ディラック構造

数学において、ディラック構造は、シンプレクティック構造とポアソン構造の両方を一般化した幾何学的構造であり、力学にいくつかの応用があります。これは、ポール・ディラックによって導入されたディラック括弧制約の概念に基づいており、テッド・クーラントとアラン・ワインスタインによって初めて導入されました。

を実ベクトル空間とし、その双対とする。上の（線型）ディラック構造は、を満たす 線型部分空間である。${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle D}$${\displaystyle V\times V^{*}}$

• 持っているものすべてに対して、${\displaystyle (v,\alpha )\in D}$${\displaystyle \left\langle \alpha ,\,v\right\rangle =0}$
• ${\displaystyle D}$この特性に関しては最大です。

特に、が有限次元である場合、 のときに 2 番目の基準が満たされます。他の体上のベクトル空間に対しても同様の定義を行うことができます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \dim D=\dim V}$

よく使われる代替の（同等の）定義は、が を満たすというものです。ここで、直交性はによって与えられる上の対称双線形形式に関してです。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle D=D^{\perp }}$${\displaystyle V\times V^{*}}$${\displaystyle {\bigl \langle }(u,\alpha ),\,(v,\beta ){\bigr \rangle }=\left\langle \alpha ,v\right\rangle +\left\langle \beta ,u\right\rangle }$

1. がベクトル部分空間である場合、 は上のディラック構造であり、は の消滅子、つまり です。${\displaystyle U\subset V}$${\displaystyle D=U\times U^{\circ }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{\circ }=\left\{\alpha \in V^{*}\mid \alpha _{\vert U}=0\right\}}$
2. を歪対称線型写像とすると、 のグラフはディラック構造になります。${\displaystyle \omega :V\to V^{*}}$${\displaystyle \omega }$
3. 同様に、が歪対称線型写像である場合、そのグラフはディラック構造です。${\displaystyle \Pi :V^{*}\to V}$

滑らかな多様体上のディラック構造は 、各 に対して、接空間上の（線型）ディラック構造を に割り当てたものである。つまり、 ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m\in M}$

• 各 に対して、空間 のディラック部分空間。${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle D_{m}}$${\displaystyle T_{m}M\times T_{m}^{*}M}$

多くの著者、特に力学への応用ではなく幾何学においては、次のような追加の積分条件を満たすディラック構造を要求します。

• がディラックバンドル（）のセクションであるとすると、${\displaystyle (X_{i},\alpha _{i})}$${\displaystyle {\mathfrak {D}}\to M}$${\displaystyle i=1,2,3}$${\displaystyle \left\langle L_{X_{1}}(\alpha _{2}),\,X_{3}\right\rangle +\left\langle L_{X_{2}}(\alpha _{3}),\,X_{1}\right\rangle +\left\langle L_{X_{3}}(\alpha _{1}),\,X_{2}\right\rangle =0.}$

力学の文献では、これは閉じた、あるいは積分可能なディラック構造と呼ばれます。

1. を多様体 上の定数階の滑らかな分布とし、各 に対して のとき、上のこれらの部分空間の和集合は上のディラック構造を形成します。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle M}$${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle D_{m}=\{(u,\alpha )\in T_{m}M\times T_{m}^{*}M\mid u\in \Delta (m),\,\alpha \in \Delta (m)^{\circ }\}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$
2. を多様体上のシンプレクティック形式とすると、そのグラフは（閉じた）ディラック構造になります。より一般的には、これは任意の閉じた 2 形式に当てはまります。2 形式が閉じていない場合、結果として得られるディラック構造は閉じません。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle M}$
3. を多様体上のポアソン構造とすると、そのグラフは（閉じた）ディラック構造になります。 ${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle M}$

• H. Bursztyn、「ディラック多様体の簡単な紹介。量子場理論のための幾何学的および位相的手法」、4-38、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、2013年。

• Bursztyn, Henrique; Crainic, Marius (2005)。「ディラック構造、運動量マップ、および準ポアソン多様体」。シンプレクティック幾何学とポアソン幾何学の広がり。数学の進歩。第 232 巻。Birkhauser 出版。pp. 1–40。

• クーラント、セオドア(1990)。「ディラック多様体」。アメリカ数学会誌。319 (2): 631–661。doi : 10.1090 /S0002-9947-1990-0998124-1。

• セオドア・クーラント;アラン・ワインスタイン(1988)。 「ポアソン構造を超えて」。南ローダニアン幾何学セミナー VIII。トラヴォー・アン・クール。 Vol. 27. パリ：ヘルマン。

• ドルフマン、イレーヌ（1993）。ディラック構造と非線形発展方程式の積分可能性。ワイリー。

• Gay-Balmaz, François; Yoshimura, Hiroaki (2020). 「単純な開放系における非平衡熱力学のディラック構造」. Journal of Mathematical Physics . 61 (9): 092701 (45 pp). arXiv : 1907.13211 . Bibcode :2020JMP....61i2701G. doi :10.1063/1.5120390. S2CID  199001204.

• van der Schaft, Arjan ; Maschke, Bernhard M. (2002). 「境界エネルギーフローを伴う分布定数システムのハミルトン定式化」(PDF) . Journal of Geometry and Physics . 42 (1–2): 166–194. Bibcode :2002JGP....42..166V. doi :10.1016/S0393-0440(01)00083-3.

• 吉村 弘明、マースデン ジェロルド E. (2006)。「ラグランジュ力学におけるディラック構造。I. 暗黙的ラグランジュ系」。Journal of Geometry and Physics。57 : 133–156。doi : 10.1016/ j.geomphys.2006.02.009。

• 吉村 弘明;マースデン ジェロルド E. (2006). 「ラグランジアン力学におけるディラック構造。II. 変分構造」.幾何学と物理学ジャーナル. 57 : 209–250. CiteSeerX  10.1.1.570.4792 . doi :10.1016/j.geomphys.2006.02.012.