3次元における二面角対称性

幾何学において、3次元における二面体対称性とは、抽象群として二面体群Dih _n ( n ≥ 2) となる対称群を持つ、3次元における3つの無限の点群の列の1つである。  

3次元空間には3種類の二面体対称性があり、それぞれが以下の3つの表記法で示されています。シェーンフリース表記法、コクセター表記法、オービフォールド表記法です。

キラル

• D _n , [ n ,2] ⁺ , (22 n ) は 2 n の次数を持つ二面体対称性またはパラ n 角群(抽象群: Dih _n ) です。

アキラル

• D _nh , [ n ,2], (*22 n ) は 4 n の位数を持つプリズム対称性または完全な直交 n 角群(抽象群: Dih _n × Z ₂ ) です。
• D _nd (またはD _nv )、[2 n ,2 ⁺ ]、(2* n ) の 4 n位–反プリズム対称性または完全なジャイロ n ゴナル群(抽象群: Dih _{2 n} )。

与えられたnに対して、3 つのすべては1 つの軸を中心としたn回回転対称性(360°/ nの角度で回転してもオブジェクトは変化しない) と、それに垂直な軸を中心とした 2 回回転対称性を持ち、したがってそれらのn個を中心とした対称性を持つ。n = ∞ の場合、これらは 3 つのフリーズ群に対応する。シェーンフリース記法が使用され、角括弧内にはコクセター記法、丸括弧内にはオービフォールド記法が示される。水平 (h) という用語は、垂直回転軸に関して使用される。

2D では、対称群D _nには直線に関する反射が含まれます。2D 平面が 3D 空間に水平に埋め込まれている場合、このような反射は、垂直面による反射をその平面に制限したもの、または反射線を中心とした 180° 回転をその平面に制限したものと見なすことができます。3D では、2 つの操作は区別されます。群D _nには回転のみが含まれ、反射は含まれません。もう 1 つの群は、同じ位数のピラミッド対称C _nv 、2 nです。

n回回転軸に垂直な平面での鏡面対称性により、 D _nh , [n], (*22 n ) となります。

D _nd (またはD _nv )、[2 n ,2 ⁺ ]、(2* n ) は、水平回転軸の間に位置する垂直鏡面を持ち、水平回転軸を通る鏡面は持ちません。その結果、垂直軸は 2 n回回転反射軸となります。

D _nhは、正n面プリズムおよび正 2 n面双錐体の対称群です。D _ndは、正n角反プリズムおよび正n角台形面体の対称群です。D n_は、n角ねじれプリズムおよびn角ねじれ台形面体の対称群です。

n  =  1 は、3 つの対称性が他の対称性と等しいため、含まれません。

• D ₁およびC ₂ : 180°回転を1回行う位数2の群。
• D _{1 h}およびC _{2 v} : 平面内での鏡映と、その平面内の直線を中心とした 180° 回転を持つ位数 4 の群。
• D _{1 d}およびC _{2 h} : 平面内での鏡映と、その平面に垂直な線を中心とした 180° 回転を持つ位数 4 の群。

n  = 2の場合、 主軸が 1 つと補助軸が 2 つではなく、同等の軸が 3 つ存在する。

• 位数 4 のD ₂ , [2,2] ^{+ , (222) は、抽象群として}クライン 4 群を持つ 3 つの対称群タイプの 1 つです。 3 つの直交する 2 回回転軸を持ちます。 これは、同じ向きで対向する 2 つの面に S が書かれた直方体の対称群です。
• 位数8のD _{2 h} , [2,2], (*222)は直方体の対称群である。
• 位数 8 のD _{2 d} , [4,2 ⁺ ], (2*2) は、例えば次の対称群です。
  • 正方形の直方体で、一方の正方形の面に対角線が引かれ、もう一方の正方形の面に垂直な対角線が引かれているもの。
  • 2つの対向する辺の中点を結ぶ線に沿って拡大された正四面体（ D _{2 dは}T _dの部分群であり、拡大縮小によって対称性が低下します）。

D _nh , [n,2], (*22n)の場合、4n をオーダーします。

• C _nh , [n ⁺ ,2], (n*), オーダー 2n
• C _nv , [n,1], (*nn)、順序 2n
• D _n、[n,2] ⁺、(22n)、次数 2n

D _ndの場合、[2n,2 ⁺ ]、(2*n)、順序 4n

• S _{2 n}、[2n ⁺、2 ⁺ ]、(n×)、次数 2n
• C _nv , [n ⁺ ,2], (n*), オーダー 2n
• D _n、[n,2] ⁺、(22n)、次数 2n

D _ndはD _{2 nh}の部分群でもある。

D _nh , [2, n ], (*22 n ):

D _{5 h} , [2,5], (*225):

D _{4 d} , [8,2 ⁺ ], (2*4):

D _{5 d} , [10,2 ⁺ ], (2*5):

D _{17 d} , [34,2 ⁺ ], (2*17):

• 球対称群の一覧
• 三次元の点群
• 3次元における周期対称性

• Coxeter, HSM ; Moser, WOJ (1980).離散群の生成元と関係. ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9。
• NWジョンソン：幾何学と変換、（2018）、ISBN 978-1-107-10340-5第11章：有限対称群、11.5 球面コクセター群
• Conway, John Horton ; Huson, Daniel H. (2002)、「二次元群のためのオービフォールド表記法」、Structural Chemistry、13 (3)、Springer Netherlands: 247–257、doi : 10.1023/A:1015851621002、S2CID 33947139 

• ジョナサン・ゴスによるステレオグラフは、7つの無限点群の最初の部分を構成する（7つの高対称群、すなわちT、Td _、 Th _、 O、Oh _、 I、およびIh_のステレオグラフは含まれない）。