勢いマップ

数学、特にシンプレクティック幾何学において、運動量マップ（または、誤った語源ではモーメントマップ^{[1] ）は、}シンプレクティック多様体上のリー群のハミルトン 作用に関連付けられたツールであり、作用の保存量を構成するために使用されます。運動量マップは、線型運動量と角運動量の古典的な概念を一般化します。これは、以下で説明するシンプレクティック（マースデン–ワインスタイン）商やシンプレクティックカットと和を含む、シンプレクティック多様体のさまざまな構成に不可欠な要素です。

をシンプレクティック形式を持つ多様体とする。リー群がシンプレクティック同相写像を介してに作用すると仮定する（つまり、における各 の作用は を保存する）。のリー代数、その双対、および と する。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \rangle :{\mathfrak {g}}^{*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} }$

2つの間のペアリング。 の任意のものは、 の微小な作用を記述するベクトル場を誘導する。正確には、ベクトルの点では ${\displaystyle \xi}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \rho (\xi )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \rho (\xi )_{x}}$

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,}$

ここで は指数写像であり、は への -作用を表します。^{[2] は}によるこのベクトル場の収縮を表します。はシンプレクト同相写像によって作用するため、は閉じていることがわかります(内のすべての に対して)。 ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}$${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

が閉じているだけでなく正確でもあり、ある関数 に対して であると仮定します。これが成り立つ場合、 を選択して写像を線形にすることができます。に対する -作用の運動量写像は、${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega =\mathrm {d} H_{\xi }}$${\displaystyle H_{\xi}:M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle H_{\xi}}$${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle \mathrm {d} (\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _{\rho (\xi )}\omega }$

すべてにおいてです。からへの関数はによって定義されます。運動量マップは、積分の加法定数まで一意に定義されます (各連結成分上)。 ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle }$

シンプレクティック多様体上の - 作用は、それがシンプレクティックであり、運動量マップが存在する場合、 ハミルトニアンと呼ばれます。${\displaystyle G}$${\displaystyle (M,\omega )}$

運動量写像は、しばしば-同変であることも要求されます。ここで、 は余関節作用 を介してに作用し、この要件はハミルトン群作用の定義に含まれることがあります。群がコンパクトまたは半単純である場合、積分定数は常に運動量写像を余関節同変にするように選択できます。ただし、一般に、余関節作用は写像を同変にするために修正されなければなりません (これは、たとえばユークリッド群の場合に当てはまります)。修正は、の値を持つ群上の1-コサイクルによって行われ、これは Souriau (1970) によって初めて説明されました。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

円のハミルトン作用の場合、リー代数双対は自然に と同一視され、運動量写像は単に円作用を生成するハミルトン関数になります。 ${\displaystyle G=U(1)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

もう 1 つの古典的なケースは、が の余接束であり、が回転と平行移動によって生成されるユークリッド群である場合に発生します。つまり、は 6 次元群であり、との半直積です。運動量マップの 6 つの成分は、3 つの角運動量と 3 つの線形運動量です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

を滑らかな多様体とし、をその余接束とし、射影写像を とします。を 上のトートロジー 1-形式とします。 がに作用するとします。に対してによって与えられる、シンプレクティック多様体 への の誘導作用は、すべての に対して運動量写像を持つハミルトニアンです。ここで はベクトル場 の収縮、つまり1-形式を持つの微小作用を表します。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle T^{*}N}$${\displaystyle \pi :T^{*}N\rightarrow N}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle T^{*}N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (T^{*}N,\mathrm {d} \tau )}$${\displaystyle g\cdot \eta :=(T_{\pi (\eta )}g^{-1})^{*}\eta }$${\displaystyle g\in G,\eta \in T^{*}N}$${\displaystyle -\iota _{\rho (\xi )}\tau }$${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\tau }$${\displaystyle \rho (\xi )}$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \tau }$

以下に述べる事実は、運動量マップのさらなる例を生成するために使用できます。

をそれぞれリー代数 を持つリー群とします。 ${\displaystyle G,H}$${\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}}$

1. を余関節軌道とします。すると、包含写像が運動量写像となるような唯一のシンプレクティック構造が 上に存在します。${\displaystyle {\mathcal {O}}(F),F\in {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(F)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(F)\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$
2. が、作用に対する運動量写像を持つシンプレクティック多様体上に作用し、がリー群準同型であるとすると、への の作用が生じます。すると、へのの作用もハミルトンであり、運動量写像は で与えられます。ここで はへの双対写像です(は の恒等元を表します)。特に興味深いのは、が のリー部分群であり が包含写像である場合です。${\displaystyle G}$${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle \Phi _{G}:M\rightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle \psi :H\rightarrow G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}\circ \Phi _{G}}$${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}:{\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \psi }$
3. をハミルトン-多様体、をハミルトン-多様体とします。このとき、の への自然な作用はハミルトンであり、運動量マップは 2 つの運動量マップとの直和です。ここで であり、 は射影マップを表します。${\displaystyle (M_{1},\omega _{1})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (M_{2},\omega _{2})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G\times H}$${\displaystyle (M_{1}\times M_{2},\omega _{1}\times \omega _{2})}$${\displaystyle \Phi _{G}}$${\displaystyle \Phi _{H}}$${\displaystyle \omega _{1}\times \omega _{2}:=\pi _{1}^{*}\omega _{1}+\pi _{2}^{*}\omega _{2}}$${\displaystyle \pi _{i}:M_{1}\times M_{2}\rightarrow M_{i}}$
4. をハミルトン -多様体とし、の下で不変なの部分多様体をとし、上のシンプレクティック形式の への制限が非退化であるとします。これにより、 に自然な方法でシンプレクティック構造が与えられます。すると、上の の作用もハミルトンであり、運動量マップは包含マップと の運動量マップとの合成です。${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$

リー群の シンプレクティック多様体への作用が、上で定義したように、同変運動量写像 を持つハミルトン作用であると仮定します。ハミルトン条件から、 はに対して不変であることがわかります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$${\displaystyle G}$

ここで、 が に自由かつ適切に作用すると仮定します。したがって、は の正規値であるため、とその商は両方とも滑らかな多様体です。商は からシンプレクティック形式を継承します。つまり、への引き戻しがからへの制限に等しい商上に一意のシンプレクティック形式が存在します。したがって、商はシンプレクティック多様体であり、(Marsden & Weinstein 1974)シンプレクティック商、またはによるのシンプレクティック縮小にちなんで、マースデン・ワインスタイン商と呼ばれます。商の次元は、 の次元から の次元の2 倍を引いたものに等しくなります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M/\!\!/G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$

より一般的には、G が自由に作用しない場合（ただし適切に作用する場合）、（Sjamaar & Lerman 1991）は、が成層シンプレクティック空間、つまり、層上に互換性のあるシンプレクティック構造を持つ 成層空間であることを示しました。${\displaystyle M/\!\!/G=\mu ^{-1}(0)/G}$

曲面上の 自明な束上の接続空間は無限次元シンプレクティック形式をとる。${\displaystyle \Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \Sigma \times G}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle :=\int _{\Sigma }{\text{tr}}(\alpha \wedge \beta ).}$

ゲージ群は共役によって接続に作用します。積分ペアリングを介して識別します。次に、マップ ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\text{Map}}(\Sigma ,G)}$${\displaystyle g\cdot A:=g^{-1}(\mathrm {d} g)+g^{-1}Ag}$${\displaystyle {\text{Lie}}({\mathcal {G}})=\Omega ^{0}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})=\Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})^{*}}$

${\displaystyle \mu :\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})\rightarrow \Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}}),\qquad A\;\mapsto \;F:=\mathrm {d} A+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]}$

その曲率に接続を送るものは、接続に対するゲージ群の作用に対するモーメントマップです。特に、ゲージ同値性を法とする平坦接続のモジュライ空間は、シンプレクティック縮小によって与えられます。 ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/{\mathcal {G}}=\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})/\!\!/{\mathcal {G}}}$

• GIT 指数
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• キルワン地図
• コスタントの凸性定理
• BRST量子化

• J.-M. Souriau、Structure des systèmes dynamiques、Maîtrises de mathématiques、デュノー、パリ、1​​970。ISSN 0750-2435  。
• SK DonaldsonとPB Kronheimer、『4次元多様体の幾何学』、Oxford Science Publications、1990年。ISBN 0-19-850269-9。 
• Dusa McDuffと Dietmar Salamon、『Introduction to Symplectic Topology』、Oxford Science Publications、1998 年。ISBN 0-19-850451-9。 
• Choquet-Bruhat, イヴォンヌ県; DeWitt-Morette、Cécile (1977)、分析、多様体、物理学、アムステルダム: エルゼビア、ISBN 978-0-7204-0494-4
• オルテガ、フアン・パブロ、ラティウ、チューダー S. (2004)。運動量マップとハミルトン縮小。数学の進歩。第 222 巻。バークハウザー ボストン。ISBN 0-8176-4307-9。
• オーダン、ミシェル(2004)、「シンプレクティック多様体上のトーラス作用」、Progress in Mathematics、第93巻（第2改訂版）、ビルクハウザー、ISBN 3-7643-2176-8
• ギユマン、ビクター、シュロモ・スターンバーグ（1990）、物理学におけるシンプレクティック技法（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-38990-9
• ウッドワード、クリス (2010)、モーメントマップと幾何学的不変理論、Les cours du CIRM、vol. 1、EUDML、pp. 55–98、arXiv : 0912.1132、Bibcode :2009arXiv0912.1132W
• Bruguières、Alain (1987)、「Propriétés de convexité de l'application moment」(PDF)、Astérisque、Séminaire Bourbaki、145–146: 63–87
• マースデン、ジェロルド、ワインスタイン、アラン（1974）、「対称性を持つシンプレクティック多様体の縮約」、数理物理学レポート、5（1）：121–130、Bibcode：1974RpMP....5..121M、doi：10.1016/0034-4877（74）90021-4
• Sjamaar, Reyer; Lerman, Eugene (1991)、「層状シンプレクティック空間と縮約」、Annals of Mathematics、134 (2): 375–422、doi :10.2307/2944350、JSTOR  2944350