ダルブーの定理

微分幾何学は数学の一分野であり、ダルブーの定理は、特殊なクラスの微分1形式の標準形を提供する定理で、フロベニウス積分定理を部分的に一般化したものです。この定理は、パフ問題の解として確立したジャン・ガストン・ダルブー^{[ 1 ]}にちなんで名付けられました。^{[ 2 ]}

これはいくつかの分野における基礎的な結果であり、中でもシンプレクティック幾何学が最も重要である。実際、その多くの帰結の一つは、同じ次元の任意の2つのシンプレクティック多様体は局所的に互いにシンプレクティック同相であるということである。つまり、すべての${\displaystyle 2n}$次元シンプレクティック多様体は、局所的には線形シンプレクティック空間のように見えるようにすることができる。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$その標準的なシンプレクティック形式を用いて。

接触形状にこの定理を適用した場合、同様の結果も得られる。

仮に${\displaystyle \theta }$は、${\displaystyle n}$次元多様体であって、${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$一定のランクを持つ${\displaystyle p}$。 それから

• もし${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}=0}$どこにでも、ローカル座標系が存在する。${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{np},y_{1},\ldots ,y_{p})}$その中で$${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p};}$$
• もし${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0}$どこにでも、ローカル座標系が存在する。${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{np},y_{1},\ldots ,y_{p})}$その中で$${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p}+\mathrm {d} x_{p+1}.}$$

ダルブーの元の証明は帰納法を用いて${\displaystyle p}$そしてそれは分布^{[ 3 ]}または微分イデアル^{[ 4 ]}の観点から同等に表現することができる。

仮に${\displaystyle \omega }$は、​${\displaystyle n=2m}$次元多様体${\displaystyle M}$各点の近傍において${\displaystyle p}$の${\displaystyle M}$ポアンカレの補題により、1形式が存在する。${\displaystyle \theta }$と${\displaystyle \mathrm {d} \theta =\omega }$。 さらに、${\displaystyle \theta }$ダルブーの定理の最初の仮説を満たし、したがって局所的に座標図が存在する${\displaystyle U}$近く${\displaystyle p}$その中で$${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{m}\,\mathrm {d} y_{m}.}$$

外微分をとると次のようになります

$${\displaystyle \omega =\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\ldots +\mathrm {d} x_{m}\wedge \mathrm {d} y_{m}.}$$

チャート${\displaystyle U}$ダルブーチャートは、${\displaystyle p}$[ ^{5 ]}多様^体${\displaystyle M}$これらの図表でカバーできる。

これを別の言い方で表現すると、${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$と${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$許可することによって${\displaystyle z_{j}=x_{j}+{\textit {i}}\,y_{j}}$。 もし${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {C} ^{n}}$ダルブーチャートの場合、${\displaystyle \omega }$標準シンプレクティック形式の引き戻しとして記述できる${\displaystyle \omega _{0}}$の上${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$:

${\displaystyle \omega =\varphi ^{*}\omega _{0}.\,}$

この結果の現代的な証明は、ダルブーの1形式に関する一般的な主張を用いずに、モーザーのトリックを用いて行われる。^{[ 5 ] [ 6 ]}

アラン・ワインスタインは、シンプレクティック多様体に対するダルブーの定理が部分多様体の近傍で成り立つように強化できることを示した。^{[ 8 ]}

させて${\displaystyle M}$2つのシンプレクティック形式を備えた滑らかな多様体である${\displaystyle \omega _{1}}$そして${\displaystyle \omega _{2}}$、そして${\displaystyle N\subset M}$閉じた部分多様体である。${\displaystyle \left.\omega _{1}\right|_{N}=\left.\omega _{2}\right|_{N}}$すると近所がある${\displaystyle U}$の${\displaystyle N}$で${\displaystyle M}$そして微分同相写像${\displaystyle f:U\to U}$そのため${\displaystyle f^{*}\omega _{2}=\omega _{1}}$。

標準的なダルブーの定理は、${\displaystyle N}$ポイントであり${\displaystyle \omega _{2}}$これは座標図上の標準的なシンプレクティック構造です。

この定理は無限次元バナッハ多様体にも成り立つ。

• カラテオドリ・ヤコビ・リーの定理は、この定理の一般化である。
• モーザーのトリック
• シンプレクティック基底

• G. ダルブー著「プファフ問題について」、DH デルフェニッチ訳
• G. ダルブー著「パフ問題について（続き）」、DH デルフェニッチ訳