や非退化構造などがあります（下記参照）。

正則ポアソン多様体の場合、イメージ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$は正則分布であり、それが対合的であることは容易に確認できるため、フロベニウスの定理により、${\displaystyle M}$葉への分割が可能である。さらに、ポアソン双ベクトルは各葉にうまく制限されるため、各葉はシンプレクティック多様体となる。

非正則ポアソン多様体の場合、分布が${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$は特異である、すなわちベクトル部分空間${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{*}M)\subset T_{x}M}$寸法が異なる。

積分部分多様体${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)}$経路連結部分多様体である${\displaystyle S\subseteq M}$満足${\displaystyle T_{x}S={\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{\ast }M)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in S}$の積分部分多様体${\displaystyle \pi }$は自動的に正則に埋め込まれた多様体であり、最大積分部分多様体である。${\displaystyle \pi }$葉と呼ばれる${\displaystyle \pi }$。

さらに、それぞれの葉${\displaystyle S}$自然なシンプレクティック形式を持つ${\displaystyle \omega _{S}\in {\Omega ^{2}}(S)}$条件によって決定される${\displaystyle [{\omega _{S}}(X_{f},X_{g})](x)=-\{f,g\}(x)}$すべての人々のために${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}(M)}$そして${\displaystyle x\in S}$。同様に、シンプレクティック葉について語る。${\displaystyle \pi }$さらに、空間も${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }}$正則点とその補集合はシンプレクティック葉で飽和しているため、シンプレクティック葉は正則または特異のいずれかになります。

非正則の場合にもシンプレクティック葉が存在することを示すには、ワインシュタイン分割定理（またはダルブー・ワインシュタイン定理）を用いることができる。^{[ 17 ]}この定理は、任意のポアソン多様体において、${\displaystyle (M^{n},\pi )}$局所的に一点を中心に分裂する${\displaystyle x_{0}\in M}$シンプレクティック多様体の積として${\displaystyle (S^{2k},\omega )}$そして横方向のポアソン部分多様体${\displaystyle (T^{n-2k},\pi _{T})}$消えていく${\displaystyle x_{0}}$より正確には、${\displaystyle \mathrm {rank} (\pi _{x_{0}})=2k}$ローカル座標があります${\displaystyle (U,p_{1},\ldots ,p_{k},q^{1},\ldots ,q^{k},x^{1},\ldots ,x^{n-2k})}$ポアソン双ベクトル${\displaystyle \pi }$合計として分割$${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n-2k}\phi ^{ij}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$どこ${\displaystyle \phi ^{ij}(x_{0})=0}$ランクが${\displaystyle \pi }$最大である（例えば、ポアソン構造は非退化であるため、${\displaystyle n=2k}$) シンプレクティック構造に関する古典的なダルブーの定理が再現される。

すべての多様体${\displaystyle M}$自明なポアソン構造を持つ$${\displaystyle \{f,g\}=0\quad \forall f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M),}$$双ベクトルによって等価的に記述される${\displaystyle \pi =0}$.すべてのポイント${\displaystyle M}$したがって、これは零次元のシンプレクティック葉である。

双ベクトル場${\displaystyle \pi }$非退化と呼ばれるのは、${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$これはベクトル束同型写像です。非退化ポアソン双ベクトル場は、実際にはシンプレクティック多様体と同じものです。${\displaystyle (M,\omega )}$。

実際、非退化双ベクトル場の間には全単射対応が存在する。${\displaystyle \pi }$および非退化2形式${\displaystyle \omega }$によって与えられた$${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1},}$$どこ${\displaystyle \omega }$音楽的同型性によって符号化される${\displaystyle \omega ^{\flat }:TM\to T^{*}M,v\mapsto \omega (v,\cdot )}$。 さらに、${\displaystyle \pi }$ポアソンであるのは、${\displaystyle \omega }$が閉じている場合、括弧はハミルトン力学における標準的なポアソン括弧になります。$${\displaystyle \{f,g\}:=\omega (X_{g},X_{f}).}$$連結多様体上の非退化ポアソン構造は、シンプレクティック葉を1つだけ持ちます。${\displaystyle M}$自体。

スペースを考慮してください${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$座標付き${\displaystyle (x,y,p_{i},q^{i})}$すると双ベクトル場$${\displaystyle \pi$$ :=y{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}+\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}} はポアソン構造である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$これは「ほとんど至るところで非退化」である。実際、開部分多様体は${\displaystyle \{y\neq 0\}\subseteq M}$次元のシンプレクティック葉である${\displaystyle 2n}$シンプレクティック形式とともに$${\displaystyle \omega ={\frac {1}{y}}dx\wedge dy+\sum _{i=1}^{n-1}dq^{i}\wedge dp_{i},}$$一方、${\displaystyle (2n-1)}$次元部分多様体${\displaystyle Z:=\{y=0\}\subseteq M}$他のものを含む${\displaystyle (2n-2)}$次元の葉は、${\displaystyle Z}$レベルセットで${\displaystyle x}$。

これは実際には、特殊なクラスのポアソン多様体の特殊なケースである。${\displaystyle (M,\pi )}$対数シンプレクティックまたはbシンプレクティックと呼ばれるもので、部分多様体に沿って「対数特異点」が集中している。${\displaystyle Z\subseteq M}$余次元 1 の (特異な軌跡とも呼ばれる)${\displaystyle \pi }$）だが、 の外側では非縮退である。${\displaystyle Z}$[ ^{23 ]​}

ポアソン構造${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ベクトル空間上${\displaystyle V}$2つの線形関数の括弧が依然として線形である場合、それは線形であると呼ばれます。

線形ポアソン構造を持つベクトル空間のクラスは、実際には（双対の）リー代数のクラスと一致する。実際、双対は${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$任意の有限次元リー代数の${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])}$線形ポアソン括弧を持ち、文献ではリー・ポアソン、キリロフ・ポアソン、またはKKS（コスタント・キリロフ・スーリオ）構造として知られています。$${\displaystyle \{f,g\}(\xi ):=\xi ([d_{\xi }f,d_{\xi }g]_{\mathfrak {g}}),}$$どこ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*}),\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$そしてその派生形${\displaystyle d_{\xi }f,d_{\xi }g:T_{\xi }{\mathfrak {g}}^{*}\to \mathbb {R} }$双対の要素として解釈される${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{**}\cong {\mathfrak {g}}}$同様に、ポアソン双ベクトルは局所的に次のように表すことができる。$${\displaystyle \pi =\sum _{i,j,k}c_{k}^{ij}x^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$どこ${\displaystyle x^{i}}$座標は${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$そして${\displaystyle c_{k}^{ij}}$は、​${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$逆に、任意の線形ポアソン構造${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$の上${\displaystyle V}$この形式である必要があり、すなわち、自然なリー代数構造が誘導される必要がある。${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=V^{*}}$そのリー・ポアソン括弧は${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$。

リー・ポアソン構造のシンプレクティック葉は${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$は、共随作用の軌道である。${\displaystyle G}$の上${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$例えば、${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{3}}$標準基底では、リー・ポアソン構造は${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$と関連付けられる$${\displaystyle \pi =x{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial z}}+y{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\in {\mathfrak {X}}^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$$そしてそのシンプレクティック葉層構造は同心球による葉層構造と同一視される。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$（唯一の単葉は起源である）。一方、${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{3}}$標準基底では、リー・ポアソン構造は${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$と関連付けられる$${\displaystyle \pi =x{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial z}}-y{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\in {\mathfrak {X}}^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$$そしてそのシンプレクティック葉層は同心双曲面と円錐面による葉層と同一視される。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$（唯一の単葉は、やはり起源である。）

前述の例は、以下のように一般化できる。ベクトル束の全空間上のポアソン構造${\displaystyle E\to M}$2 つの滑らかな関数の括弧がファイバーワイズ線形であるとき、それはファイバーワイズ線形と呼ばれます。${\displaystyle E\to \mathbb {R} }$繊維への制限が線形である は、繊維に制限しても依然として線形である。同様に、ポアソン双ベクトル場${\displaystyle \pi }$満たすように求められている${\displaystyle (m_{t})^{*}\pi =t\pi }$いかなる場合でも${\displaystyle t>0}$、 どこ${\displaystyle m_{t}:E\to E}$スカラー乗算${\displaystyle v\mapsto tv}$。

線形ポアソン構造を持つベクトル束のクラスは、実際には（双対の）リー代数束のクラスと一致する。実際、双対は${\displaystyle A^{*}}$任意のリー代数${\displaystyle (A,\rho ,[\cdot ,\cdot ])}$繊維方向の線形ポアソン括弧^{[ 24 ]}は、$${\displaystyle \{\mathrm {ev} _{\alpha },\mathrm {ev} _{\beta }\}:=ev_{[\alpha ,\beta ]}\quad \quad \forall \alpha ,\beta \in \Gamma (A),}$$どこ${\displaystyle \mathrm {ev} _{\alpha }:A^{*}\to \mathbb {R} ,\phi \mapsto \phi (\alpha )}$評価は${\displaystyle \alpha }$同様に、ポアソン双ベクトルは局所的に次のように表すことができる。$${\displaystyle \pi =\sum _{i,a}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _{a<b,c}C_{ab}^{c}(x)y_{c}{\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial y_{b}}},}$$どこ${\displaystyle x^{i}}$点の周りの座標${\displaystyle x\in M}$、${\displaystyle y_{a}}$ファイバー座標は${\displaystyle A^{*}}$ローカルフレームのデュアル${\displaystyle e_{a}}$の${\displaystyle A}$、 そして${\displaystyle B_{a}^{i}}$そして${\displaystyle C_{ab}^{c}}$構造機能${\displaystyle A}$すなわち、を満たす唯一の滑らかな関数$${\displaystyle \rho (e_{a})=\sum _{i}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\quad \quad [e_{a},e_{b}]=\sum _{c}C_{ab}^{c}(x)e_{c}.}$$逆に、繊維方向の線形ポアソン構造は${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$の上${\displaystyle E}$この形式である必要があり、すなわち、自然なリー代数構造が誘導される${\displaystyle A:=E^{*}}$そのリー・ポアソン・ブラケットは${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$[ ^{25 ]​}

もし${\displaystyle A}$リー群に積分可能である${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$シンプレクティック葉${\displaystyle A^{*}}$は、余接群の軌道の連結成分である。${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$一般に、任意の代数軌道が与えられた場合${\displaystyle {\mathcal {O}}\subseteq M}$双対によるその余接束の像${\displaystyle \rho ^{*}:T^{*}M\to A^{*}}$アンカーマップの 1 つはシンプレクティック葉です。

のために${\displaystyle M=\{*\}}$線形ポアソン構造が回復される一方、${\displaystyle A=TM}$繊維方向の線形ポアソン構造は、余接束の正準シンプレクティック構造によって与えられる非退化構造である。${\displaystyle T^{*}M}$より一般的には、繊維方向の線形ポアソン構造は、${\displaystyle TM\to M}$非退化であるものは、標準シンプレクティック形式と同型である。${\displaystyle T^{*}M}$。

• ベクトル空間上の任意の定数双ベクトル場は自動的にポアソン構造になります。実際、ヤコビエーターの3つの項はすべてゼロであり、定数関数を含む括弧になっています。
• 2次元多様体上の任意の双ベクトル場は自動的にポアソン構造になります。実際、${\displaystyle [\pi ,\pi ]}$これは3次元ベクトル場であり、2次元では常にゼロとなる。
• 任意のポアソン双ベクトル場が与えられた場合${\displaystyle \pi }$3次元多様体上${\displaystyle M}$双ベクトル場${\displaystyle f\pi }$どのような場合でも${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$は自動的にポアソン分布になります。
• デカルト積${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$2つのポアソン多様体の${\displaystyle (M_{0},\pi _{0})}$そして${\displaystyle (M_{1},\pi _{1})}$これもまたポアソン多様体である。
• させて${\displaystyle {\mathcal {F}}}$次元の（正則）葉層である${\displaystyle 2k}$の上${\displaystyle M}$そして${\displaystyle \omega \in {\Omega ^{2}}({\mathcal {F}})}$閉じた葉状2形式、そのパワー${\displaystyle \omega ^{k}}$はどこにも消滅しない。これにより、上の規則的なポアソン構造が一意に決定される。${\displaystyle M}$シンプレクティック葉を要求することによって${\displaystyle \pi }$葉っぱになる${\displaystyle S}$の${\displaystyle {\mathcal {F}}}$誘導されたシンプレクティック形式を備えた${\displaystyle \omega |_{S}}$。
• させて${\displaystyle G}$ポアソン多様体に作用するリー群 である${\displaystyle (M,\pi )}$そして、ポアソン括弧が${\displaystyle G}$-不変関数${\displaystyle M}$は${\displaystyle G}$-不変。作用が自由かつ適切であれば、商多様体は${\displaystyle M/G}$ポアソン構造を継承する${\displaystyle \pi _{M/G}}$から${\displaystyle \pi }$（つまり、それは沈没するような唯一のものである）${\displaystyle (M,\pi )\to (M/G,\pi _{M/G})}$（ポアソン写像）

ポアソン多様体のモジュラークラスは、第一ポアソンコホモロジー群のクラスです。向き付け可能な多様体の場合、ハミルトニアンの流れの下で不変な体積形式の存在を妨げるものです。 ^{[ 26 ]これは、Koszul [ 27 ]とWeinstein [ 28 ]}によって導入されました。

ベクトル場の発散について思い出してください。${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(M)}$特定の体積形状に関して${\displaystyle \lambda }$関数は${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$定義される${\displaystyle \textstyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)={\frac {{\mathcal {L}}_{X}\lambda }{\lambda }}}$体積形式に関する、向き付け可能なポアソン多様体のモジュラーベクトル場${\displaystyle \lambda }$はベクトル場です${\displaystyle X_{\lambda }}$ハミルトニアンベクトル場の発散によって定義される：${\displaystyle X_{\lambda }:f\mapsto {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})}$。

モジュラーベクトル場はポアソン1-コサイクルであり、すなわち、${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{\lambda }}\pi =0}$さらに、2つの体積形式が与えられた場合${\displaystyle \lambda _{1}}$そして${\displaystyle \lambda _{2}}$、 違い${\displaystyle X_{\lambda _{1}}-X_{\lambda _{2}}}$ハミルトンベクトル場である。したがって、ポアソンコホモロジークラスは${\displaystyle [X_{\lambda }]_{\pi }\in H^{1}(M,\pi )}$ボリューム形式の当初の選択には依存しない${\displaystyle \lambda }$そしてそれはポアソン多様体のモジュラークラスと呼ばれる。

向き付け可能なポアソン多様体は、そのモジュラークラスがゼロになる場合にユニモジュラーと呼ばれます。これは、ある体積形式が存在する場合に限り起こることに注意してください。${\displaystyle \lambda }$モジュラーベクトル場${\displaystyle X_{\lambda }}$消滅する、つまり${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})=0}$すべての${\displaystyle f}$; 言い換えると、${\displaystyle \lambda }$は、任意のハミルトニアンベクトル場の流れに対して不変である。例えば：

• シンプレクティック構造は常にユニモジュラーである。なぜなら、リウヴィル形式はすべてのハミルトニアンベクトル場の下で不変だからである。
• 線形ポアソン構造の場合、モジュラークラスは無限小モジュラー特性である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$標準ルベーグ測度に関連付けられたモジュラーベクトル場は${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$定数ベクトル場は${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$。 それから${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ポアソン多様体としてユニモジュラーであるのは、リー代数としてユニモジュラーである場合に限る。^{[ 29 ]}
• 正則ポアソン構造の場合、モジュラークラスは、基礎となるシンプレクティック葉層構造のリープクラス（葉層構造に接するベクトル場によって不変な体積正規形の存在を妨げる、第一葉状コホモロジー群の要素）に関連している。^{[ 30 ]}

モジュラークラスの構築は、体積形式を密度に置き換えることで、向き付け不可能な多様体にも容易に拡張できる。^{[ 28 ]}

ポアソンコホモロジーは1977年にリヒネロヴィッチ自身によって導入されました^{[ 1 ]} 。 10年後、ブリリンスキーは演算子を用いてポアソン多様体のホモロジー理論を導入しました。${\displaystyle \partial _{\pi }=[d,\iota _{\pi }]}$[ ^{31 ]​}

ポアソンホモロジーとコホモロジーの関係については、いくつかの結果が証明されている。^{[ 32 ]}例えば、向き付け可能なユニモジュラーポアソン多様体の場合、ポアソンホモロジーはポアソンコホモロジーと同型であることが判明している。これは、Xu ^{[ 33 ]とEvans-Lu-Weinstein [ 29 ]}によって独立に証明された。

• 積ポアソン多様体が与えられた場合${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$、正準投影${\displaystyle \mathrm {pr} _{i}:M_{0}\times M_{1}\to M_{i}}$、 のために${\displaystyle i\in \{0,1\}}$これらはポアソン写像である。
• ポアソン多様体が与えられた場合${\displaystyle (M,\pi )}$への組み込み${\displaystyle M}$シンプレクティック葉または開部分集合の写像は、ポアソン写像である。
• 2 つのリー代数が与えられた場合${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$任意のリー代数準同型の双対${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ポアソン写像を誘導する${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}}$それらの線形ポアソン構造の間。
• 2つのリー代数群が与えられた場合${\displaystyle A\to M}$そして${\displaystyle B\to M}$任意のリー代数線射の双対${\displaystyle A\to B}$恒等式はポアソン写像を誘導する${\displaystyle B^{*}\to A^{*}}$それらの繊維方向の線形ポアソン構造の間に。

ポアソン写像の概念は、シンプレクティック写像の概念とは根本的に異なることに注意すべきである。例えば、標準的なシンプレクティック構造を持つポアソン写像は存在しない。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}}$一方、シンプレクティック写像は豊富に存在する。より一般的には、2つのシンプレクティック多様体が与えられた場合、${\displaystyle (M_{1},\omega _{1})}$そして${\displaystyle (M_{2},\omega _{2})}$そして滑らかな地図${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$、 もし${\displaystyle f}$はポアソン写像であり、沈没でなければならないが、${\displaystyle f}$これはシンプレクティック写像なので、没入写像でなければなりません。

Aシンプレクティック群はリー群である${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$シンプレクティック形式とともに${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {G}})}$これは乗法的でもある。つまり、群体乗法との以下の代数的互換性を満たす。${\displaystyle m^{*}\omega ={\rm {pr}}_{1}^{*}\omega +{\rm {pr}}_{2}^{*}\omega }$同等に、グラフは${\displaystyle m}$ラグランジュ部分多様体であるように求められている${\displaystyle ({\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}},\omega \oplus \omega \oplus -\omega )}$複数の結果の中でも、${\displaystyle {\mathcal {G}}}$自動的に2倍の次元になります${\displaystyle M}$シンプレクティック群の概念は、1980年代末に複数の著者によって独立して導入されました。^{[ 34 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 24 ]}

基本的な定理によれば、任意のシンプレクティック群の基底空間は一意のポアソン構造を持つ。${\displaystyle \pi }$ソースマップ${\displaystyle s:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$そしてターゲットマップ${\displaystyle t:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$これらはそれぞれ、ポアソン写像と反ポアソン写像である。さらに、リー代数${\displaystyle {\rm {Lie}}({\mathcal {G}})}$コタンジェント代数列と同型である${\displaystyle T^{*}M}$ポアソン多様体に関連する${\displaystyle (M,\pi )}$[ ^{39 ]逆に}、余接束が${\displaystyle T^{*}M}$ポアソン多様体の積分が（リー代数として）可積分である場合、${\displaystyle s}$- シンプルコネクテッドインテグレーション${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$自動的にシンプレクティック群となる。^{[ 40 ]}

したがって、ポアソン多様体の積分可能性問題は、その余接代数を積分する（シンプレクティックな）リー群を見つけることにあります。これが実現した場合、ポアソン構造は積分可能であると呼ばれます。

ポアソン多様体は局所積分（すなわち、乗法が局所的にのみ定義されるシンプレクティック群）を許容するが、^{[ 39 ]}リー代数群の積分可能性理論から生じる、積分可能性に対する一般的な位相的障害が存在する。^{[ 41 ]}候補${\displaystyle \Pi (M,\pi )}$任意のポアソン多様体を積分するシンプレクティック群状体の場合${\displaystyle (M,\pi )}$これはポアソンホモトピー群圏と呼ばれ、単に余接代数群のŠevera-Weinstein群圏^{[ 42 ] [ 41 ]である。}${\displaystyle T^{*}M\to M}$、の特殊なクラスのパスのバナッハ空間の商から構成される${\displaystyle T^{*}M}$適切な等価関係によって。同様に、${\displaystyle \Pi (M,\pi )}$無限次元のシンプレクティック商として記述することができる。^{[ 35 ]}

• 自明なポアソン構造${\displaystyle (M,0)}$は常に積分可能であり、シンプレクティック群圏はアーベル群（加法群）の束である。${\displaystyle T^{*}M\rightrightarrows M}$標準的なシンプレクティック構造を持つ。
• 非退化ポアソン構造${\displaystyle M}$は常に積分可能であり、シンプレクティック群圏はペア群圏である。${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$シンプレクティック形式とともに${\displaystyle s^{*}\omega -t^{*}\omega }$（のために${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1}}$)
• リー・ポアソン構造${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$は常に積分可能であり、シンプレクティック群圏は（共随伴）作用群圏である。${\displaystyle G\times {\mathfrak {g}}^{*}\rightrightarrows {\mathfrak {g}}^{*}}$、 のために${\displaystyle G}$リー群を統合する${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$正準シンプレクティック形式とともに${\displaystyle T^{*}G\cong G\times {\mathfrak {g}}^{*}}$。
• リー・ポアソン構造${\displaystyle A^{*}}$リー代数が積分可能であるのは、${\displaystyle A\to M}$リー群に積分可能である${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$シンプレクティック群圏は余接群圏である${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$標準的なシンプレクティック形式を用いて。

ポアソン多様体 M 上の（完全な）シンプレクティック実現は、シンプレクティック多様体から構成される。${\displaystyle (P,\omega )}$ポアソンマップと共に${\displaystyle \phi$ :(P,\omega )\to (M,\pi )} は全射沈めです。大まかに言うと、シンプレクティック実現の役割は、より大きく、より簡単な（非退化）ポアソン多様体に移行することによって、複雑な（退化）ポアソン多様体を「特異点解消」することです。

シンプレクティック実現${\displaystyle \phi }$は、任意の完全ハミルトニアンベクトル場に対して、${\displaystyle X_{H}}$ベクトル場${\displaystyle X_{H\circ \phi }}$も完全である。すべてのポアソン多様体に対してシンプレクティック実現は常に存在するが（そしていくつかの異なる証明が利用可能である）、^{[ 17 ] [ 38 ] [ 43 ]}完全なものは存在せず、その存在はポアソン多様体の積分可能性問題において基本的な役割を果たす。実際、リー代数群の積分可能性に対する位相的障害を使用すると、ポアソン多様体が積分可能であるのは、それが完全なシンプレクティック実現を許容する場合に限ることを示すことができる。^{[ 36 ]}この事実は、Crainic-Fernandes 障害を使用せずに、より直接的に証明することもできる。^{[ 44 ]}

• 任意のポアソン多様体が与えられた場合${\displaystyle (M,\pi )}$そのシンプレクティック葉${\displaystyle S\subseteq M}$これらはポアソン部分多様体である。
• 任意のポアソン多様体が与えられた場合${\displaystyle (M,\pi )}$そしてカシミール関数${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$そのレベルセット${\displaystyle f^{-1}(\lambda )}$、 と${\displaystyle \lambda }$通常の値${\displaystyle f}$これらはポアソン部分多様体である（実際にはシンプレクティック葉の和集合である）。
• リー代数を考える${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$そしてリー・ポアソン構造は${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$。 もし${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$コンパクトであり、そのキリングフォームは${\displaystyle \mathrm {ad} }$-不変内積${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$したがって${\displaystyle \mathrm {ad} ^{*}}$-不変内積${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{{\mathfrak {g}}^{*}}}$の上${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$すると球体が${\displaystyle \mathbb {S} _{\lambda }=\{\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}|\langle \xi ,\xi \rangle _{{\mathfrak {g}}^{*}}=\lambda ^{2}\}\subseteq {\mathfrak {g}}^{*}}$はすべてのポアソン部分多様体である${\displaystyle \lambda >0}$は、共随軌道（リー・ポアソン構造のシンプレクティック葉）の和集合である。これは、次の点に気付いた後、同様に確認することができる。${\displaystyle \mathbb {S} _{\lambda }=f^{-1}(\lambda ^{2})}$カシミール関数の場合${\displaystyle f(\xi )=\langle \xi ,\xi \rangle _{{\mathfrak {g}}^{*}}}$。