4次元の点群

幾何学において、4 次元の点群は、原点を固定した 4 次元の等長変換群、またはそれに対応する3 次元球面の等長変換群です。

• 1889 Édouard Goursat、Sur les substitutions orthogonales et les Divisions régulières de l'espace、Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure、Sér. 3、6、(pp. 9–102、pp. 80–81 四面体)、グルサット四面体
• 1951年、ACハーレー、「4次元における有限回転群と結晶類」、ケンブリッジ哲学協会紀要、第47巻、第04号、650ページ^[1]
• 1962 AL MacKay 4次元空間におけるブラヴェ格子^[2]
• 1964パトリック・デュ・ヴァル、ホモグラフィ、四元数と回転、四元数ベースの 4D 点群
• 1975 Jan Mozrzymas、Andrzej Solecki、「R4点群」、数理物理学レポート、第7巻、第3号、p. 363-394 ^[3]
• 1978 H. Brown、R. Bülow、J. Neubüser、H. Wondratschek、H. Zassenhaus、「4次元空間の結晶群」^[4]
• 1982 NPワーナー、S2とS3の正則平面の対称群 ^[5]
• 1985 EJW Whittaker、4次元結晶クラスのハイパーステレオグラムのアトラス
• 1985 HSM Coxeter、正則多面体と半正則多面体 II、4D 点群の Coxeter 表記
• 2003ジョン・コンウェイ とスミス、「四元数と八元数について」、四元数ベースの4D点群を完成
• 2018 NW ジョンソン『 幾何学と変換』第 11、12、13 章、完全ポリコリック群、p. 249、デュオプリスマティック群、p. 269

4 次元点対称性には、反射対称性、回転対称性、回転反射、二重回転の 4 つの基本的な等長変換があります。

この記事の点群は、コクセター群に基づくコクセター記法で示され、拡張群と部分群のマークアップが付いています。^[6]コクセター記法は、[3,3,3]、[4,3,3]、[3 ^1,1,1 ]、[3,4,3]、[5,3,3]、[p,2,q]のようにコクセター図と直接対応しています。これらの群は、3次元球面を同一の超球面四面体領域に結合しました。領域の数は群の位数です。既約群のミラーの数はnh/2です。ここで、hはコクセター群のコクセター数、nは次元(4)です。^[7]

相互参照のために、Patrick du Val (1964) ^[8]とJohn Conway (2003) ^[9]による四元数ベースの表記法もここに示されています。Conwayの表記法では、グループの順序を、キラル多面体グループ順序を持つ要素の積として計算できます: (T=12、O=24、I=60)。Conway の表記法では、接頭辞 (±) は中心反転を意味し、接尾辞 (.2) は鏡像対称性を意味します。同様に、Du Val の表記法では、鏡像対称性を表す上付き文字としてアスタリスク (*) が付きます。

反転群には、非対称群[ ] ⁺、反射対称群[ ]、2回回転対称群[2] ⁺、2回回転反射群[2 ⁺ ,2 ⁺ ]、および2回二重回転としての中心点対称群[2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ]の5つがあります。

ポリコリック群は、 4 次元正多面体の 5 つの対称群の 1 つです。また、3 つの多面体プリズマティック群と、無限の集合のデュオプリスマティック群があります。各群は、鏡面によって境界が定められたグルサ四面体基本領域によって定義されます。鏡面間の二面角によって、二面対称性の順序が決まります。コクセター・ディンキン図は、ノードが鏡面を表し、エッジがブランチと呼ばれ、鏡面間の二面角の順序でラベル付けされたグラフです。

ポリコロン（複数形はポリコラ、形容詞はポリコリック）という用語は、ギリシャ語のポリ（「多くの」）とコロス（「部屋」または「空間」）の語源で、ノーマン・ジョンソンとジョージ・オルシェフスキーによって均一なポリコラ（4次元多面体）とそれに関連する4次元対称群の文脈で^提唱されました[10] 。^[11]

ランク 4 のCoxeter 群は、 4 つのミラーのセットが 4 次元空間にまたがることを可能にし、3 次元球面を四面体の基本領域に分割します。ランクの低い Coxeter 群は、3 次元球面上のホソヘドロンまたはホソトープの基本領域 のみを結合できます。

3D多面体群と同様に、与えられた4D多面体群の名前は、対応する三角形の面を持つ正多面体のセル数のギリシャ語接頭辞によって構成されます。^[12]コクセター図構成内の対称リングパターンを持つ均一多面体には、拡張対称性があります。カイラル対称性は、交互均一多面体にあります。

コクセター数を持つのは既約群だけですが、二重柱状群 [p,2,p] は基本領域に 2 倍の回転を追加することで p,2,p に倍増でき、これにより有効コクセター数は 2 pになります。たとえば、[4,2,4] とその完全対称性 B ₄、[4,3,3] 群はコクセター数が 8 になります。

対称順序は、正多孔体のセルの数とそのセルの対称性の積に等しくなります。全切断双対多孔体には、対称群の基本ドメインに一致するセルがあります。

反射 4 次元点群の直接部分群は次のとおりです。

• 五行群– A ₄、[3,3,3]、(）、位数120、（デュ・ヴァル#51'（I ^† /C ₁ ;I/C ₁）^†*、コンウェイ+ ¹ / ₆₀ [I×I].2 ₁）、5細胞（ペンタコロン）にちなんで名付けられ、環状コクセター図によって示される 四面体群を拡張した超四面体群と呼ばれることもある[3,3]。この群には10個の鏡像超平面がある。抽象対称群S ₅と同型である。
  • 拡張五重群、Aut ( A ₄ )、[[3,3,3]]、（倍加は折り畳まれた図によって示唆される、）、位数240、（Du Val #51 (I ^†* /C ₂ ;I/C ₂ ) ^†*、Conway ± ¹ / ₆₀ [I× I ].2）。これは抽象群の直積S ₅ ×C ₂と同型である。
    • カイラル拡張五色群は[[3,3,3]] ⁺、(）、オーダー120、（Du Val #32（I ^† /C ₂ ;I/C ₂）^†、Conway ± ¹ / ₆₀ [Ix I ]）。このグループは、オムニスナブ5セルの構造を表し、ただし、均一にすることはできません。これは抽象群の直積 A ₅ ×C ₂と同型です。
  • カイラル五重奏群は[3,3,3] ⁺、(）、位数60、（Du Val #32' (I ^† /C ₁ ;I/C ₁ ) ^†、Conway + ¹ / ₆₀ [I× I ]）。これは抽象 交代群A ₅と同型である。
    • 拡張されたカイラルペンタコリック群は[[3,3,3] ⁺ ]、位数120、(Du Val #51" (I ^† /C ₁ ;I/C ₁ ) _– ^†*、Conway + ¹ / ₆₀ [IxI].2 ₃ )である。Coxeterはこの群を抽象群(4,6|2,3)に関連付けている。^{[13]これは}抽象 対称群S ₅と同型でもある。

• 16 16 群– B ₄ , [4,3,3], (）、順序384、（Du Val #47（O/V;O/V）^*、Conway ± ¹ / ₆ [O×O].2）、16細胞（ヘキサデカコロン）にちなんで命名された。この群には16個の鏡像超平面があり、2つの直交集合で識別できます。12個は[3 ^1,1,1 ]サブグループから、4個は[2,2,2]サブグループから識別されます。これは、3D八面体群[4,3]を拡張した超八面体群、および四次元体群から四次元群とも呼ばれます。。
  • キラルな16進群は[4,3,3] ⁺、(）、次数192、（Du Val #27（O/V;O/V）、Conway ± ¹ / _{6 [O×O]）。この群は、}全突起四次元方陣の構築を表し、ただし均一にすることはできません。
  • イオン減数十六価グループは[4,(3,3) ⁺ ], (）、次数192、（Du Val #41（T/V;T/V）^*、Conway ± ¹ / ₃ [T×T].2）。このグループは、構造が。
  • 半十六乗群は[1 ⁺ ,4,3,3]である。(=）、位数192、#demitesseractic対称性と同じ：[3 ^{1,1,1 ]。この群は、} 16セルのテッセラクト 交互構成で表現され、=。
    • グループ[1 ⁺ ,4,(3,3) ⁺ ], (=）、位数96であり、カイラルデミテッセラティック群[3 ^1,1,1 ] ⁺と同じであり、 [4,3,3]の交換子部分群でもある。
  • 高指数反射サブグループは柱状八面体対称性である[4,3,2]（）、位数96、サブグループインデックス4、（Du Val #44（O/C ₂ ;O/C ₂）^*、コンウェイ± ¹ / ₂₄ [O×O].2）。切頂立方柱は、コクセター図とこの対称性を持っています。立方柱は、四次元立方体の対称性が低い構造であり、。
    • そのカイラル部分群は[4,3,2] ⁺、(）、次数48、（Du Val #26（O/C ₂ ;O/C ₂）、Conway ± ¹ / ₂₄ [O×O]）。例としては、スナブ立方体反プリズム、ただし均一にすることはできません。
    • イオンサブグループは次のとおりです。
      • [(3,4) ⁺ ,2], (）、位数48、（Du Val #44b'（O/C ₁ ;O/C ₁）₋ ^*、Conway + ¹ / ₂₄ [O×O].2 ₁）。スナブ立方柱は、コクセター図とこの対称性を持っています。。
        • [(3,4) ⁺ ,2 ⁺ ], (）、次数24、（Du Val #44'（T/C ₂ ;T/C ₂）₋ ^*、Conway + ¹ / ₁₂ [T×T].2 ₁）。
      • [4,3 ⁺ ,2], (）、次数48、（Du Val #39 (T/C ₂ ;T/C ₂ ) _c ^*、Conway ± ¹ / ₁₂ [T×T].2）。
        • [4,3 ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [4,3 ⁺ ,1] = [4,3 ⁺ ], (=）、位数24、（Du Val #44"（T/C ₂ ;T/C ₂）^*、Conway + ¹ / ₁₂ [T×T].2 ₃）。これは3Dピリトヘドラル群、[4,3 ⁺ ]である。
        • [3 ⁺ ,4,2 ⁺ ], (）、順序24、（Du Val #21（T/C ₂ ;T/C ₂）、Conway ± ¹ / ₁₂ [T×T]）。
      • [3,4,2 ⁺ ], (）、順序48、（Du Val #39'（T/C ₂ ;T/C ₂）₋ ^*、Conway ± ¹ / ₁₂ [T× T ].2）。
      • [4,(3,2) ⁺ ], ()、次数 48、(Du Val #40b' (O/C ₁ ;O/C ₁ ) ₋ ^*、Conway + ¹ / ₂₄ [O× O ].2 ₁ )。
    • 半部分群[4,3,2,1 ⁺ ] = [4,3,1] = [4,3]、(=）、位数48（Du Val #44b" (O/C ₁ ;O/C ₁ ) _c ^*、Conway + ¹ / ₂₄ [O×O].2 _{3 ）。これは}八面体錐台群と呼ばれ、3D八面体対称性、[4,3]です。立方体錐もこの対称性を持つことができ、 Schläfli記号：（）∨ {4,3}を使用します。

      

      • カイラル半部分群 [(4,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [4,3,1] ⁺ = [4,3] ⁺ , (=）、位数24（Du Val #26b'（O/C ₁ ;O/C ₁）、Conway + ¹ / ₂₄ [O×O]）。これは3Dキラル八面体群、[4,3] ^{+ で}ある。スナブ立方ピラミッドはこの対称性を持つことができ、Schläfli記号は（）∨ sr{4,3}となる。
  • もう一つの高屈折率反射サブグループは柱状四面体対称性である[3,3,2]、（)、次数 48、サブグループ インデックス 8、(Du Val #40b" (O/C ₁ ;O/C ₁ ) ^*、Conway + ¹ / ₂₄ [O× O ].2 ₃ )。
    • カイラル部分群は[3,3,2] ⁺、(）、位数24、（Du Val #26b"（O/C ₁ ;O/C ₁）、Conway + ¹ / ₂₄ [O× O ]）。例としては、スナブ四面体反プリズム、ただし均一にすることはできません。
    • イオン性サブグループは[(3,3) ⁺ ,2]、(）、次数24、（Du Val #39b'（T/C ₁ ;T/C ₁）_c ^*、Conway + ¹ / ₁₂ [T× T ].2 ₃）。例としては、スナブ四面体柱が挙げられる。。
    • 半部分群は[3,3,2,1 ⁺ ] = [3,3,1] = [3,3]、(=）、位数24、（Du Val #39b"（T/C ₁ ;T/C ₁）₋ ^*、Conway + ¹ / ₁₂ [T× T ].2 _{1 ）。これは}四面体錐台群と呼ばれ、3D四面体群、[3,3]です。正四面体錐台はこの対称性を持つことができ、Schläfli記号は（）∨{3,3}です。

      

      • カイラル半部分群[(3,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [3,3] ⁺ (=）、位数12、（Du Val #21b'（T/C ₁ ;T/C ₁）、Conway + ¹ / ₁₂ [T×T]）。これは3Dカイラル四面体群、[3,3] ⁺です。スナブ四面体ピラミッドはこの対称性を持つことができ、Schläfli記号は（）∨ sr{3,3}です。
  • もう一つの高屈折率放射状反射サブグループは[4,(3,3) ^* ]、指数24であり、3次二面角の鏡を除去して[2,2,2]（）、16番目。その他は[4,2,4]（）、 [4,2,2] （）、部分群指数6と12、位数64と32を持つ。これらの群は、四次元体の下位対称性である：（）、（）、 そして （）。これらのグループは #duoprismatic 対称性です。

• 五十四重殻群– F ₄ , [3,4,3], (）、1152目（Du Val #45（O/T;O/T）^*、Conway ± ¹ / ₂ [OxO].2）、24細胞（イコシトラコリン）にちなんで命名された。^{この対称性には24の鏡面があり、半面対称性[3 1,1,1} ]サブグループ内の12の鏡面の2つの直交セットに分解でき、指数6サブグループとして[3 ^* ,4,3]と[3,4,3 ^* ]になります。
  • 拡張イコシテトラコリック群、Aut ( F ₄ )、[[3,4,3]]、() はオーダー 2304、(Du Val #48 (O/O;O/O) ^*、Conway ±[O×O].2) です。
    • カイラル拡張イコシテトラコリック群、[[3,4,3]] ⁺、(）は1152番目の順序を持​​つ（Du Val #25（O/O;O/O）、Conway ±[OxO]）。このグループは、オムニスナブ24セルの構造を表している。ただし均一にすることはできません。
  • イオン性減少イコシテトラコリック基、[3 ⁺ ,4,3]および[3,4,3 ⁺ ]、（または）、位数は576（Du Val #43（T/T;T/T）^*、Conway ±[T×T].2）である。この群は、構築または。
    • 二重減二等辺三角形群、[3 ⁺ ,4,3 ⁺ ]（二重減は図4分岐のギャップで示すことができる：）、位数288、（Du Val #20 (T/T;T/T)、Conway ±[T×T]）は[3,4,3]の交換子部分群である。
      • ^{これは[[3 +} ,4,3 ⁺ ]],(と拡張できる。) 命令576、(Du Val #23 (T/T;O/O)、Conway ±[OxT])。
  • キラルなイコシテトラコリック群は[3,4,3] ⁺、(）、順序576、（Du Val #28（O/T;O/T）、Conway ± ¹ / ₂ [O×O]）。
    • 拡張されたキラルイコシテトラコリック群[ [3,4,3] ⁺ ]は位数が1152である（Du Val #46 (O/T;O/T) ₋ ^*、Conway ± ¹ / ₂ [OxO]. 2）。Coxeterはこの群を抽象群（4,8|2,3）に関連付けている。^[13]

• デミテッセラティック群– D ₄、[3 ^1,1,1 ]、[3,3 ^1,1 ] または [3,3,4,1 ⁺ ]、(=）、位数192、（Du Val #42 (T/V;T/V) ₋ ^*、Conway ± ¹ / ₃ [T× T ].2）、16セルの（半立方体） 4デミキューブ構造にちなんで名付けられ、またはこの対称グループには 12 個のミラーがあります。
  • ミラーを追加することで拡張された対称性には2つのタイプがあります。<[3,3 ^1,1 ]>は、基本領域をミラーで二分することで[4,3,3]になり、3つの方向が可能です。完全に拡張されたグループ[3[3 ^1,1,1 ]]は[3,4,3]になります。
  • カイラルなデミテッセラティック群は[3 ^1,1,1 ] ⁺または[1 ⁺ ,4,(3,3) ⁺ ], (=）、次数96、（Du Val #22（T/V;T/V）、Conway ± ¹ / ₃ [T×T]）。このグループは、構造が=。

• ヘキサコシコリック群– H ₄ , [5,3,3], (）、14400番目、（Du Val #50 (I/I;I/I) ^*、Conway ±[I×I].2）、600細胞（ヘキサコシコロン）にちなんで命名された。3次元の20面体群[5,3]を拡張した超20面体群や、120セルの16面体群または12面体群と呼ばれることもある。。
  • キラルヘキサコシコリック群は[5,3,3] ⁺、(）、7200次（Du Val #30（I/I;I/I）、Conway ±[I×I]）。このグループは、スナブ120セルの構造を表しています。ただし均一にすることはできません。
  • 高指数反射サブグループは柱状二十面体対称性である[5,3,2]、（）、次数240、サブグループインデックス60、（Du Val #49（I/C ₂ ;I/C ₂）^*、Conway± ¹ / ₆₀ [IxI].2）。
    • そのカイラル部分群は[5,3,2] ⁺、(）、120次（Du Val #31（I/C ₂ ;I/C ₂）、Conway ± ¹ / _{60 [IxI]）。このグループは、}スナブ十二面体反プリズムの構築を表し、ただし均一にすることはできません。
    • イオン性サブグループは[(5,3) ⁺ ,2]、(）、次数120、（Du Val #49'（I/C ₁ ;I/C ₁）^*、Conway + ¹ / ₆₀ [IxI].2 _{1 ）。このグループは、}スナブ十二面体柱の構築を表し、。
    • 半部分群は[5,3,2,1 ⁺ ] = [5,3,1] = [5,3]、(=）、位数120、（Du Val #49" (I/C ₁ ;I/C ₁ ) ₋ ^*、Conway + ¹ / ₆₀ [IxI].2 ₃）。これは、20面体錐群と呼ばれ、3D 20面体群です、[5,3]。正12面体錐はこの対称性を持つことができ、Schläfli記号：（）∨ {5,3}を使用します。
      • カイラル半部分群は [(5,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [5,3,1] ⁺ = [5,3] ⁺ , (=）、位数60、（Du Val #31'（I/C ₁ ;I/C ₁）、Conway + ¹ / ₆₀ [IxI]）。これは3Dカイラル二十面体群、[5,3] ⁺である。スナブ十二面体ピラミッドはこの対称性を持つことができ、 Schläfli記号は（）∨ sr{5,3}となる。

• デュオプリスマティック群– [p,2,q], ()、順序 4 pqは、すべての 2 ≤  p、q  < ∞ に対して存在します。この対称性には p+q ミラーがあり、これらは二面対称性の p ミラーと q ミラーの 2 つの直交セット[ p] と [q] に簡単に分解されます。
  • カイラル部分群は[p,2,p] ⁺ ,()、順序 2 pq。これは [[2p,2,2p] ⁺ ] と 2 倍にすることができます。
  • pとqが等しい場合、[p,2,p]、（)、対称性は [[p,2,p]] として 2 倍にすることができます (）。
    • 倍算: [[2 ⁺ ,2,p ⁺ ]], ()、[[2p,2 ⁺ ,2p]]、[[2p ⁺ ,2 ⁺ ,2p ⁺ ]]。
  • [p,2,∞], (）は3次元空間の直線群を表し、
  • [∞,2,∞], () は、2組の平行な鏡と長方形の領域 ( orbifold *2222 ) を持つユークリッド平面対称性を表します。
  • サブグループには、[p ⁺ ,2,q]、(), [p,2,q ⁺ ], (), [p ⁺ ,2,q ⁺ ], (）。
  • 偶数値の場合: [2p,2 ⁺ ,2q], (), [2p,2 ⁺ ,2q ⁺ ], (), [(p,2) ⁺ ,2q], (), [2p,(2,q) ⁺ ], (), [(p,2) ⁺ ,2q ⁺ ], (), [2p ⁺ ,(2,q) ⁺ ], (), [2p ⁺ ,2 ⁺ ,2q ⁺ ], (）、およびコミュネーター部分群、指数16、[2p ⁺ ,2 ⁺ ,2q ⁺ ] ⁺、（）。
• 対角双柱群– [2,2,2], (）、注文番号16。
  • カイラル部分群は[2,2,2] ⁺、(）、8 番目。
  • 拡張[[2,2,2]]、（）、次数32。4-4デュオプリズムはこの拡張対称性を持ち、。
    • カイラル拡張群は[[2,2,2]] ⁺、位数16である。
    • 拡張カイラル部分群は [[2,2,2] ⁺ ]、位数 16、回転反射生成子を持つ。これは抽象群 (4,4|2,2) と同型である。
  • 他の拡張された[(3,3)[2,2,2]]=[4,3,3]、順序384、#16進数対称性。テッセラクトはこの対称性を持ち、または。
  • イオン性減少群は[2 ⁺ ,2,2]、位数は8です。
    • 二重減少群は[2 ⁺ ,2,2 ⁺ ]、位数4です。
      • [[2 ⁺ ,2,2 ⁺ ]]、次数8として拡張されます。
    • ローター反射サブグループは、[2 ⁺ ,2 ⁺ ,2]、[2,2 ⁺ ,2 ⁺ ]、[2 ⁺ ,(2,2) ⁺ ]、[(2,2) ⁺ ,2 ⁺ ]の順序4です。
    • 三重減群は[2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ]、(）、順序 2。これは 2 倍の二重回転と 4D中心反転です。
  • 半部分群は[1 ⁺ ,2,2,2]=[1,2,2]、位数8です。
• 三角双柱状群– [3,2,3],、注文番号36。
  • カイラル部分群は[3,2,3] ⁺、位数18である。
  • 拡張された[[3,2,3]]、次数72。3-3デュオプリズムはこの拡張された対称性を持ち、。
    • カイラル拡張群は[[3,2,3]] ⁺、位数36である。
    • 拡張カイラル部分群は [[3,2,3] ⁺ ]、位数 36、回転反射生成子を持つ。これは抽象群 (4,4|2,3) と同型である。
  • その他の拡張された[[3],2,3]、[3,2,[3]]は順序72であり、[6,2,3]および[3,2,6]と同型である。
  • そして3,2,3、位数144であり、[6,2,6]と同型である。
  • そして[[[3]],2,[3]]]は288次の[[6,2,6]]と同型である。6-6デュオプリズムはこの対称性を持つ。または。
  • イオン性減少部分群は[3 ⁺ ,2,3]、[3,2,3 ⁺ ]、位数18です。
    • 二重減少群は[3 ⁺ ,2,3 ⁺ ]、位数9です。
      • [[3 ⁺ ,2,3 ⁺ ]] と拡張され、順序は 18 です。
  • 高指数部分群は[3,2]、位数12、指数3であり、これは3次元群の二面体対称性[3,2]、D _3hと同型である。
    • [3,2] ⁺、次数6
• 正方形双柱状群– [4,2,4],、注文番号64。
  • カイラル部分群は[4,2,4] ⁺、位数32である。
  • 拡張された[[4,2,4]]、次数128。4-4デュオプリズムはこの拡張された対称性を持ち、。
    • カイラル拡張群は[[4,2,4]] ⁺、位数64である。
    • 拡張カイラル部分群は [[4,2,4] ⁺ ]、位数 64、回転反射生成子を持つ。これは抽象群 (4,4|2,4) と同型である。
  • 他の拡張された[[4],2,4]、[4,2,[4]]は128の順序であり、[8,2,4]および[4,2,8]と同型である。4-8デュオプリズムはこの対称性を持ち、または。
  • そして4,2,4、順序256であり、[8,2,8]と同型である。
  • そして[[[4]],2,[4]]]の順序は512で、[[8,2,8]]と同型である。8-8デュオプリズムはこの対称性を持ち、または。
  • イオン性減数群は[4 ⁺ ,2,4]、[4,2,4 ⁺ ]、位数32です。
    • 二重減少群は[4 ⁺ ,2,4 ⁺ ]、位数16です。
      • [[4 ⁺ ,2,4 ⁺ ]]、順序32として拡張されます。
    • ローター反射サブグループは、[4 ⁺ ,2 ⁺ ,4]、[4,2 ⁺ ,4 ⁺ ]、[4 ⁺ ,(2,4) ⁺ ]、[(4,2) ⁺ ,4 ⁺ ]、(、、、）注文16。
    • 三重減群は[4 ⁺ ,2 ⁺ ,4 ⁺ ]、(）、8 番目。
  • 半群は[1 ⁺ ,4,2,4]=[2,2,4]、()、[4,2,4,1 ⁺ ]=[4,2,2]、(）、注文番号32。
    • [1 ⁺ ,4,2,4] ⁺ =[2,2,4] ⁺ , ()、[4,2,4,1 ⁺ ] ⁺ =[4,2,2] ⁺ , (）、注文番号16。
  • 半分のサブグループは[1 ⁺ ,4,2,4,1 ⁺ ]=[2,2,2]、(）、注文番号16。
    • [1 ⁺ ,4,2,4,1 ⁺ ] ⁺ = [1 ⁺ ,4,2 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = [2,2,2] ⁺ , (） 8 番目

これは、コクセター記法による4次元点群の要約です。そのうち227個は結晶学的な点群です（pとqの特定の値について）。^{[14] [ which? ]} (nc)は非結晶学的な群に対して与えられます。一部の結晶学的な群^{[ which? ]}は、その抽象群構造によって順序がインデックス付けされています（order.index）。^[15]

• 点群
• 2次元の点群
• 3次元の点群

• HSM コクセター『正多面体』第 3 版、ドーバー ニューヨーク、1973 年
• 万華鏡：HSM コクセター選集、F. アーサー シャーク、ピーター マクマレン、アンソニー C. トンプソン、アジア アイビック ワイス編、ワイリー インターサイエンス出版、1995 年、ISBN 978-0-471-01003-6 
  • (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• HSM Coxeter および WOJ Moser。離散群のジェネレータと関係、第 4 版、Springer-Verlag。ニューヨーク。1980 年、p92、p122。
• John .H. ConwayとMJT Guy : 4 次元アルキメデス多面体、コペンハーゲン凸性コロキウムの議事録、38 および 39 ページ、1965 年
• NW ジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966 年
• NW ジョンソン：幾何学と変換、（2018）ISBN 978-1-107-10340-5第11章：有限対称群、11.5球面コクセター群、p. 249 
• ジョン・H・コンウェイとデレク・A・スミス著『四元数と八元数について』、2003年、ISBN 978-1-56881-134-5 
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウス、『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章） 

• Weisstein、Eric W.「均一ポリクロロン」。MathWorld。
• Klitzing、Richard。「4D 均一多面体」。