二環式グループ

群論において、二巡回群（表記法はDic _nまたはQ _{4 n}、^[1] ⟨ n ,2,2⟩ ^{[2] ）は、}位数4 n ( n > 1)の非可換群の一種である。これは位数 2 nの巡回群による位数 2 の巡回群の拡張であり、二巡回と呼ばれる。群の正確な列の表記法では、この拡張は次のように表現できる。

${\displaystyle 1\to C_{2n}\to {\mbox{Dic}}_{n}\to C_{2}\to 1.\,}$

より一般的には、位数 2 の元を持つ任意の有限アーベル群が与えられた場合、二巡回群を定義できます。

n > 1の整数 に対して、二環式群Dic _nは、次の式で生成される 単位四元数のサブグループとして定義できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=e^{\frac {i\pi }{n}}=\cos {\frac {\pi }{n}}+i\sin {\frac {\pi }{n}}\\x&=j\end{aligned}}}$

より抽象的に、二環式群Dic _nを次のように定義することができる^[3]

${\displaystyle \operatorname {Dic} _{n}=\left\langle a,x\mid a^{2n}=1,\ x^{2}=a^{n},\ x^{-1}ax=a^{-1}\right\rangle .\,\!}$

この定義からわかる注意点は次のとおりです。

• ${\displaystyle x^{4}=1}$
• ${\displaystyle x^{2}a^{m}=a^{m+n}=a^{m}x^{2}}$
• もし、${\displaystyle l=\pm 1}$${\displaystyle x^{l}a^{m}=a^{-m}x^{l}}$
• ${\displaystyle a^{m}x^{-1}=a^{m-n}a^{n}x^{-1}=a^{m-n}x^{2}x^{-1}=a^{m-n}x}$

したがって、Dic _nのすべての要素は、0 ≤ m < 2 n かつl = 0または1として、 ^m x ^lとして一意に表すことができます。乗算規則は次のように与えられます 。

• ${\displaystyle a^{k}a^{m}=a^{k+m}}$
• ${\displaystyle a^{k}a^{m}x=a^{k+m}x}$
• ${\displaystyle a^{k}xa^{m}=a^{k-m}x}$
• ${\displaystyle a^{k}xa^{m}x=a^{k-m+n}}$

したがって、Dic _nの位数は4nとなる。^[3]

n = 2のとき、二環群は四元数群Qと同型である。より一般的には、nが2の累乗のとき、二環群は一般化四元数群と同型である。^[3]

n > 1 のそれぞれについて、二巡回群 Dic _nは位数 4 nの非可換群です。(退化したケースn = 1 では、群 Dic _{1 は}巡回群C ₄であり、二巡回とは見なされません。)

A = ⟨ a ⟩ をaによって生成されるDic _n の部分群とします。このときA は位数 2 nの巡回群なので、[Dic _n : A ] = 2 です。指数2の部分群なので、自動的に正規部分群になります。商群 Dic _n / Aは位数 2 の巡回群です。

Dic _nは解けます。Aは正規であり、アーベルなので、それ自体が解けること に注意してください。

二環群は二元多面体群であり、ピン群Pin ₋ (2)の部分群のクラスの1つであり、ピン群はスピン群Spin(3)の部分群であり、この文脈では二元二面体群として知られています。

二元巡回群 C _{2 n}、巡回群C _n、および位数 2 nの二面体群Dih _nとの関係は右の図に示されており、Pin 群の対応する図と平行しています。Coxeter は二元二面体群を⟨2,2, n ⟩ と書き、山括弧付きの二元巡回群を⟨ n ⟩ と書きます。

二環式群と二面体群には表面的な類似点があり、どちらも基礎となる環式群の一種の「鏡像」です。しかし、二面体群の表現では、x ² = a ⁿではなくx ² = 1 となり、異なる構造が生成されます。特に、 Dic _{n は}Aと⟨ x ⟩の半直積ではありません。これは、A  ∩  ⟨ x ⟩が自明ではないためです。

二環群には、一意の反転（つまり、位数 2 の元）x ² = a ^{n が}あります。この元はDic _nの中心にあることに注意してください。実際、中心は単位元とx ^{2のみで構成されます。} x ² = 1の関係をDic _nの表示に追加すると、二面体群Dih _nの表示が得られ、商群 Dic _n /< x ^{2 > は Dih} _nと同型になります。

単位四元数の群から、四元数と空間回転で説明されている3 次元回転群への自然な 2 対 1準同型があります。二環群は単位四元数の内部に埋め込むことができるため、この準同型の下でのその像は何かと尋ねることができます。答えは、二面体対称群 Dih _nです。このため、二環群はバイナリ二面体群とも呼ばれます。二環群には、 Dih _nと同型のサブグループが含まれないことに注意してください。

_{Pin −} (2)の代わりにPin ₊ (2)を使用した類似の原像構成は、二環式群ではなく 別の二面体群Dih _{2 nを生成する。}

A を、 Aに位数 2 の特定の元y を持つアーベル群とします。群Gは、 Aと追加の元xによって生成され、[ G : A ] = 2、x ² = yであり、Aのすべてのaに対してx ⁻¹ ax = a ^{−1が成り立つ場合、} Dic( A , y )と表記され、一般化二巡回群と呼ばれます。

偶数次の巡回群には常に 2 次元の一意の要素が存在するため、二巡回群は一般化された二巡回群の特定のタイプにすぎないことがわかります。

二環群は、表現によって定義される二元三角形群の族の場合である:[1]${\displaystyle (p,q,r)=(2,2,n)}$${\displaystyle \Gamma (p,q,r)}$

${\displaystyle \langle a,b,c\mid a^{p}=b^{q}=c^{r}=abc\rangle .}$

追加の関係で商を取ると、通常の三角形のグループが生成されます。この場合は、二面体商です。 ${\displaystyle abc=e}$${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}\rightarrow \mathrm {Dih} _{n}}$

• 二元多面体群
• 二元巡回群、⟨ n ⟩、位数 2 n
• 二元四面体群, 2T = ⟨2,3,3⟩, ^[2]位数 24
• 二元八面体群, 2O = ⟨2,3,4⟩, ^[2]次数48
• 2元二十面体群, 2I = ⟨2,3,5⟩, ^[2]位数120

• GroupNames 上の二環式グループ