リー代数の正則要素

数学において、リー代数またはリー群の正則元とは、中心化元の次元が可能な限り小さい元のことです。たとえば、複素半単純リー代数では、の中心化元の次元が の階数に等しく、その階数があるカルタン部分代数の次元に等しい場合、その元は正則です (以前の論文では、複素半単純リー代数の元は、半単純で、その随伴表現の核がカルタン部分代数である場合に正則と呼ばれていました)。リー群の元は、その中心化元の次元が の階数に等しい場合、正則です。 ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle G}$

代数的に閉じた体（複素数など）上の行列のリー代数 の特定のケースでは、正則元とは、ジョルダン正規形が各固有値に対して 1 つのジョルダン ブロックを含む元（言い換えると、各固有値の幾何学的重複度が 1）です。正則元の中心化元は、行列 で評価された次数 未満の多項式の集合であるため、中心化元は次元を持ちます（これは の階数に等しいが、必ずしも代数トーラスであるとは限りません）。 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {k} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {k} }$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$

行列が対角化可能である場合、異なる固有値がある場合に限り、その行列は正則です。これを確認するには、が各固有空間を安定化する任意の行列と可換であることに注目してください。異なる固有値がある場合、 がと同じ基底で対角化可能である場合にのみこれが起こります。実際、は の 1 次累乗の線形結合であり、中心化要素は複素次元(実次元) の代数トーラスです。これは中心化要素の最小の次元であるため、行列は正則です。ただし、等しい固有値がある場合、中心化要素は の固有空間の一般線形群の積であり、 の次元の方が厳密に大きいため、 は正則ではありません。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P}$${\displaystyle M}$${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

連結コンパクトリー群 では、正則元は、において正則である最大トーラスの元の-共役類からなる開稠密部分集合を形成する。 の正則元は、のルート系に対応する余次元 1 のサブトーラスの集合である 内の集合の補集合として明示的に与えられる。同様に、のリー代数では、正則元は、のリー代数の正則元の随伴- 軌道として明示的に記述できる開稠密部分集合を形成し、超平面の外側の要素はルート系に対応する。^[1]${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle G}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle T}$

を無限体上の有限次元リー代数とする。 ^[2]各 に対して、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle p_{x}(t)=\det(t-\operatorname {ad} (x))=\sum _{i=0}^{\dim {\mathfrak {g}}}a_{i}(x)t^{i}}$

を の随伴自己準同型の特性多項式とする。すると、定義により、の階数は、あるおよび に対してとなる最小の整数である。^[3]たとえば、任意のxに対して が冪零である（つまり、エンゲルの定理によりそれぞれが冪零である）のは の場合のみである。 ${\displaystyle \operatorname {ad} (x):y\mapsto [x,y]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle a_{r}(x)\neq 0}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle a_{\dim {\mathfrak {g}}}(x)=1}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$${\displaystyle \operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})=\dim {\mathfrak {g}}}$

とする。定義により、の正則元は集合 の元である。^{[3] は}上の多項式関数なので、ザリスキ位相に関して、集合 はの開集合である。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\text{reg}}=\{x\in {\mathfrak {g}}|a_{\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})}(x)\neq 0\}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\text{reg}}}$${\displaystyle a_{\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\text{reg}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

では、（通常の位相に関して）連結集合である^[4]が、 では、連結開集合の有限和に過ぎない。^[5]${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\text{reg}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

無限体上では、正則元を使ってカルタン部分代数、つまり自己正規化冪零部分代数を構築することができます。特性ゼロの体上では、このアプローチですべてのカルタン部分代数を構築できます。

要素が与えられたとき、 ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{0}(x)=\sum _{n\geq 0}\ker(\operatorname {ad} (x)^{n}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}})}$

を固有値ゼロに対するの一般化固有空間とする。これは の部分代数である。^{[6] は}の固有値としてのゼロの（代数的）重複度^[7]と同じであることに注意。つまり、§ 定義の表記においてとなる最小の整数mである。したがって、 であり、 が正則元である場合に限り等式が成立する。 ^[3]${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}^{0}(x)}$${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$${\displaystyle a_{m}(x)\neq 0}$${\displaystyle \operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})\leq \dim {\mathfrak {g}}^{0}(x)}$${\displaystyle x}$

が正則元であれば、 はカルタン部分代数である、という主張である。^[8]したがって、は少なくとも何らかのカルタン部分代数の次元である。実際、はカルタン部分代数の最小次元である。より強く、特性ゼロの体（例えば、または）上では、^[9]${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{0}(x)}$${\displaystyle \operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

• のすべてのカルタン部分代数は同じ次元を持つ。したがって、任意のカルタン部分代数の次元は、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})}$
• の元xが正則なのは、がカルタン部分代数である場合に限り、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{0}(x)}$
• すべてのカルタン部分代数は、何らかの正則要素に対して の形をとります。${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{0}(x)}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

ルートシステム を持つ複素半単純リー代数のカルタン部分代数に対して、 の元が正則となるのは、それが超平面の和集合に含まれない場合に限ります。^[10]これは、 に対して、 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\textstyle \bigcup _{\alpha \in \Phi }\{h\in {\mathfrak {h}}\mid \alpha (h)=0\}}$${\displaystyle r=\dim {\mathfrak {h}}}$

• 各 に対して、 の特性多項式はです。${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$${\textstyle t^{r}\left(t^{\dim {\mathfrak {g}}-r}-\sum _{\alpha \in \Phi }\alpha (h)t^{\dim {\mathfrak {g}}-r-1}+\cdots \pm \prod _{\alpha \in \Phi }\alpha (h)\right)}$

この特徴付けは、正則要素の定義としてとらえられることがあります (特に、カルタン部分代数の正則要素のみに関心がある場合)。

• Bourbaki, N. (1981)、Groupes et Algèbres de Lie、Éléments de Mathématique、Hermann
• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー（1991）、表現理論、初級コース、大学院数学テキスト、第129巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-97495-8、MR  1153249
• プロセシ、クラウディオ（2007）、リー群：不変量と表現によるアプローチ、シュプリンガー、ISBN 9780387260402
• Serre、Jean-Pierre (2001)、Complex Semisimple Lie Algebras、Springer、ISBN 3-5406-7827-1