運動量を用いた古典力学の定式化
ウィリアム・ローワン・ハミルトン卿 物理学 において 、 ハミルトン力学は 1833年に登場した ラグランジュ力学 の再定式化である。ウィリアム ・ローワン・ハミルトン卿 によって提唱され、 [1] ハミルトン力学はラグランジュ力学で使用される（一般化された）速度を （一般化された）運動 量に置き換えたものである。どちらの理論も 古典力学 の解釈を提供し 、同じ物理現象を記述する。
q
˙
i
{\displaystyle {\dot {q}}^{i}}
ハミルトン力学は幾何学（特にシンプレクティック幾何学 と ポアソン構造 ）と密接な関係があり 、 古典力学と 量子力学をつなぐ 役割 を果たします。
概要
位相空間座標（ p 、 q ）とハミルトニアン H 配置空間 と滑らかな ラグランジアンを 持つ 力学システム を 考えます。 上の 標準座標系を選択します。 量は 運動量 と呼ばれます 。 （ 一般化運動量 、 共役運動量 、 正準運動量 とも呼ばれます）。 ある瞬間に対して、 の ルジャンドル変換 は、 滑らかな逆関数を持つと仮定される マップとして定義されます。 自由度を 持つシステムの場合 、ラグランジアン力学は エネルギー関数を定義します。
(
M
,
L
)
{\displaystyle (M,{\mathcal {L}})}
M
{\displaystyle M}
L
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}.}
(
q
,
q
˙
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}
M
.
{\displaystyle M.}
p
i
(
q
,
q
˙
,
t
)
=
def
∂
L
/
∂
q
˙
i
{\displaystyle \textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}}
t
,
{\displaystyle t,}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
(
q
,
q
˙
)
→
(
p
,
q
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\to \left({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}\right)}
(
p
,
q
)
→
(
q
,
q
˙
)
.
{\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).}
n
{\displaystyle n}
E
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
=
def
∑
i
=
1
n
q
˙
i
∂
L
∂
q
˙
i
−
L
.
{\displaystyle E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\mathcal {L}}.}
のルジャンドル変換は、 ハミルトニアン と呼ばれる 関数に 変換されます 。ハミルトニアンは を満たし、
これは となることを意味します。
ここで、速度は( -次元) 方程式 から求められ、仮定により、この方程式は に対して一意に解けます 。この ( -次元) ペアは 位相空間座標 と呼ばれます。( 標準座標 とも呼ばれます )。
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
E
L
{\displaystyle E_{\mathcal {L}}}
H
(
p
,
q
,
t
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}
H
(
∂
L
∂
q
˙
,
q
,
t
)
=
E
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}},{\boldsymbol {q}},t\right)=E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}
H
(
p
,
q
,
t
)
=
∑
i
=
1
n
p
i
q
˙
i
−
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
,
{\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t),}
q
˙
=
(
q
˙
1
,
…
,
q
˙
n
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})}
n
{\displaystyle n}
p
=
∂
L
/
∂
q
˙
{\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}}
q
˙
{\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}}
2
n
{\displaystyle 2n}
(
p
,
q
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}
オイラー・ラグランジュ方程式からハミルトン方程式へ 位相空間座標において 、
(
p
,
q
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}
（ - 次元 ） オイラー・ラグランジュ方程式は 次元
のハミルトン方程式 に
なる。
n
{\displaystyle n}
∂
L
∂
q
−
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}=0}
2
n
{\displaystyle 2n}
d
q
d
t
=
∂
H
∂
p
,
d
p
d
t
=
−
∂
H
∂
q
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}},\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.}
証拠 ハミルトニアン は ラグランジアン の ルジャンドル変換 な
ので
、
H
(
p
,
q
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}
L
(
q
,
q
˙
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})}
L
(
q
,
q
˙
)
+
H
(
p
,
q
)
=
p
q
˙
{\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})={\boldsymbol {p}}{\dot {\boldsymbol {q}}}}
∂
H
∂
p
=
q
˙
∂
L
∂
q
=
−
∂
H
∂
q
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}&={\dot {\boldsymbol {q}}}\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}},\end{aligned}}}
さらに、 なので 、オイラー・ラグランジュ方程式は
p
=
∂
L
/
∂
q
˙
{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}
p
˙
=
d
p
d
t
=
∂
L
∂
q
=
−
∂
H
∂
q
.
{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {p}}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.}
定常作用原理からハミルトン方程式へ
が 、と なる 滑らかな経路の集合であるとします 。 作用 汎関数は、 、および(上記参照) によって定義されます
。経路 が の 停留点 (したがって運動方程式) となるのは、 位相空間座標における経路がハミルトン方程式に従う
場合のみです。
P
(
a
,
b
,
x
a
,
x
b
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}
q
:
[
a
,
b
]
→
M
{\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M}
q
(
a
)
=
x
a
{\displaystyle {\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}}
q
(
b
)
=
x
b
.
{\displaystyle {\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.}
S
:
P
(
a
,
b
,
x
a
,
x
b
)
→
R
{\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R} }
S
[
q
]
=
∫
a
b
L
(
t
,
q
(
t
)
,
q
˙
(
t
)
)
d
t
=
∫
a
b
(
∑
i
=
1
n
p
i
q
˙
i
−
H
(
p
,
q
,
t
)
)
d
t
,
{\displaystyle {\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)\right)\,dt,}
q
=
q
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t)}
p
=
∂
L
/
∂
q
˙
{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}
q
∈
P
(
a
,
b
,
x
a
,
x
b
)
{\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
(
p
(
t
)
,
q
(
t
)
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {p}}(t),{\boldsymbol {q}}(t))}
基本的な物理的解釈 ハミルトン力学の簡単な解釈は、質量m の非相対論的粒子 1 個からなる 1 次元システムへの適用から得られます。 ハミルトニアンの 値はシステムの全エネルギーであり、この場合は 運動エネルギー と 位置エネルギー の合計で、従来はそれぞれ T と V で表されます。ここで、 p は運動量 mv 、 q は 空間座標です。したがって、
T は p のみの関数であり 、 V は q のみの関数です (つまり、 T と V は 強弱関係 にあります )。
H
(
p
,
q
)
{\displaystyle H(p,q)}
H
=
T
+
V
,
T
=
p
2
2
m
,
V
=
V
(
q
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V,\qquad T={\frac {p^{2}}{2m}},\qquad V=V(q)}
この例では、 q の時間微分 は速度なので、最初のハミルトン方程式は、粒子の速度が運動量に対する運動エネルギーの微分に等しいことを意味します。運動量 pの時間微分は ニュートン力 に等しい ので、2 番目のハミルトン方程式は、力が 位置エネルギーの
負の 勾配に等しいことを意味します。
例
球面振り子は、 球 の表面上を 摩擦なし で動く 質量 m で構成されます。 質量に作用する 力は 、球からの 反作用と 重力 のみです。 球面座標は、質量の位置を ( r 、 θ 、 φ ) で表すために使用されます 。ここで、 r は固定で、 r = ℓ です。
球面振り子 ：角度と速度。 このシステムのラグランジアンは [2]
L
=
1
2
m
ℓ
2
(
θ
˙
2
+
sin
2
θ
φ
˙
2
)
+
m
g
ℓ
cos
θ
.
{\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\varphi }}^{2}\right)+mg\ell \cos \theta .}
したがって、ハミルトニアンは
、
であり
、
座標と運動量に関して、ハミルトニアンは次のように読み取れます。
ハミルトン方程式は、4 つの 1 階微分方程式で座標と共役運動量の時間発展を与えます。
角運動量 の垂直成分に対応する
運動量 は、運動定数です。これは、システムが垂直軸を中心に回転対称である結果です。ハミルトニアンに存在しないため、 方位角は 巡回座標 であり 、共役運動量が保存されることを意味します。
H
=
P
θ
θ
˙
+
P
φ
φ
˙
−
L
{\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\varphi }{\dot {\varphi }}-L}
P
θ
=
∂
L
∂
θ
˙
=
m
ℓ
2
θ
˙
{\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=m\ell ^{2}{\dot {\theta }}}
P
φ
=
∂
L
∂
φ
˙
=
m
ℓ
2
sin
2
θ
φ
˙
.
{\displaystyle P_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}.}
H
=
[
1
2
m
ℓ
2
θ
˙
2
+
1
2
m
ℓ
2
sin
2
θ
φ
˙
2
]
⏟
T
+
[
−
m
g
ℓ
cos
θ
]
⏟
V
=
P
θ
2
2
m
ℓ
2
+
P
φ
2
2
m
ℓ
2
sin
2
θ
−
m
g
ℓ
cos
θ
.
{\displaystyle H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mg\ell \cos \theta {\Big ]}} _{V}={\frac {P_{\theta }^{2}}{2m\ell ^{2}}}+{\frac {P_{\varphi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-mg\ell \cos \theta .}
θ
˙
=
P
θ
m
ℓ
2
φ
˙
=
P
φ
m
ℓ
2
sin
2
θ
P
θ
˙
=
P
φ
2
m
ℓ
2
sin
3
θ
cos
θ
−
m
g
ℓ
sin
θ
P
φ
˙
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={P_{\theta } \over m\ell ^{2}}\\[6pt]{\dot {\varphi }}&={P_{\varphi } \over m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }\\[6pt]{\dot {P_{\theta }}}&={P_{\varphi }^{2} \over m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mg\ell \sin \theta \\[6pt]{\dot {P_{\varphi }}}&=0.\end{aligned}}}
P
φ
{\displaystyle P_{\varphi }}
L
z
=
ℓ
sin
θ
×
m
ℓ
sin
θ
φ
˙
{\displaystyle L_{z}=\ell \sin \theta \times m\ell \sin \theta \,{\dot {\varphi }}}
φ
{\displaystyle \varphi }
ハミルトン方程式の導出 ハミルトン方程式は、ラグランジアン 、一般化され た
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
位置 q i 、および一般化された速度 を用いた計算によって導くことができる。 ⋅ q i 、ここで
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\ldots ,n}
。 [3] ここでは オフシェルで 。つまり
q
i
{\displaystyle q^{i}}
、
q
˙
i
{\displaystyle {\dot {q}}^{i}}
、 は
t
{\displaystyle t}
位相空間内の独立した座標であり、いかなる運動方程式にも従う制約がありません（特に、 の導関数ではありません ）。 ラグランジアン
全体の微分は
として定義されている ため、この式は次のように書き直すことができます。
q
˙
i
{\displaystyle {\dot {q}}^{i}}
q
i
{\displaystyle q^{i}}
d
L
=
∑
i
(
∂
L
∂
q
i
d
q
i
+
∂
L
∂
q
˙
i
d
q
˙
i
)
+
∂
L
∂
t
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\,\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}
p
i
=
∂
L
/
∂
q
˙
i
{\displaystyle p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}}
d
L
=
∑
i
(
∂
L
∂
q
i
d
q
i
+
p
i
d
q
˙
i
)
+
∂
L
∂
t
d
t
=
∑
i
(
∂
L
∂
q
i
d
q
i
+
d
(
p
i
q
˙
i
)
−
q
˙
i
d
p
i
)
+
∂
L
∂
t
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\mathcal {L}}=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\\=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} (p_{i}{\dot {q}}^{i})-{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,.\end{aligned}}}
並べ替えると次のようになります。
d
(
∑
i
p
i
q
˙
i
−
L
)
=
∑
i
(
−
∂
L
∂
q
i
d
q
i
+
q
˙
i
d
p
i
)
−
∂
L
∂
t
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {d} \!\left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}
左側の括弧内の項は、 前に定義したハミルトニアンなので、次のようになります。
H
=
∑
p
i
q
˙
i
−
L
{\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}
d
H
=
∑
i
(
−
∂
L
∂
q
i
d
q
i
+
q
˙
i
d
p
i
)
−
∂
L
∂
t
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}
また、ハミルトニアンの全微分を、 , , の代わりに、座標 , , に関して計算すると 、次のようになります。
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
q
i
{\displaystyle q^{i}}
p
i
{\displaystyle p_{i}}
t
{\displaystyle t}
q
i
{\displaystyle q^{i}}
q
˙
i
{\displaystyle {\dot {q}}^{i}}
t
{\displaystyle t}
d
H
=
∑
i
(
∂
H
∂
q
i
d
q
i
+
∂
H
∂
p
i
d
p
i
)
+
∂
H
∂
t
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}
ここ
で 、
d
H
{\displaystyle d{\mathcal {H}}}
について、
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
について、 これらの 2 つの式を等しくすることができます 。
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
∑
i
(
−
∂
L
∂
q
i
d
q
i
+
q
˙
i
d
p
i
)
−
∂
L
∂
t
d
t
=
∑
i
(
∂
H
∂
q
i
d
q
i
+
∂
H
∂
p
i
d
p
i
)
+
∂
H
∂
t
d
t
.
{\displaystyle \sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ =\ \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}
これらの計算はオフシェルであるため、 両辺の
d
q
i
{\displaystyle \mathrm {d} q^{i}}
、
d
p
i
{\displaystyle \mathrm {d} p_{i}}
、 のそれぞれの係数を等しくすることができます。
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} t}
∂
H
∂
q
i
=
−
∂
L
∂
q
i
,
∂
H
∂
p
i
=
q
˙
i
,
∂
H
∂
t
=
−
∂
L
∂
t
.
{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}\ .}
オンシェルでは、 位相空間の軌道を定義するパラメトリック関数を速度で 置き換え 、 ラグランジュ方程式 に従います 。
q
i
=
q
i
(
t
)
{\displaystyle q^{i}=q^{i}(t)}
q
˙
i
=
d
d
t
q
i
(
t
)
{\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
i
−
∂
L
∂
q
i
=
0
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0\ .}
整理し、オンシェルの観点から書き直すと 次のようになります。
p
i
=
p
i
(
t
)
{\displaystyle p_{i}=p_{i}(t)}
∂
L
∂
q
i
=
p
˙
i
.
{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}\ .}
したがって、ラグランジュ方程式はハミルトン方程式と同等です。
∂
H
∂
q
i
=
−
p
˙
i
,
∂
H
∂
p
i
=
q
˙
i
,
∂
H
∂
t
=
−
∂
L
∂
t
.
{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\dot {p}}_{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,.}
時間に依存しない 、 つまり の 場合 、ハミルトン方程式は 2 n 個の 1 次微分 方程式 で構成されますが、ラグランジュ方程式は n 個 の2 次方程式で構成されます。ハミルトン方程式によって明示的な解を求める難しさが軽減されることは通常ありませんが、座標と運動量はほぼ対称的な役割を持つ独立変数であるため、重要な理論的結果を導き出すことができます。
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
∂
H
/
∂
t
=
−
∂
L
/
∂
t
=
0
{\displaystyle \partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0}
ハミルトン方程式にはラグランジュ方程式に比べてもう一つの利点がある。システムが対称性を持ち、ある座標が ハミルトニアンに現れない場合（つまり 巡回座標 ）、対応する運動量座標は 各軌道に沿って保存され、その座標はセットの他の方程式で定数に縮小できる。これにより、問題は n 座標から （ n −1）座標に効果的に縮小される。これが幾何学における シンプレクティック縮小 の基礎である 。ラグランジュの枠組みでは、運動量保存則も直ちに導かれるが、一般化された速度はすべてラグランジュに現れるため、 n 座標の方程式系を 解く必要がある。 [4]
q
i
{\displaystyle q_{i}}
p
i
{\displaystyle p_{i}}
q
˙
i
{\displaystyle {\dot {q}}_{i}}
ラグランジアンとハミルトニアンのアプローチは、古典力学におけるより深い結果の基礎を提供し、 量子力学 における類似の定式化、すなわち 経路積分定式化 と シュレーディンガー方程式 を示唆しています。
ハミルトニアンの性質
全システムエネルギーとしてのハミルトニアン 与えられたシステムへの適用において、ハミルトニアンは次のように解釈されることが多い。
H
=
T
+
V
{\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}
ここで、 は運動エネルギー、 は 位置エネルギーです。この関係式を使用すると、最初にラグランジアンを計算し、次にラグランジアンからハミルトニアンを導出するよりも簡単になります。ただし、この関係式はすべてのシステムに当てはまるわけではありません。
T
{\displaystyle T}
V
{\displaystyle V}
この関係は、以下の条件がすべて満たされる非相対論的システムに対して成立する [5] [6]
∂
V
(
q
,
q
˙
,
t
)
∂
q
˙
i
=
0
,
∀
i
{\displaystyle {\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i}
∂
T
(
q
,
q
˙
,
t
)
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0}
T
(
q
,
q
˙
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
c
i
j
(
q
)
q
˙
i
q
˙
j
)
{\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}}
ここで 、は時間、 はシステムの自由度の数、それぞれは の任意のスカラー関数です 。
t
{\displaystyle t}
n
{\displaystyle n}
c
i
j
(
q
)
{\displaystyle c_{ij}({\boldsymbol {q}})}
q
{\displaystyle {\boldsymbol {q}}}
言葉で言えば、これは、 が 時間 を明示的な変数として含まず（硬質 ） 、 が一般化速度を明示的な変数として含まず、 の各項が 一般化速度の 2 次式である場合に、関係式が真であることを意味します。
H
=
T
+
V
{\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}
T
{\displaystyle T}
V
{\displaystyle V}
T
{\displaystyle T}
証拠 この証明の前に、関連する数学的表記の曖昧さに対処することが重要です。 を等しくするために変数の変更を使用できますが
、 に注意することが重要です
。 この場合、右辺は常に 0 に評価されます。 偏微分内で変数の変更を実行するには、 多変数連鎖律 を使用する必要があります。 したがって、曖昧さを避けるために、偏微分内のすべての項の関数引数を記述する必要があります。
L
(
p
,
q
,
t
)
=
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)={\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}
∂
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
∂
q
˙
i
≠
∂
L
(
p
,
q
,
t
)
∂
q
˙
i
{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\neq {\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}
さらに、この証明では という表記を使用して で あることを示します 。
f
(
a
,
b
,
c
)
=
f
(
a
,
b
)
{\displaystyle f(a,b,c)=f(a,b)}
∂
f
(
a
,
b
,
c
)
∂
c
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial f(a,b,c)}{\partial c}}=0}
証拠 自由度系
におけるハミルトニアン、一般化運動量、ラグランジアンの定義から始める
n
{\displaystyle n}
H
=
∑
i
=
1
n
(
p
i
q
˙
i
)
−
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}p_{i}{\dot {q}}_{i}{\biggr )}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}
p
i
(
q
,
q
˙
,
t
)
=
∂
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
∂
q
˙
i
{\displaystyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
=
T
(
q
,
q
˙
,
t
)
−
V
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}
一般化された運動量をハミルトニアンに代入すると、
H
=
∑
i
=
1
n
(
∂
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
∂
q
˙
i
q
˙
i
)
−
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}
結果にラグランジアンを代入すると、
H
=
∑
i
=
1
n
(
∂
(
T
(
q
,
q
˙
,
t
)
−
V
(
q
,
q
˙
,
t
)
)
∂
q
˙
i
q
˙
i
)
−
(
T
(
q
,
q
˙
,
t
)
−
V
(
q
,
q
˙
,
t
)
)
=
∑
i
=
1
n
(
∂
T
(
q
,
q
˙
,
t
)
∂
q
˙
i
q
˙
i
−
∂
V
(
q
,
q
˙
,
t
)
∂
q
˙
i
q
˙
i
)
−
T
(
q
,
q
˙
,
t
)
+
V
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \left(T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\right)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-\left(T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)+V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\end{aligned}}}
さて、
∂
V
(
q
,
q
˙
,
t
)
∂
q
˙
i
=
0
,
∀
i
{\displaystyle {\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i}
そしてまた、
∂
T
(
q
,
q
˙
,
t
)
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0}
これらの仮定を適用すると、
H
=
∑
i
=
1
n
(
∂
T
(
q
,
q
˙
)
∂
q
˙
i
q
˙
i
−
∂
V
(
q
,
t
)
∂
q
˙
i
q
˙
i
)
−
T
(
q
,
q
˙
)
+
V
(
q
,
t
)
=
∑
i
=
1
n
(
∂
T
(
q
,
q
˙
)
∂
q
˙
i
q
˙
i
)
−
T
(
q
,
q
˙
)
+
V
(
q
,
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\end{aligned}}}
次にTが次の形式であると仮定する。
T
(
q
,
q
˙
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
c
i
j
(
q
)
q
˙
i
q
˙
j
)
{\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}}
ここで、それぞれは の任意のスカラー関数です 。
c
i
j
(
q
)
{\displaystyle c_{ij}({\boldsymbol {q}})}
q
{\displaystyle {\boldsymbol {q}}}
これを、 について微分すると 、
q
˙
l
{\displaystyle {\dot {q}}_{l}}
l
∈
[
1
,
n
]
{\displaystyle l\in [1,n]}
∂
T
(
q
,
q
˙
)
∂
q
˙
l
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
∂
[
c
i
j
(
q
)
q
˙
i
q
˙
j
]
∂
q
˙
l
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
c
i
j
(
q
)
∂
[
q
˙
i
q
˙
j
]
∂
q
˙
l
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}{\frac {\partial \left[c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\end{aligned}}}
和を分割し、偏微分を評価し、和を再結合すると、
∂
T
(
q
,
q
˙
)
∂
q
˙
l
=
∑
i
≠
l
n
∑
j
≠
l
n
(
c
i
j
(
q
)
∂
[
q
˙
i
q
˙
j
]
∂
q
˙
l
)
+
∑
i
≠
l
n
(
c
i
l
(
q
)
∂
[
q
˙
i
q
˙
l
]
∂
q
˙
l
)
+
∑
j
≠
l
n
(
c
l
j
(
q
)
∂
[
q
˙
l
q
˙
j
]
∂
q
˙
l
)
+
c
l
l
(
q
)
∂
[
q
˙
l
2
]
∂
q
˙
l
=
∑
i
≠
l
n
∑
j
≠
l
n
(
0
)
+
∑
i
≠
l
n
(
c
i
l
(
q
)
q
˙
i
)
+
∑
j
≠
l
n
(
c
l
j
(
q
)
q
˙
j
)
+
2
c
l
l
(
q
)
q
˙
l
=
∑
i
=
1
n
(
c
i
l
(
q
)
q
˙
i
)
+
∑
j
=
1
n
(
c
l
j
(
q
)
q
˙
j
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}^{2}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}\\&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}0{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}+2c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}}
これを で乗じた ものを
合計する と、
q
˙
l
{\displaystyle {\dot {q}}_{l}}
l
{\displaystyle l}
∑
l
=
1
n
(
∂
T
(
q
,
q
˙
)
∂
q
˙
l
q
˙
l
)
=
∑
l
=
1
n
(
(
∑
i
=
1
n
(
c
i
l
(
q
)
q
˙
i
)
+
∑
j
=
1
n
(
c
l
j
(
q
)
q
˙
j
)
)
q
˙
l
)
=
∑
l
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
c
i
l
(
q
)
q
˙
i
q
˙
l
)
+
∑
l
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
c
l
j
(
q
)
q
˙
j
q
˙
l
)
=
∑
i
=
1
n
∑
l
=
1
n
(
c
i
l
(
q
)
q
˙
i
q
˙
l
)
+
∑
l
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
c
l
j
(
q
)
q
˙
l
q
˙
j
)
=
T
(
q
,
q
˙
)
+
T
(
q
,
q
˙
)
=
2
T
(
q
,
q
˙
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\dot {q}}_{l}\right)&=\sum _{l=1}^{n}\left(\left(\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\right){\dot {q}}_{l}\right)\\&=\sum _{l=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}\\&=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\\&=2T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\end{aligned}}}
この簡略化はオイラーの同次関数定理 の結果です 。
したがって、ハミルトニアンは
H
=
∑
i
=
1
n
(
∂
T
(
q
,
q
˙
)
∂
q
˙
i
q
˙
i
)
−
T
(
q
,
q
˙
)
+
V
(
q
,
t
)
=
2
T
(
q
,
q
˙
)
−
T
(
q
,
q
˙
)
+
V
(
q
,
t
)
=
T
(
q
,
q
˙
)
+
V
(
q
,
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=2T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\end{aligned}}}
質点系への応用 質点系の場合、 一般化速度に関して が 2 次関数であるという要件は、 の場合には常に満たされます 。
これはいずれにしても に対する要件です。
T
{\displaystyle T}
T
(
q
,
q
˙
,
t
)
=
T
(
q
,
q
˙
)
{\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}
H
=
T
+
V
{\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}
証拠 N 個の質点からなる系の運動エネルギーを考えてみましょう。 と仮定すると 、 であることが示されます ( Scleronomous § 応用 を 参照)。したがって、運動エネルギーは
T
(
q
,
q
˙
,
t
)
=
T
(
q
,
q
˙
)
{\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}
r
˙
k
(
q
,
q
˙
,
t
)
=
r
˙
k
(
q
,
q
˙
)
{\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}
T
(
q
,
q
˙
)
=
1
2
∑
k
=
1
N
(
m
k
r
˙
k
(
q
,
q
˙
)
⋅
r
˙
k
(
q
,
q
˙
)
)
{\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\biggl (}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}){\biggr )}}
多くの変数の連鎖律は速度を拡張するために使用できる。
r
˙
k
(
q
,
q
˙
)
=
d
r
k
(
q
)
d
t
=
∑
i
=
1
n
(
∂
r
k
(
q
)
∂
q
i
q
˙
i
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})&={\frac {d\mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{dt}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\end{aligned}}}
その結果
T
(
q
,
q
˙
)
=
1
2
∑
k
=
1
N
(
m
k
(
∑
i
=
1
n
(
∂
r
k
(
q
)
∂
q
i
q
˙
i
)
⋅
∑
j
=
1
n
(
∂
r
k
(
q
)
∂
q
j
q
˙
j
)
)
)
=
∑
k
=
1
N
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
1
2
m
k
∂
r
k
(
q
)
∂
q
i
⋅
∂
r
k
(
q
)
∂
q
j
q
˙
i
q
˙
j
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
∑
k
=
1
N
(
1
2
m
k
∂
r
k
(
q
)
∂
q
i
⋅
∂
r
k
(
q
)
∂
q
j
)
q
˙
i
q
˙
j
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
c
i
j
(
q
)
q
˙
i
q
˙
j
)
{\displaystyle {\begin{aligned}T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})&={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(m_{k}\left(\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\cdot \sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\right)\right)\right)\\&=\sum _{k=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}m_{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1}{2}}m_{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}}
これは必要な形式です。
エネルギーの保存 の条件が 満たされる場合、ハミルトニアンの保存はエネルギーの保存を意味します。これには、 時間を明示的な変数として含まないという追加の条件が必要です。
H
=
T
+
V
{\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}
V
{\displaystyle V}
∂
V
(
q
,
q
˙
,
t
)
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0}
拡張オイラー・ラグランジュ定式化（ラグランジュ力学 § 非保存力を含めるための拡張 を 参照） に関しては、 レイリー散逸関数は 本質的にエネルギー散逸を表します。したがって、 の場合、エネルギーは保存されません 。これは、速度依存ポテンシャルに似ています。
R
≠
0
{\displaystyle R\neq 0}
要約すると、非相対論的システムで満たされる 要件は [5] [6]である。
H
=
T
+
V
=
constant of time
{\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V={\text{constant of time}}}
V
=
V
(
q
)
{\displaystyle V=V({\boldsymbol {q}})}
T
=
T
(
q
,
q
˙
)
{\displaystyle T=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}
T
{\displaystyle T}
は、同次二次関数である。
q
˙
{\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}}
電磁場中の荷電粒子のハミルトニアン ハミルトン力学の十分な例は、 電磁場 内の荷電粒子のハミルトニアンで与えられます。 直交座標 では、電磁場内の非相対論的古典粒子のラグランジアンは次のように表されます (SI 単位系 ) 。 ここ で
、 q は 粒子の 電荷、 φ は 電気スカラーポテンシャル 、 A i は 磁気ベクトルポテンシャル の成分であり 、
これらはすべて およびに 明示的に依存する場合があります 。
L
=
∑
i
1
2
m
x
˙
i
2
+
∑
i
q
x
˙
i
A
i
−
q
φ
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi ,}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
t
{\displaystyle t}
このラグランジアンは、オイラー・ラグランジュ方程式 と組み合わされて ローレンツ力の 法則
を生み出し
、 最小結合 と呼ばれます。
m
x
¨
=
q
E
+
q
x
˙
×
B
,
{\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,}
正準運動量は 次 のように与えられます。
p
i
=
∂
L
∂
x
˙
i
=
m
x
˙
i
+
q
A
i
.
{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}.}
したがって、ラグランジアンに対する
ルジャンドル変換 としてのハミルトニアンは、次のようになります。
H
=
∑
i
x
˙
i
p
i
−
L
=
∑
i
(
p
i
−
q
A
i
)
2
2
m
+
q
φ
.
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi .}
この方程式は 量子力学 で頻繁に使用されます。
ゲージ変換 の下では 、
f ( r , t ) は
空間 と時間の任意のスカラー関数です。前述のラグランジアン、正準運動量、ハミルトニアンは次のように変換されます。
これにより、同じハミルトン方程式が生成されます。
A
→
A
+
∇
f
,
φ
→
φ
−
f
˙
,
{\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}
L
→
L
′
=
L
+
q
d
f
d
t
,
p
→
p
′
=
p
+
q
∇
f
,
H
→
H
′
=
H
−
q
∂
f
∂
t
,
{\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}
∂
H
′
∂
x
i
|
p
i
′
=
∂
∂
x
i
|
p
i
′
(
x
˙
i
p
i
′
−
L
′
)
=
−
∂
L
′
∂
x
i
|
p
i
′
=
−
∂
L
∂
x
i
|
p
i
′
−
q
∂
∂
x
i
|
p
i
′
d
f
d
t
=
−
d
d
t
(
∂
L
∂
x
˙
i
|
p
i
′
+
q
∂
f
∂
x
i
|
p
i
′
)
=
−
p
˙
i
′
{\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}
量子力学では、 波動関数は ゲージ変換中に
局所 U(1) 群変換 [7] も受け、これはすべての物理的結果が局所U(1)変換に対して不変でなければならないことを意味する。
電磁場における相対論的荷電粒子 粒子（ 静止質量 と 電荷 ）の 相対論的ラグランジアンは 次 の ように与えられます。
m
{\displaystyle m}
q
{\displaystyle q}
L
(
t
)
=
−
m
c
2
1
−
x
˙
(
t
)
2
c
2
+
q
x
˙
(
t
)
⋅
A
(
x
(
t
)
,
t
)
−
q
φ
(
x
(
t
)
,
t
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}
したがって、粒子の標準運動量は
、運動運動量と位置運動量の合計になります。
p
(
t
)
=
∂
L
∂
x
˙
=
m
x
˙
1
−
x
˙
2
c
2
+
q
A
{\displaystyle \mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }
速度を解くと、
x
˙
(
t
)
=
p
−
q
A
m
2
+
1
c
2
(
p
−
q
A
)
2
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}}
つまりハミルトニアンは
H
(
t
)
=
x
˙
⋅
p
−
L
=
c
m
2
c
2
+
(
p
−
q
A
)
2
+
q
φ
{\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi }
この結果、力の方程式（ オイラー・ラグランジュ方程式 に相当）
が得られ
、そこから次の式が導かれる。
p
˙
=
−
∂
H
∂
x
=
q
x
˙
⋅
(
∇
A
)
−
q
∇
φ
=
q
∇
(
x
˙
⋅
A
)
−
q
∇
φ
{\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi }
d
d
t
(
m
x
˙
1
−
x
˙
2
c
2
)
=
d
d
t
(
p
−
q
A
)
=
p
˙
−
q
∂
A
∂
t
−
q
(
x
˙
⋅
∇
)
A
=
q
∇
(
x
˙
⋅
A
)
−
q
∇
φ
−
q
∂
A
∂
t
−
q
(
x
˙
⋅
∇
)
A
=
q
E
+
q
x
˙
×
B
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}}
上記の導出では ベクトル計算の恒等式 を利用しています。
1
2
∇
(
A
⋅
A
)
=
A
⋅
J
A
=
A
⋅
(
∇
A
)
=
(
A
⋅
∇
)
A
+
A
×
(
∇
×
A
)
.
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} ).}
相対論的（運動）運動
P
=
γ
m
x
˙
(
t
)
=
p
−
q
A
{\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {p} -q\mathbf {A} }
量の関数としてのハミルトニアンの同等の表現 は
、
H
(
t
)
=
x
˙
(
t
)
⋅
P
(
t
)
+
m
c
2
γ
+
q
φ
(
x
(
t
)
,
t
)
=
γ
m
c
2
+
q
φ
(
x
(
t
)
,
t
)
=
E
+
V
{\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}
これには、運動運動量は実験的に測定できるのに対し、正準運動量は 測定できないという 利点があります 。 ハミルトニアン ( 全エネルギー )は、 相対論的エネルギー (運動エネルギー + 静止エネルギー) と 位置エネルギー の合計として見る こと ができることに注意して ください
。
P
{\displaystyle \mathbf {P} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
E
=
γ
m
c
2
{\displaystyle E=\gamma mc^{2}}
V
=
q
φ
{\displaystyle V=q\varphi }
シンプレクティック幾何学からハミルトン方程式まで
ハミルトン系の幾何学 ハミルトニアンは 滑らかな偶数次元多様体 M 2 n 上に シンプレクティック構造 を誘導することができるが、最もよく知られているのは次の方法である。
閉じた 非退化シン プレクティック 2 形式 ω として。 ダルブーの定理 によれば、 M 上の任意の点の周りの小さな近傍に、 シンプレクティック形式が 次のようになる適切なローカル座標 ( 標準 座標 または シンプレクティック 座標) が存在します。
形式は、 接空間 と 余接空間 の 自然な同型性 を誘導します : 。これは、ベクトルを 1 形式 に マッピング する ことによって行われます。 ここで、すべての に対してです。 の 双線型性 と非退化、および という事実により 、マッピングは 確かに 線型同型 です。この同型性は、 上の座標の変更によって変化しないという点で 自然です。すべて 上で繰り返すと、 滑らかなベクトル場の無限次元空間と滑らかな 1 形式の無限次元空間の間に 同型性が得られます。 すべて の および 、
p
1
,
⋯
,
p
n
,
q
1
,
⋯
,
q
n
{\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}
ω
=
∑
i
=
1
n
d
p
i
∧
d
q
i
.
{\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}\,.}
ω
{\displaystyle \omega }
T
x
M
≅
T
x
∗
M
{\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}M}
ξ
∈
T
x
M
{\displaystyle \xi \in T_{x}M}
ω
ξ
∈
T
x
∗
M
{\displaystyle \omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M}
ω
ξ
(
η
)
=
ω
(
η
,
ξ
)
{\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi )}
η
∈
T
x
M
{\displaystyle \eta \in T_{x}M}
ω
{\displaystyle \omega }
dim
T
x
M
=
dim
T
x
∗
M
{\displaystyle \dim T_{x}M=\dim T_{x}^{*}M}
ξ
→
ω
ξ
{\displaystyle \xi \to \omega _{\xi }}
M
.
{\displaystyle M.}
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
J
−
1
:
Vect
(
M
)
→
Ω
1
(
M
)
{\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)}
f
,
g
∈
C
∞
(
M
,
R
)
{\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}
ξ
,
η
∈
Vect
(
M
)
{\displaystyle \xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M)}
J
−
1
(
f
ξ
+
g
η
)
=
f
J
−
1
(
ξ
)
+
g
J
−
1
(
η
)
.
{\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}
(代数的に言えば、 - 加群 と は同型である と言えます )。 の場合、任意の固定された 、 、 に対して、 は ハミルトンベクトル場 として知られています 。 上のそれぞれの微分方程式は、 ハミルトン方程式
と呼ばれます 。 ここで 、 および は における ベクトル場の (時間依存の) 値です 。
C
∞
(
M
,
R
)
{\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}
Vect
(
M
)
{\displaystyle {\text{Vect}}(M)}
Ω
1
(
M
)
{\displaystyle \Omega ^{1}(M)}
H
∈
C
∞
(
M
×
R
t
,
R
)
{\displaystyle H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} )}
t
∈
R
t
{\displaystyle t\in \mathbb {R} _{t}}
d
H
∈
Ω
1
(
M
)
{\displaystyle dH\in \Omega ^{1}(M)}
J
(
d
H
)
∈
Vect
(
M
)
{\displaystyle J(dH)\in {\text{Vect}}(M)}
J
(
d
H
)
{\displaystyle J(dH)}
M
{\displaystyle M}
x
˙
=
J
(
d
H
)
(
x
)
{\displaystyle {\dot {x}}=J(dH)(x)}
x
=
x
(
t
)
{\displaystyle x=x(t)}
J
(
d
H
)
(
x
)
∈
T
x
M
{\displaystyle J(dH)(x)\in T_{x}M}
J
(
d
H
)
{\displaystyle J(dH)}
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
ハミルトン系は、時間 R にわたる ファイバー束 E として理解でき 、 ファイバー E t は、時間 t ∈ R における位置空間です。したがって、ラグランジアンは、 ジェット束 J 上の E 上の関数です。ラグランジアンに対してファイバーごとの ルジャンドル変換を 行うと、 時間にわたる双対束上の関数が生成されます。この関数の tにおけるファイバーは、 コタンジェント空間 T ∗ E t です。この関数は、自然な シンプレクティック形式 を備えており 、この後者の関数がハミルトンです。ラグランジアン力学とハミルトン力学の対応は、 トートロジー 1 形式 によって実現されます。
シンプレクティック多様 体上の任意の 滑らか な 実数値関数 H は、 ハミルトン系を 定義するために使用できます 。関数 H は、「ハミルトニアン」または「エネルギー関数」として知られています。シンプレクティック多様体は 位相空間と呼ばれます。ハミルトニアンは、シンプレクティック多様体上に ハミルトニアンベクトル場 と呼ばれる 特別な ベクトル場 を誘導します。
ハミルトン ベクトル場は、多様体上に ハミルトン フローを 誘導します。これは、多様体の 1 パラメータ変換族です (曲線のパラメータは一般に「時間」と呼ばれます)。言い換えると、恒等 写像から始まるシンプ レクトモーフィズム の 同位体です。 リウヴィルの定理により、各シンプレクトモーフィズムは 位相空間 上の 体積形式を 保存します 。ハミルトン フローによって誘導されるシンプレクトモーフィズムの集合は、一般にハミルトン システムの「ハミルトン力学」と呼ばれます。
シンプレクティック構造は ポアソン括弧を誘導します。ポアソン括弧は多様体上の関数の空間に リー代数 の構造を与えます 。
F と Gが M 上の滑らかな関数である 場合 、滑らかな関数 ω ( J ( dF ), J ( dG )) は適切に定義されます。これは関数 F と Gの ポアソン括弧 と呼ばれ、 { F , G } と表記されます 。ポアソン括弧には次の特性があります。
双線性 反対称 ライプニッツの法則 :
{
F
1
⋅
F
2
,
G
}
=
F
1
{
F
2
,
G
}
+
F
2
{
F
1
,
G
}
{\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}
ヤコビ恒等式 :
{
{
H
,
F
}
,
G
}
+
{
{
F
,
G
}
,
H
}
+
{
{
G
,
H
}
,
F
}
≡
0
{\displaystyle \{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0}
非退化: M 上の 点 xが F にとって重要でない場合、 となる 滑らかな関数 G が存在します。
{
F
,
G
}
(
x
)
≠
0
{\displaystyle \{F,G\}(x)\neq 0}
関数 fが与えられ、 確率分布 ρ
が存在する場合 、（位相空間速度は 発散がゼロで確率が保存されるため）その対流微分はゼロであることが示され、したがって
d
d
t
f
=
∂
∂
t
f
+
{
f
,
H
}
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},}
(
p
˙
i
,
q
˙
i
)
{\displaystyle ({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})}
∂
∂
t
ρ
=
−
{
ρ
,
H
}
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}}
これはリウヴィルの定理 と呼ばれます 。 シンプレクティック多様体 上のすべての 滑らかな関数 G は、1 パラメータのシンプレク ティック同相写像 の族を生成し 、 { G , H } = 0 の場合、 G は保存され、シンプレクティック同相写像は 対称変換 です。
ハミルトニアンは複数の保存量 G i を 持つことができる。シンプレクティック多様体が次元 2 n を 持ち、関数的に独立したn 個の保存量 G i が反転状態に ある場合 (つまり、 { G i 、 G j } = 0 )、ハミルトニアンは リウヴィル積分 可能である。 リウヴィル・アーノルドの定理によれば、局所的には、任意のリウヴィル積分可能ハミルトニアンはシンプレクトモフィズムを介して、保存量 G i を 座標とする新しいハミルトニアンに変換できる 。新しい座標は 作用角座標と呼ばれる。変換されたハミルトニアンは G i のみに依存するため 、運動方程式は
ある関数 F に対して単純な形になる。 [9] KAM定理 によって支配される積分可能システムからの小さな偏差に焦点を当てた分野全体がある 。
G
˙
i
=
0
,
φ
˙
i
=
F
i
(
G
)
{\displaystyle {\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)}
ハミルトン ベクトル場の積分可能性は未解決の問題です。一般に、ハミルトン システムは 混沌と しており、測度、完全性、積分可能性、安定性の概念は明確に定義されていません。
リーマン多様体 重要な特別なケースは、2次形式 であるハミルトニアン 、つまり次のように書けるハミルトニアンである。
ここで 、⟨ , ⟩ q は ファイバー T 上の 滑らかに変化する 内積である。
H
(
q
,
p
)
=
1
2
⟨
p
,
p
⟩
q
{\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}}
∗ q Q は 配置空間 の 点 qへの 余接空間 であり 、コメトリックと呼ばれることもあります。このハミルトニアンは完全に運動 項 で構成されます。
リーマン多様体 または 擬リーマン多様体 を考えると 、 リーマン計量は 接線束と余接線束の間に線型同型を誘導します。（ 音楽同型 を参照）。この同型を使用して、コメメトリックを定義できます。（座標では、コメメトリックを定義する行列は、計量を定義する行列の逆です。）このハミルトニアンの ハミルトン・ヤコビ方程式の解は、多様体上の 測地線 と同じになります 。特に、この場合の ハミルトンフローは 測地線フロー と同じものです。このような解の存在と解の集合の完全性については、 測地線 の記事で詳しく説明しています。 ハミルトンフローとしての測地線 も参照してください 。
リーマン多様体未満 コメメトリックが退化している場合、それは可逆ではありません。この場合、計量がないので、リーマン多様体は存在しません。しかし、ハミルトニアンは存在します。コメメトリックが 配置空間多様体 Qのすべての点 q で退化している場合、つまりコメメトリックの 階数が多様体 Q の次元よりも小さい場合 、 サブリーマン多様体 が存在します。
この場合のハミルトニアンは、 サブリーマン ハミルトニアン と呼ばれます。このようなハミルトニアンはいずれもコメトリックを一意に決定し、コメトリックはサブリーマン ハミルトニアンを一意に決定します。これは、すべての サブリーマン多様体は そのサブリーマン ハミルトニアンによって一意に決定され、その逆も真であることを意味します。つまり、すべてのサブリーマン多様体は、一意のサブリーマン ハミルトニアンを持ちます。サブリーマン測地線の存在は、 Chow-Rashevskii の定理 によって与えられます。
連続した実数値 ハイゼンベルク群は、 リーマン多様体の簡単な例を提供します。ハイゼンベルク群の場合、ハミルトニアンは
pで与えられ 、z は ハミルトニアンに含まれません。
H
(
x
,
y
,
z
,
p
x
,
p
y
,
p
z
)
=
1
2
(
p
x
2
+
p
y
2
)
.
{\displaystyle {\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right).}
ポアソン代数 ハミルトン系は、さまざまな方法で一般化できます。 シンプレクティック多様体 上の 滑らかな関数 の 代数を単純に見るのではなく、ハミルトン力学は、一般的な 可換単位 実 ポアソン 代数 上で定式化できます 。 状態は 、ポアソン代数（適切な 位相を備えた）上の 連続 線形関数 であり、代数の任意の要素 A に対して 、 A 2 は 非負の実数にマッピングされます。
南部力学 によってさらに一般化が行われます 。
ポアソン括弧による量子力学への一般化 上記のハミルトン方程式は 古典力学 ではうまく機能しますが、 量子力学ではうまく機能しません。これは、ここで議論されている微分方程式が、任意の時点で粒子の正確な位置と運動量を同時に指定できることを前提としているためです。ただし、 p と q 上の ポアソン代数を モイアル括弧 の代数に 変形することで、方程式をさらに一般化して量子力学と古典力学の両方に適用できるように拡張できます 。
具体的には、ハミルトン方程式のより一般的な形式は、
f が p と q の何らかの関数であり
、 H が ハミルトニアンである、と読みます。微分方程式に頼らずに ポアソン括弧を 評価するための規則については、 リー代数を 参照してください。ポアソン括弧は、ポアソン代数 におけるリー括弧の名前です 。これらのポアソン括弧は、 ヒルブランド J. グローネウォルド によって証明されたように、同値でないリー代数に適合する モヤル括弧 に拡張することができ、それによって位相空間における量子力学的拡散を記述できます ( 位相空間定式化 と ウィグナー–ワイル変換を 参照)。このより代数的なアプローチにより、位相空間 における 確率分布を ウィグナー準確率分布 に 最終的に拡張できるだけでなく、単なるポアソン括弧の古典的な設定でも、 システム内の
関連する 保存量を 分析する上でより強力になります。
d
f
d
t
=
{
f
,
H
}
+
∂
f
∂
t
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}},}
参照
参考文献
^ ハミルトン、ウィリアム・ローワン卿 (1833)。特性関数の係数による光と惑星の軌道を表現する一般的な方法について。PD ハーディ印刷。OCLC 68159539 。 {{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)^ ランドー＆リフシッツ 1976、33-34ページ ^ この導出は、Arnol'd 1989、pp. 65-66に示されているものに沿ったものである。 ^ ゴールドスタイン、プール、サフコ 2002、347-349 ページ ^ マルハム 2016、pp. 49–50より ^ ランダウ＆リフシッツ 1976、14ページ ^ ジーン・ジャスティン、ジーン;グイダ、リッカルド (2008-12-04)。 「ゲージ不変性」。 スカラーペディア 。 3 (12): 8287。 書誌コード :2008SchpJ...3.8287Z。 土井 ： 10.4249/scholarpedia.8287 。 ISSN 1941-6016。 ^ アーノルド、コズロフ、ノイシュタット 1988
さらに読む
ランドー、レフ・ダヴィドヴィッチ 、 リフシッツ、エフゲニー・ミハイロヴィッチ (1976)。力学。 理論物理学講座 。第 1 巻。サイクス、JB (ジョン・ブラッドベリー)、ベル、JS (第 3 版)。オックスフォード 。ISBN 0-08-021022-8 . OCLC 2591126. {{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)アブラハム、R. ; マースデン、JE (1978)。力学の基礎 (第 2 版、改訂版、改訂版、再改訂版)。マサチューセッツ州レディング: ベンジャミン/カミングス出版 。ISBN 0-8053-0102-X . OCLC 3516353. アーノルド, VI ;コズロフ、バーモント州。ノイシュタット、AI (1988)。 「古典力学と天体力学の数学的側面」。数理科学百科事典、力学システム III。 Vol. 3. アノソフ、DV ベルリン: Springer-Verlag。 ISBN 0-387-17002-2 . OCLC 16404140. Arnol'd, VI (1989). 古典力学の数学的方法 (第 2 版). ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3 . OCLC 18681352. ゴールドスタイン、ハーバート 、プール、チャールズ P. Jr.、サフコ、ジョン L. (2002)。 古典力学 (第 3 版)。サンフランシスコ: アディソン ウェスレー 。ISBN 0-201-31611-0 . OCLC 47056311. Vinogradov, AM ; Kupershmidt, BA (1977-08-31). 「ハミルトン力学の構造」. ロシア数学概論 . 32 (4): 177–243. Bibcode :1977RuMaS..32..177V. doi :10.1070/RM1977v032n04ABEH001642. ISSN 0036-0279. S2CID 250805957.
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、ハミルトン力学 に関連するメディアがあります 。
![{\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990de891d10ad37bb4492f70cce6580acffc2abb)
![{\displaystyle {\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)\right)\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8019c0d9b1978276493ae6a9635878b6cf13659c)
![{\displaystyle H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mg\ell \cos \theta {\Big ]}} _{V}={\frac {P_{\theta }^{2}}{2m\ell ^{2}}}+{\frac {P_{\varphi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-mg\ell \cos \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbd62626a60945bf1c5c52d8ae3df7f0abc55c5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={P_{\theta } \over m\ell ^{2}}\\[6pt]{\dot {\varphi }}&= {P_{\varphi } \over m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }\\[6pt]{\dot {P_{\theta }}}&={P_{\varphi }^{2} \over m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mg\ell \sin \theta \\[6pt] {\dot {P_{\varphi }}}&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/134880330383c7f07ee281125b3e9c1934c67674)
![{\displaystyle l\in [1,n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ccea7c07db9b24d259507bc00a07f694f264b00)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}{\frac {\partial \left[c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be042b0b8af71cff1a0832d7c8038ee367819c61)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}^{2}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}\\&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}0{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}+2c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862080e8c2548a484e93e9487a5ac60d82918b73)
