余代数

数学において、余代数または余代数は、単位結合代数と双対である（矢印を逆にするカテゴリ理論的な意味で）構造です。単位結合代数の公理は、可換図式で定式化できます。すべての矢印を逆にすると、余代数の公理が得られます。すべての余代数は、（ベクトル空間の）双対性により代数を生み出しますが、一般にその逆は起こりません。有限次元では、この双対性は両方向に進みます（以下を参照）。

余代数は、さまざまなコンテキスト（たとえば、表現論、普遍包絡代数、群スキーム）で自然に発生します。

F-余代数も存在し、コンピュータサイエンスにおいて重要な応用があります。

余代数のよく見られる例の 1 つは、表現論、特に回転群の表現論で発生します。物理学で実際に使用される主なタスクは、角運動量とスピンの異なる状態を持つシステムの組み合わせを取得することです。この目的には、クレプシュ・ゴルダン係数 を使用します。角運動量 と を持つ2 つのシステムが与えられた場合、特に重要なタスクは、結合状態 が与えられたときに合計角運動量を見つけることです。これは、テンソル積の各辺から必要な量を抽出する合計角運動量演算子によって提供されます。これは、「外部」テンソル積として記述できます。 ${\displaystyle A,B}$${\displaystyle j_{A}}$${\displaystyle j_{B}}$${\displaystyle j_{A}+j_{B}}$${\displaystyle |A\rangle \otimes |B\rangle }$

${\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} }$

ここで「外部」という言葉が出てくるが、これはテンソル代数の「内部」テンソル積とは対照的である。テンソル代数にはテンソル積（内部テンソル積）が付属しているが、2つ目のテンソル積である「外部」テンソル積、つまり上記の形式の余積も備えることもできる。これらが2つの異なる積であることは、ベクトルとスカラーの内部テンソル積が単なるスカラー乗算であることを思い出すことで強調される。外部積はそれらを分離する。この設定では、余積は写像である。

${\displaystyle \Delta :J\to J\otimes J}$

それは

${\displaystyle \Delta :\mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} }$

この例では、は回転群のスピン表現の 1 つと見なすことができ、基本表現は常識的な選択です。この余積は、自由オブジェクトに適用される簡単な補題によって、テンソル代数全体に持ち上げることができます。テンソル代数は自由代数であるため、部分集合上で定義された準同型は代数全体に拡張できます。持ち上げ方を詳細に調べると、余積はシャッフル積 のように動作することがわかります。これは基本的に、上記の 2 つの要素、左と右は、複数の角運動量の積の間、順番に保持される必要があるためです (回転は可換ではありません)。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle \mathbf {j} }$

を余積に一度だけ出現させるという特殊な形式は、（たとえば） を定義するのではなく、線形性を維持するためです。この例では（そして表現論全般では）、余積は線形でなければなりません。一般的な規則として、表現論における余積は既約であり、因子はリトルウッド・リチャードソン則によって与えられます。（リトルウッド・リチャードソン則は、クレプシュ・ゴルダン係数と同じ考え方を伝えますが、より一般的な設定です）。 ${\displaystyle \mathbf {j} }$${\displaystyle \mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes \mathbf {j} }$

以下に示すコジェネバの正式な定義は、この特定の特殊なケースとその必須の特性を一般的な設定に抽象化します。

形式的には、体K 上の余代数とは、 K上のベクトル空間 Cと、K線型写像Δ: C → C ⊗ Cおよびε: C → Kであって、

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \varepsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\varepsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \デルタ }$。

(ここで、⊗ はK上のテンソル積を指し、id は恒等関数です。)

同様に、次の 2 つの図は交換可能です。

最初の図では、C ⊗ ( C ⊗ C ) は ( C ⊗ C ) ⊗ Cと同一視されており、この 2 つは自然に同型です。^[1]同様に、2 番目の図では、自然に同型な空間C、C ⊗ K、K ⊗ Cが同一視されています。^[2]

最初の図は代数乗法の結合性（余乗法の余結合性と呼ばれる）を表現する図の双対である。2番目の図は乗法単位元の存在を表現する図の双対である。したがって、写像 Δ はCの余乗法（または余積）と呼ばれ、ε はCの余弦単位。

任意の集合 Sをとり、次のように基底Sを持つKベクトル空間C = K ^{( S )を形成する。このベクトル空間}Cの要素は、 SからKへの関数で、有限個を除くすべてのSの要素を 0 に写すものである。Sの要素s を、 s を1 に、 Sのその他の要素をすべて0 に 写す関数と同一視する。定義

Δ( s ) = s ⊗ sであり、 S内のすべてのsに対してε( s ) = 1である。

線形性により、 Δ と ε は両方ともC全体に一意に拡張できます。ベクトル空間C は、余乗法 Δ と余単位 ε を持つ余代数になります。

2番目の例として、 1つの不定元X内の多項式環 K [ X ]を考えます。これは、すべてのn ≥ 0に対して次を定義すると、コジェネバ（分割ベキコジェネバ^{[3] [4]} ）になります。

${\displaystyle \Delta (X^{n})=\sum _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}X^{k}\otimes X^{nk},}$

${\displaystyle \varepsilon (X^{n})={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0\\0&{\mbox{if }}n>0\end{cases}}}$

再び、線形性のため、これはK [ X ]のすべてにおいて Δ と ε を一意に定義するのに十分です。これで、K [ X ] は単位結合代数と余代数の両方となり、2 つの構造は互換性があります。このようなオブジェクトは双代数と呼ばれ、実際に実際に考慮される重要な余代数のほとんどは双代数です。

余代数の例としては、テンソル代数、外代数、ホップ代数、リー双代数などがあります。上記の多項式の場合とは異なり、これらはいずれも可換ではありません。したがって、余積は、上記の分割されたべき乗構造ではなく、シャッフル積になります。シャッフル積は、非可換代数に必要なように、積に現れる項の順序を保存するため適切です。

位相空間の特異ホモロジーは、例えば係数が体とみなされる場合など、キュネス同型が成り立つときは常に次数付き余代数を形成する。 ^[5]

C が基底{ s , c } を持つKベクトル空間である場合、Δ: C → C ⊗ Cは次のように与えられる。

Δ( s ) = s ⊗ c + c ⊗ s

Δ( c ) = c ⊗ c − s ⊗ s

そしてε: C → Kは次のように与えられる。

ε( s ) = 0 である。

ε( c ) = 1 である。

この場合、( C ,Δ,ε)は三角余剰余数として知られる余剰余数である。^{[6] [7]}

区間集合Jを持つ局所有限な半集合 Pに対して、Jを基底とする接続余代数C を定義する。余乗法と余単位は次のように定義される。

${\displaystyle \Delta [x,z]=\sum _{y\in [x,z]}[x,y]\otimes [y,z]{\text{ for }}x\leq z\ .}$

${\displaystyle \varepsilon [x,y]={\begin{cases}1&{\text{if }}x=y,\\0&{\text{if }}x\neq y.\end{cases}}}$

長さ0の区間はPの点に対応し、群のような要素である。^[8]

有限次元では、代数と余代数の双対性はより近くなります。有限次元 (単位結合的) 代数の双対は余代数であり、有限次元余代数の双対は (単位結合的) 代数です。一般に、代数の双対は余代数ではない場合があります。

重要な点は、有限次元では、( A ⊗ A ) ^∗とA ^∗ ⊗ A ^{∗ は}同型であるということです。

これらを区別するには、一般に、代数と余代数は双対概念(つまり、それらの公理が双対である、つまり矢印を逆にする) ですが、有限次元の場合は、それらは双対オブジェクトでもあります(つまり、余代数は代数の双対オブジェクトであり、その逆も同様です)。

Aが有限次元の単位結合K代数である場合、AからKへのすべてのK線型写像からなるそのK双対A ^{∗ は余代数です。} Aの乗法は線型写像A ⊗ A → Aと見なすことができ、これを双対化すると線型写像A ^∗ → ( A ⊗ A ) ^∗が得られます。有限次元の場合、( A ⊗ A ) ^{∗ は自然に}A ^∗ ⊗ A ^∗と同型であるため、これはA ^∗上の余乗法を定義します。 A ^∗の余単位は、 1 で線型関数を評価することによって与えられます。

余代数を扱う場合、共乗法の特定の表記法によって式が大幅に簡略化され、非常に人気が高まっています。余代数の元c （ C 、Δ、ε）が与えられた場合、元cが存在する。^{（１  ）}
_​およびc^（ ２）
_​C言語 では

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}}$

この和の項の数も、 またはのそれぞれの正確な値も によって一意に決定されるわけではないことに注意してください。 有限個の項が存在し、これらすべての項の完全な和が正しい値 を持つことが約束されているだけです。 ${\displaystyle c_{(1)}^{(i)}}$${\displaystyle c_{(2)}^{(i)}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}}$${\displaystyle \Delta (c)}$

スウィードラーの記法[ ^{9] （}モス・スウィードラーにちなんで名付けられた）では、これは次のように略記される。

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}.}$

εがコユニットであるという事実は、次の式で表すことができます。

${\displaystyle c=\sum _{(c)}\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}c_{(1)}\varepsilon (c_{( 2)}).\;}$

ここで、 の和は、の前の和と同様に、同じ数の項を持ち、およびの値のリストも同じであることがわかります。 ${\displaystyle c_{(1)}}$${\displaystyle c_{(2)}}$${\displaystyle \Delta (c)}$

Δの共結合性は次のように表される。

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes \left(\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right)=\sum _{(c)}\left(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right)\otimes c_{(2)}.}$

スウィードラーの記法では、これらの式は両方とも次のように書かれる。

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.}$

和の記号を省略する著者もいる。この和なしのスウィードラー記法では、次のように書く。

${\displaystyle \Delta (c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}}$

そして

${\displaystyle c=\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;}$

この種の式で、小括弧で囲まれたインデックスを持つ変数に遭遇した場合は、その変数の合計記号が暗黙的に示されます。

余代数( C , Δ, ε )が共可換であるとは、σ: C ⊗ C → C ⊗ Cが、 Cのすべてのc、dに対してσ ( c ⊗ d ) = d ⊗ cで定義されるK線型写像である場合である。スウィードラーの無和記法では、Cが共可換であるための必要条件は次の通りである。 ${\displaystyle \sigma \circ \Delta =\Delta }$

${\displaystyle c_{(1)}\otimes c_{(2)}=c_{(2)}\otimes c_{(1)}}$

すべてのc はCに含まれます。(ここでは暗黙の合計が重要であることを理解することが重要です。すべての加数が等しい必要はなく、合計が等しいことだけが求められます。これははるかに弱い要件です。)

群のような元（または集合のような元）は、Δ( x ) = x ⊗ xかつε ( x ) = 1となる元xである。この命名規則が示唆するものに反して、群のような元は常にグループを形成するわけではなく、一般的には集合のみを形成する。ホップ代数の群のような元はグループを形成する。原始元は、 Δ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ xを満たす元xである。ホップ代数の原始元はリー代数を形成する。^{[10] [11]}

( C ₁ , Δ ₁ , ε ₁ )と( C ₂ , Δ ₂ , ε ₂ )が同じ体K上の 2 つの余代数である場合、C _1からC ₂への余代数射は、およびとなるK線型写像f  : C ₁ → C ₂です。スウィードラーの無和記法では、これらの特性の最初のものは次のように記述されます。 ${\displaystyle (f\otimes f)\circ \Delta _{1}=\Delta _{2}\circ f}$${\displaystyle \varepsilon _{2}\circ f=\varepsilon _{1}}$

${\displaystyle f(c_{(1)})\otimes f(c_{(2)})=f(c)_{(1)}\otimes f(c)_{(2)}.}$

2 つの余代数射の合成もまた余代数射であり、K上の余代数とこの射の概念はカテゴリを形成します。

Cの線型部分空間 Iは、 I ⊆ ker( ε )かつΔ( I ) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ Iのとき、コイデアルと呼ばれます。その場合、商空間C / Iは自然にコジェネラルになります。

Cの部分空間D は、 Δ( D ) ⊆ D ⊗ Dのとき部分余代数と呼ばれます。その場合、D自体は余代数であり、余単位としてεの制限があります。

あらゆる余代数射f  : C ₁ → C ₂の核はC ₁の余イデアルであり、その像はC ₂の部分余代数である。共通の同型定理は余代数に対して有効であり、例えばC ₁ /ker( f ) は im( f )と同型である。

Aが有限次元単位結合K代数である場合、A ^{∗ は}有限次元余代数であり、実際、すべての有限次元余代数は、このようにして何らかの有限次元代数 (つまり、余代数のK双対) から生じます。この対応関係では、可換有限次元代数は、共可換有限次元余代数に対応します。したがって、有限次元の場合、代数の理論と余代数の理論は双対であり、一方を研究することは、他方を研究することと同じです。ただし、無限次元の場合、関係は発散します。すべての余代のK双対は代数ですが、無限次元代数のK双対は余代数である必要はありません。

すべての余代数はその有限次元部分余代数の合計ですが、代数の場合はそうではありません。抽象的には、余代数は有限次元単位結合代数の一般化、または双対です。

代数の表現の概念に対応するのは、コア表現またはコモジュールです。

• コフリー余剰代数
• 余代数の測定
• ダイアル代数

• Block, Richard E.; Leroux, Pierre (1985)、「一般化された代数の双対余代数と余自由余代数への応用」、Journal of Pure and Applied Algebra、36 (1): 15–21、doi : 10.1016/0022-4049(85)90060-X、ISSN  0022-4049、MR  0782637、Zbl  0556.16005
• ダスカレスク、ソリン。ナスタセスク、コンスタンティン。 Raianu、Øerban (2001)、Hopf Algebras: An Introduction、Pure and Applied Mathematics、vol. 235 (第 1 版)、ニューヨーク州ニューヨーク: Marcel Dekker、ISBN 0-8247-0481-9、ZBL  0962.16026。
• Gómez-Torrecillas、José (1998)、「可換環上の Coalgebras and comodules」、Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées、43 : 591–603
• Hazewinkel, Michiel (2003)、「Cofree 余代数と多変数再帰性」、Journal of Pure and Applied Algebra、183 (1): 61–103、doi : 10.1016/S0022-4049(03)00013-6、ISSN  0022-4049、MR  1992043、Zbl  1048.16022
• モンゴメリー、スーザン（1993）、ホップ代数と環上の作用、数学地域会議シリーズ、第82巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0738-2、ZBL  0793.16029
• アンダーウッド、ロバート G. (2011)、ホップ代数入門、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-72765-3、Zbl  1234.16022
• 横沼武夫 (1992)、「テンソル空間と外積代数」、数学モノグラフ翻訳第108巻、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-4564-0、ZBL  0754.15028
• ブルバキ、ニコラス (1989)の第 3 章、セクション 11 。代数。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 0-387-19373-1。

• ウィリアム・チン: 余代数表現論の簡単な紹介