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結晶学的制限定理は、格子における回転対称性の可能な次数を特徴づけるものである。2次元または3次元では、回転対称性は2回、3回、4回、および6回に制限される。
この定理の名前は、回転対称性が一般的にこれらの値に限定される地質結晶に由来しています。しかし、準結晶は5回対称などの他の回折パターン対称性を持つ場合もあります。これらは1982年にダン・シェヒトマンによって発見されました。[ 1 ]
結晶は、独立した有限並進のリストによって生成される離散格子としてモデル化されます（Coxeter 1989 ）。離散性では格子点間の間隔に下限があるため、任意の点における格子の回転対称群は有限群でなければなりません（あるいは、その点だけが無限の回転対称性を許容する唯一のシステムです）。この定理の強みは、すべての有限群が離散格子と互換性があるわけではないということです。どの次元においても、互換性のある群は有限個しかありません。
2D（壁紙群）と3D（空間群）の特殊なケースは、アプリケーションで最も頻繁に使用され、これらはまとめて扱うことができます。
2次元または3次元の回転対称性は、格子点を同一平面上の他の格子点の連続へと移動させ、同一平面上の格子点からなる正多角形を生成する。ここでは、対称性が作用する平面（Scherrer 1946 ）に着目し、図中の格子ベクトルでその平面を示す。
ここで、8 重回転と、多角形の隣接点間の変位ベクトルを考えます。任意の 2 つの格子点間に変位が存在する場合、その同じ変位が格子全体で繰り返されます。したがって、すべての辺の変位を 1 つの格子点から収集します。辺ベクトルは放射状ベクトルになり、その 8 重対称性から、収集点の周りに正八角形の格子点が存在することになります。しかし、これは不可能です。なぜなら、新しい八角形は元の八角形の約 80% の大きさだからです。縮小の重要な点は、それが無限であるということです。同じ構成を新しい八角形で繰り返し、格子点間の距離が任意のほど小さくなるまで何度も繰り返すことができます。したがって、離散格子は 8 重対称性を持つことはできません。同じ議論は、 kが6 より大きい任意のk重回転にも適用されます。
縮小論法を用いると、5回対称性も排除されます。格子点の正五角形を考えてみましょう。正五角形が存在する場合、辺を一つおきにずらして（頭から尾まで）5点星形を組み立てることができ、最後の辺は始点に戻ります。このような星形の頂点は、5回対称性を持つ正五角形の頂点ですが、元の正五角形よりも約60%小さくなります。
以上のことから、定理は証明された。
準結晶やペンローズタイリングの存在は、線形並進の仮定が必要であることを示している。ペンローズタイリングは5回回転対称性と離散格子を持つことができ、タイリングの任意の局所近傍は無限に繰り返されるが、タイリング全体としては線形並進は存在しない。また、離散格子の仮定がない場合、上記の構成は矛盾に到達できないだけでなく、（非離散的な）反例を生み出す。したがって、これらの仮定のいずれかが欠けている議論では、5回回転対称性を排除することはできない。ただし、（無限）平面全体のペンローズタイリングは、1点を中心とした（タイリング全体の）正確な5回回転対称性しか持たないのに対し、4回および6回格子は無限に多くの回転対称中心を持つ。
並進ベクトルrで隔てられた 2 つの格子点 A と B を考えます。任意の格子点を中心とした角度 α の回転が格子の対称性となるような角度 α を考えます。点 B を中心として α だけ回転させると、点 A は新しい点 A' に写像されます。同様に、点 A を中心として α だけ回転させると、点 B は点 B' に写像されます。これらの回転はどちらも対称操作であるため、A' と B' はどちらも格子点でなければなりません。結晶の周期性により、これらを結ぶ新しいベクトルr'はrの整数倍に等しくなければなりません。
と整数。4 つの並進ベクトル、長さが 3 つそして、A'とB'を結ぶ長さの1つは台形を形成する。したがって、r'の長さは次のように表される。
2つの式を組み合わせると次のようになる。
どこも整数です。整数を許可しました可能な値を求める0°から180°の範囲の値は0°、60°、90°、120°、180°のみであることが明らかになった。ラジアンでは、格子周期性と一致する許容回転は2π/ nで与えられ、n = 1、2、3、4、6である。これはそれぞれ1回、2回、3回、4回、6回の対称性に対応し、したがって5回または6回を超える対称性の可能性は排除される。
距離aで隔てられた原子列AOBを考えます。点Oを固定したまま、列全体を θ = +2π/ nと θ = −2π/ nだけ回転させます。+2π/ nだけ回転させた後、A は格子点Cに移動し、-2π/ nだけ回転させた後、B は格子点Dに移動します。格子の周期性を仮定すると、2 つの格子点CとD は、最初の列の真下の直線上にも位置します。さらに、 CとD は、整数mでr = maだけ離れています。しかし、三角法を用いると、これらの点間の距離は次のようになります。
2つの関係式を等しいとおくと、次のようになる。
これは、 n = 1、2、3、4、6の場合のみ満たされます。
別の証明方法として、行列の性質を考えてみましょう。行列の対角要素の合計は、行列のトレースと呼ばれます。2Dと3Dでは、すべての回転は平面回転であり、トレースは角度のみの関数です。2D回転の場合、トレースは2 cos θ、3D回転の場合は1 + 2 cos θとなります。
例
格子を張るベクトルから形成される基底を選択した場合、直交性も単位長さも保証されず、線形独立性のみが保証されます。ただし、回転行列のトレースはどの基底に対しても同じです。トレースは線形変換の下で相似不変です。格子基底では、回転操作はすべての格子点を整数個の格子ベクトルにマッピングする必要があるため、格子基底の回転行列のエントリ、したがってトレースは必然的に整数になります。他の証明と同様に、これは許容される回転対称性が 1、2、3、4、または 6 回不変性のみに対応することを意味します。たとえば、壁紙や結晶は 45° 回転させて不変のままにすることはできません。可能な角度は 360°、180°、120°、90°、または 60° のみです。
例
結晶学における回転に関する一般的な制約は、特定の格子構造に対して回転が必ずしも適合することを保証するものではありません。例えば、60°の回転は正方格子には適合せず、90°の回転も長方形格子には適合しません。
格子の次元が4以上になると、回転は平面である必要はなくなり、2Dの証明では不十分になります。ただし、より多くの対称性が許容されるものの、依然として制約は存在します。たとえば、超立方格子は8回回転対称性を持ち、これは超立方体の8回回転対称性に対応します。これは、数学だけでなく、カットアンドプロジェクション理論に基づく準結晶の物理学にとっても興味深いものです。この観点から、8回回転対称性を持つ3D準結晶は、4D格子から切り取られたスラブの投影として記述できるかもしれません。
以下の4次元回転行列は、前述の超立方体（および交差多面体）の8重対称性です。
この行列を、次に示す新しい座標に変換する。
この3番目の行列は、最初の2次元で45°、最後の2次元で135°の回転に対応します。新しい座標の最初の2次元に沿って超立方体のスラブを投影すると、アマン・ビーンカー・タイリングが生成されます（最後の2次元に沿って投影すると、別の同様のタイリングが生成されます）。したがって、このタイリングも平均して8回の回転対称性を持ちます。
A4格子とF4格子は、それぞれ10次と12次の回転対称性を持つ。
すべての次元の制限を述べるには、回転だけから注意をそらし、整数行列に集中するのが便利です( Bamberg、Cairns & Kilminster 2003 )。行列 A の次数がkで あるとは、そのk乗 (ただしそれより小さい次数ではない)、A kが単位行列に等しい場合を指します。したがって、正三角形基底の 6 回回転行列は、次数 6 の整数行列です。Ord NをN × N整数行列の次数になり得る整数の集合とします。たとえば、Ord 2 = {1, 2, 3, 4, 6} です。Ord Nの明示的な式を述べたいと思います。
オイラーのトーシェント関数φに基づいて関数 ψ を定義します。これは正の整数を非負の整数に写像します。奇素数 p と正の整数 k に対して、ψ ( p k ) をトーシェント関数の値 φ( p k ) と等しくします。この場合、φ( p k − p k−1 ) です。k > 1の場合、ψ(2 k )についても同様に行います。 ψ(2) と ψ(1) を 0 に設定します。算術の基本定理を使用すると、他の任意の正の整数を素数のべき乗の積として一意に表すことができます。m = Π α p α k α。 ψ( m ) = Σ α ψ( p α k α ) とします。これは、積ではなく和であるため、トーシェント自体とは異なります。
結晶学的制約は一般に、Ord N はψ( m ) ≤ Nとなるような正の整数mから構成されると述べている。
m > 2の場合、ψ( m )の値はcos(2 π / m ) の代数次数の2 倍に等しくなります。したがって、ψ( m ) はmより厳密に小さく、 m が素数である場合に限りこの最大値に達します。
これらの追加の対称性により、平面スライスが例えば8回回転対称性を持つことは許されません。平面内では、2次元の制約が依然として適用されます。したがって、準結晶をモデル化するために使用される切断面は、必然的に厚みを持つことになります。
整数行列は回転に限定されません。例えば、鏡映も2次の対称性です。しかし、行列式を+1にすることで、行列を適切な回転に限定することができます。
結晶学的制限定理は、ユークリッド空間の等長変換を用いて定式化できる。等長変換の集合は群を形成する。離散等長変換群とは、各点をR Nの離散部分集合に写像する等長変換群、すなわち任意の点の軌道が孤立点の集合となる群を意味する。この用語を用いると、2 次元および 3 次元における結晶学的制限定理は次のように定式化できる。
n次等長変換には、 n回回転が含まれますが、それに限定されるものではありません。この定理は、S 8、S 12、D 4d、およびD 6d ( 3 次元の点群を参照) も除外します。これらは 4 回および 6 回の回転対称性しか持ちませんが。軸に関する任意の次数の回転対称性は、その軸に沿った並進対称性と両立します。
上記の表の結果は、空間全体に及ぶ並進を含む4次元および5次元空間のすべての離散等長変換群について、有限位数のすべての等長変換は1、2、3、4、5、6、8、10、または12位数であることを示唆している。
6次元および7次元空間における有限次数のすべての等長変換は、次数が1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、14、15、18、20、24、または30である。
