クーラントブラケット

数学の一分野である微分幾何学において、クーラン括弧は、リー括弧を接束上の演算から接束とp形式のベクトル束の直和上の演算へと一般化したものである。

このケースは、指導教官のアラン・ワインスタインとの研究に基づき、セオドア・ジェームズ・クーラントが1990年の博士論文でポアソン幾何学とプレシンプレクティック幾何学をつなぐ構造として導入した。クーラント括弧のねじれバージョンは2001年にパヴォル・セヴェラによって導入され、ワインスタインとの共同研究で研究された。 ${\displaystyle p=1}$

今日、クーラン括弧の複素バージョンは、2002 年にナイジェル ヒッチンによって導入され、一般化複素幾何学の分野で中心的な役割を果たしています。クーラン括弧の下の閉包は、一般化された概複素構造の積分可能性条件です。 ${\displaystyle p=1}$

およびを-次元実多様体上のベクトル場とし、およびを-形式とします。このとき、およびは接バンドルと -形式のバンドルの直和の切断です。およびのクーラン括弧は次のように定義されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X+\xi }$${\displaystyle Y+\eta }$${\displaystyle TM\oplus \wedge^{p}T^{*}M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X+\xi }$${\displaystyle Y+\eta }$

${\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(i(X)\eta -i(Y)\xi )}$

ここではベクトル場 に沿ったリー微分、は外微分、は内積です。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \iota}$

クーラン括弧は反対称ですが、ゼロより大きい 場合のヤコビ恒等式を満たしません。${\displaystyle p}$

しかし、少なくとも の場合、括弧がヤコビ恒等式を満たしていないことを測定するヤコビエーターは正確な形式です。これは、一般化された複素幾何学でニージェンホイステンソルの役割を果たす形式の外微分です。 ${\displaystyle p=1}$

クーラン括弧はドルフマン括弧の反対称化であり、一種のヤコビ恒等式を満たします。

リー括弧と同様に、クーラン括弧は多様体Mの微分同相写像に対して不変である。また、ベクトル束自己同型写像​​に対しても追加の対称性を持つ。

${\displaystyle X+\xi \mapsto X+\xi +i(X)\alpha }$

ここで は閉じた -形式です。弦理論における磁束コンパクト化の幾何学に関連する場合である の場合、この変換は物理学の文献ではB フィールドのシフトとして知られています。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle (p+1)}$${\displaystyle p=1}$

の余接バンドルは、微分 1 形式のバンドルです。この場合、クーラン括弧は、 の 2 つのセクション、つまり接バンドルと余接バンドルの直和を、 の別のセクションに写します。 のファイバーは、次の 符号を持つ内積を許容します。${\displaystyle {\mathbf {T} }^{*}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle {\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}}$${\displaystyle {\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}}$${\displaystyle {\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}}$ ${\displaystyle (N,N)}$

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X)).}$

すべてのベクトルのペアの内積がゼロである の線形部分空間は、等方性部分空間と呼ばれます。 のファイバーは-次元であり、等方性部分空間の最大次元は です。次元の等方性部分空間は、最大等方性部分空間と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}}$${\displaystyle {\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}}$${\displaystyle 2N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

ディラック構造は、その断面がクーラン括弧の下で閉じている最大等方性サブバンドルです。ディラック構造には、特殊なケースとして、シンプレクティック構造、ポアソン構造、葉状幾何学が含まれます。 ${\displaystyle {\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}}$

一般化された複素構造は同様に定義されますが、複素数でテンソル化し 、上記の定義で複素次元を使用し、サブバンドルとその複素共役の直和が元のバンドル全体になるように強制します。一般化された複素構造の特殊なケースには、複素構造と、 B フィールドを含む ケーラー構造のバージョンがあります。${\displaystyle {\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}}$${\displaystyle ({\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*})\otimes \mathbf {C} }$

1987年にアイリーン・ドーフマンは、クーラン括弧と同様にディラック構造の積分可能性条件を与える ドーフマン括弧を導入した。これは次のように定義される。${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{D}}$

${\displaystyle [A,B]_{D}=[A,B]+d\langle A,B\rangle }$。

ドルフマン括弧は反対称ではないが、ヤコビ恒等式に似た ライプニッツ則を満たすため、クーラン括弧よりも計算が簡単なことが多い。

${\displaystyle [A,[B,C]_{D}]_{D}=[[A,B]_{D},C]_{D}+[B,[A,C]_{D}]_{D}.}$

クーラン括弧はヤコビ恒等式を満たさないため、リー代数を定義しません。さらに、アンカー マップ上のリー代数条件も満たしません。代わりに、Zhang-Ju Liu、Alan Weinstein 、Ping Xu によって導入された、クーラン代数として知られるより一般的な構造を定義します。

クーラン括弧は、ベクトル場 と の内積を加えることによって、-形式によってねじれることがあります。 -形式との内積を加えても、反対称性と不変性は維持されます。 が閉じていない場合、最終的な を加えてもこの不変性は維持されます。 ${\displaystyle (p+2)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (p+1)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle dB}$${\displaystyle H}$

が閉じている場合、ヤコビエーターは正確であり、したがってねじれたクーラン括弧は依然としてクーラン代数を定義します。弦理論では、はヌヴー・シュワルツ 3 形式として解釈されます。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

クーラン括弧が、 2 形式ツイストによって与えられる曲率を持つ上の主円束上のリー括弧に簡約されるとき。0 形式の束は自明束であり、接線束と自明束の直和の切断は、この円束上の円不変ベクトル場を定義します。 ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$

具体的には、接線バンドルと自明バンドルの和の切断はベクトル場と関数によって与えられ、クーラン括弧は ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle [X+f,Y+g]=[X,Y]+Xg-Yf}$

これはベクトル場のリー括弧に過ぎない。

${\displaystyle [X+f,Y+g]=[X+f{\frac {\partial }{\partial \theta }},Y+g{\frac {\partial }{\partial \theta }}]_{Lie}}$

ここで、 は円ファイバー上の座標です。特に、 の場合、クーラン括弧はヤコビ恒等式を満たすことに注意してください。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle p=0}$

円束の曲率は常に整コホモロジー類、つまり円束のチャーン類を表します。したがって、ねじれクーラン括弧の上記の幾何学的解釈は、 H が整コホモロジー類を表す場合にのみ存在します。同様に、 H が整コホモロジー類である 場合、ねじれクーラン括弧のより高い値では、ゲルブによってねじれたねじれていないクーラン括弧として幾何学的に実現できます。${\displaystyle p=0}$${\displaystyle p}$

• クーラント、セオドア (1990)。「ディラック多様体」。アメリカ数学会誌319 : 631–661。
• Gualtieri, Marco (2004).一般化複素幾何学(博士論文). arXiv : math.DG/0401221 .