コンパクトリー代数

数学のリー理論の分野では、コンパクト リー代数の定義が 2 つあります。外在的かつ位相的に、コンパクト リー代数はコンパクト リー群のリー代数です。^{[1]この定義にはトーラスが含まれます。内在的かつ代数的に、コンパクト リー代数は、}キリング形式が負定値である実リー代数です。この定義はより制限的で、トーラスを除外します。^[2]コンパクト リー代数は、対応する複素リー代数の 最小の実形式、つまり複素化として見ることができます。

形式的には、コンパクトリー代数はコンパクトリー群のリー代数として定義することも、キリング形式が負定値である実リー代数として定義することもできる。これらの定義は完全には一致しない: ^[2]

• コンパクト リー群のリー代数上のキリング形式は、一般に負定値ではなく、半負定値です。
• リー代数のキリング形式が負定値である場合、リー代数はコンパクトな半単純リー群のリー代数です。

一般に、コンパクト リー群のリー代数は、可換な加数 (対応する部分群はトーラス) とキリング形式が負定値である加数のリー代数の直和として分解されます。

上記の最初の結果の逆は偽であることに注意することが重要です。リー代数のキリング形式が負の半正定値であっても、これはリー代数が何らかのコンパクト群のリー代数であることを意味しません。たとえば、ハイゼンベルク群のリー代数上のキリング形式は恒等的にゼロであるため、負の半正定値ですが、このリー代数はどのコンパクト群のリー代数でもありません。

• コンパクトリー代数は簡約的である。^[3]コンパクト群一般についても同様の結果が得られることに注意する。
• コンパクト・リー群Gのリー代数は、 Ad( G ) 不変な内積, を許容します。^[4]逆に、 がAd 不変な内積 を許容する場合、 はあるコンパクト群のリー代数です。^[5]が半単純である場合、この内積はキリング形式の負にすることができます。したがって、この内積に対して、Ad( G ) は直交変換( ) によって作用し、歪対称行列( )によって作用します。^[4]複素半単純リー代数をコンパクト群のリー代数の複素化と見なすことで、その理論を展開することができます。^[6]コンパクトな実形式上に Ad 不変な内積が存在することで、展開が大幅に簡素化されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {SO} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \operatorname {ad} \ {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}({\mathfrak {g}})}$

  これは、リー代数の表現可能性に関するアドーの定理のコンパクトな類似物として見ることができる。すなわち、特性0の有限次元リー代数が、特性0のコンパクトリー代数に埋め込まれるのと同様に、${\displaystyle {\mathfrak {gl}},}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}.}$

• コンパクト リー代数のサタケ図は、すべての頂点が黒く塗りつぶされた複素リー代数のディンキン図です。
• コンパクト リー代数は、実形式間の実リー代数の分割とは逆であり、分割リー代数はコンパクトから「可能な限り」離れています。

コンパクト リー代数は、複素半単純リー代数のコンパクト実数形式に従って分類され、命名されます。これらは次のとおりです。

• ${\displaystyle A_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{n+1},}$特殊ユニタリ群に対応する（正確には、コンパクト形式は射影特殊ユニタリ群PSU である）。
• ${\displaystyle B_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1},}$特殊直交群に対応する（または直交群に対応する）；${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{2n+1},}$
• ${\displaystyle C_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{n},}$コンパクトシンプレクティック群に対応する。と書かれることもある。${\displaystyle {\mathfrak {usp}}_{n},}$
• ${\displaystyle D_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n},}$特殊直交群に対応する（または直交群に対応する）（正確には、コンパクト形式は射影特殊直交群PSOである）；${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{2n},}$
• 例外リー代数のコンパクト実数形式 ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}.}$

を 、を、を とり、をとれば、この分類は冗長ではありません。代わりに または をとると、例外的な同型が得られます。 ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle A_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle B_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle C_{n},}$${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle D_{n}.}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle n\geq 1}$

は自明な図式であり、自明な群に対応する。${\displaystyle n=0,}$ ${\displaystyle A_{0}\cong B_{0}\cong C_{0}\cong D_{0}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (1)\cong \operatorname {SO} (1)\cong \operatorname {Sp} (0)\cong \operatorname {SO} (0).}$

同型は図の同型と、対応するリー群（3次元球面または単位四元数）の同型に対応します。 ${\displaystyle n=1,}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\cong {\mathfrak {sp}}_{1}}$${\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$

同型性は図式の同型性とリー群の同型性に対応する。${\displaystyle n=2,}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{5}\cong {\mathfrak {sp}}_{2}}$${\displaystyle B_{2}\cong C_{2},}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)\cong \operatorname {Spin} (5).}$

同型性は図式の同型性とリー群の同型性に対応する。${\displaystyle n=3,}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{6}}$${\displaystyle A_{3}\cong D_{3},}$${\displaystyle \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6).}$

とを図として考えると、これらはそれぞれ、およびに同型であり、対応するリー代数の同型性を持つ。 ${\displaystyle E_{4}}$${\displaystyle E_{5}}$${\displaystyle A_{4}}$${\displaystyle D_{5},}$

• 実体
• 分割リー代数

• リー群、コンパクト、数学百科事典